ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn0disj Structured version   GIF version

Theorem nn0disj 8725
Description: The first 𝑁 + 1 elements of the set of nonnegative integers are distinct from any later members. (Contributed by AV, 8-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
nn0disj ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = ∅

Proof of Theorem nn0disj
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3120 . . . . . . 7 (𝑘 ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ↔ (𝑘 (0...𝑁) 𝑘 (ℤ‘(𝑁 + 1))))
21simprbi 260 . . . . . 6 (𝑘 ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑘 (ℤ‘(𝑁 + 1)))
3 eluzle 8221 . . . . . 6 (𝑘 (ℤ‘(𝑁 + 1)) → (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)
42, 3syl 14 . . . . 5 (𝑘 ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)
5 eluzel2 8214 . . . . . . 7 (𝑘 (ℤ‘(𝑁 + 1)) → (𝑁 + 1) ℤ)
62, 5syl 14 . . . . . 6 (𝑘 ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (𝑁 + 1) ℤ)
7 eluzelz 8218 . . . . . . 7 (𝑘 (ℤ‘(𝑁 + 1)) → 𝑘 ℤ)
82, 7syl 14 . . . . . 6 (𝑘 ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑘 ℤ)
9 zlem1lt 8036 . . . . . 6 (((𝑁 + 1) 𝑘 ℤ) → ((𝑁 + 1) ≤ 𝑘 ↔ ((𝑁 + 1) − 1) < 𝑘))
106, 8, 9syl2anc 391 . . . . 5 (𝑘 ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → ((𝑁 + 1) ≤ 𝑘 ↔ ((𝑁 + 1) − 1) < 𝑘))
114, 10mpbid 135 . . . 4 (𝑘 ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → ((𝑁 + 1) − 1) < 𝑘)
121simplbi 259 . . . . . 6 (𝑘 ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑘 (0...𝑁))
13 elfzle2 8622 . . . . . 6 (𝑘 (0...𝑁) → 𝑘𝑁)
1412, 13syl 14 . . . . 5 (𝑘 ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑘𝑁)
158zred 8096 . . . . . . 7 (𝑘 ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑘 ℝ)
16 elfzel2 8618 . . . . . . . . . 10 (𝑘 (0...𝑁) → 𝑁 ℤ)
1716adantr 261 . . . . . . . . 9 ((𝑘 (0...𝑁) 𝑘 (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 ℤ)
181, 17sylbi 114 . . . . . . . 8 (𝑘 ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 ℤ)
1918zred 8096 . . . . . . 7 (𝑘 ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 ℝ)
2015, 19lenltd 6891 . . . . . 6 (𝑘 ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (𝑘𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝑘))
2118zcnd 8097 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 ℂ)
22 pncan1 7131 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ℂ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
2321, 22syl 14 . . . . . . . . 9 (𝑘 ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
2423eqcomd 2042 . . . . . . . 8 (𝑘 ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 = ((𝑁 + 1) − 1))
2524breq1d 3765 . . . . . . 7 (𝑘 ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (𝑁 < 𝑘 ↔ ((𝑁 + 1) − 1) < 𝑘))
2625notbid 591 . . . . . 6 (𝑘 ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (¬ 𝑁 < 𝑘 ↔ ¬ ((𝑁 + 1) − 1) < 𝑘))
2720, 26bitrd 177 . . . . 5 (𝑘 ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (𝑘𝑁 ↔ ¬ ((𝑁 + 1) − 1) < 𝑘))
2814, 27mpbid 135 . . . 4 (𝑘 ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → ¬ ((𝑁 + 1) − 1) < 𝑘)
2911, 28pm2.21dd 550 . . 3 (𝑘 ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∅)
3029ssriv 2943 . 2 ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ⊆ ∅
31 ss0 3251 . 2 (((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ⊆ ∅ → ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = ∅)
3230, 31ax-mp 7 1 ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = ∅
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3   wa 97  wb 98   = wceq 1242   wcel 1390  cin 2910  wss 2911  c0 3218   class class class wbr 3755  cfv 4845  (class class class)co 5455  cc 6669  0cc0 6671  1c1 6672   + caddc 6674   < clt 6817  cle 6818  cmin 6939  cz 7981  cuz 8209  ...cfz 8604
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6734  ax-resscn 6735  ax-1cn 6736  ax-1re 6737  ax-icn 6738  ax-addcl 6739  ax-addrcl 6740  ax-mulcl 6741  ax-addcom 6743  ax-addass 6745  ax-distr 6747  ax-i2m1 6748  ax-0id 6751  ax-rnegex 6752  ax-cnre 6754  ax-pre-ltirr 6755  ax-pre-ltwlin 6756  ax-pre-lttrn 6757  ax-pre-ltadd 6759
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-iplp 6450  df-iltp 6452  df-enr 6614  df-nr 6615  df-ltr 6618  df-0r 6619  df-1r 6620  df-0 6678  df-1 6679  df-r 6681  df-lt 6684  df-pnf 6819  df-mnf 6820  df-xr 6821  df-ltxr 6822  df-le 6823  df-sub 6941  df-neg 6942  df-inn 7656  df-n0 7918  df-z 7982  df-uz 8210  df-fz 8605
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator