Theorem 0z 8256

Description: Zero is an integer. (Contributed by NM, 12-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
0z	⊢ 0 ∈ ℤ

Proof of Theorem 0z

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 7027	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		eqid 2040	. . 3 ⊢ 0 = 0
3	2	3mix1i 1076	. 2 ⊢ (0 = 0 ∨ 0 ∈ ℕ ∨ -0 ∈ ℕ)
4		elz 8247	. 2 ⊢ (0 ∈ ℤ ↔ (0 ∈ ℝ ∧ (0 = 0 ∨ 0 ∈ ℕ ∨ -0 ∈ ℕ)))
5	1, 3, 4	mpbir2an 849	1 ⊢ 0 ∈ ℤ

Syntax hints:   ∨ w3o 884   = wceq 1243   ∈ wcel 1393  ℝcr 6888  0cc0 6889  -cneg 7183  ℕcn 7914  ℤcz 8245

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-1re 6978  ax-addrcl 6981  ax-rnegex 6993

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-rab 2315  df-v 2559  df-un 2922  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-iota 4867  df-fv 4910  df-ov 5515  df-neg 7185  df-z 8246

This theorem is referenced by:  0zd  8257  nn0ssz  8263  znegcl  8276  zgt0ge1  8302  nn0n0n1ge2b  8320  nn0lt10b  8321  nnm1ge0  8326  gtndiv  8335  msqznn  8338  zeo  8343  nn0ind  8352  fnn0ind  8354  nn0uz  8507  1eluzge0  8516  2eluzge0OLD  8518  eqreznegel  8549  qreccl  8576  qdivcl  8577  irrmul  8581  fz10  8910  fz01en  8917  fzpreddisj  8933  fzshftral  8970  fznn0  8974  fz0tp  8981  elfz0ubfz0  8982  1fv  8996  lbfzo0  9037  elfzonlteqm1  9066  fzo01  9072  fzo0to2pr  9074  fzo0to3tp  9075  flqge0nn0  9135  divfl0  9138  btwnzge0  9142  modqmulnn  9184  frecfzennn  9203  expival  9257  qexpclz  9276  nn0abscl  9681  nnabscl  9696  climz  9813  climaddc1  9849  climmulc2  9851  climsubc1  9852  climsubc2  9853  climlec2  9861  algcvgblem  9888