ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzsn Structured version   GIF version

Theorem fzsn 8699
Description: A finite interval of integers with one element. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
fzsn (𝑀 ℤ → (𝑀...𝑀) = {𝑀})

Proof of Theorem fzsn
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfz1eq 8669 . . . 4 (𝑘 (𝑀...𝑀) → 𝑘 = 𝑀)
2 elfz3 8668 . . . . 5 (𝑀 ℤ → 𝑀 (𝑀...𝑀))
3 eleq1 2097 . . . . 5 (𝑘 = 𝑀 → (𝑘 (𝑀...𝑀) ↔ 𝑀 (𝑀...𝑀)))
42, 3syl5ibrcom 146 . . . 4 (𝑀 ℤ → (𝑘 = 𝑀𝑘 (𝑀...𝑀)))
51, 4impbid2 131 . . 3 (𝑀 ℤ → (𝑘 (𝑀...𝑀) ↔ 𝑘 = 𝑀))
6 elsn 3382 . . 3 (𝑘 {𝑀} ↔ 𝑘 = 𝑀)
75, 6syl6bbr 187 . 2 (𝑀 ℤ → (𝑘 (𝑀...𝑀) ↔ 𝑘 {𝑀}))
87eqrdv 2035 1 (𝑀 ℤ → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1242   wcel 1390  {csn 3367  (class class class)co 5455  cz 8021  ...cfz 8644
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-apti 6798
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-neg 6982  df-z 8022  df-uz 8250  df-fz 8645
This theorem is referenced by:  fzsuc  8701  fzpred  8702  fzpr  8709  fzsuc2  8711  1fv  8766  fzosn  8831
  Copyright terms: Public domain W3C validator