ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn0disj GIF version

Theorem nn0disj 8962
Description: The first 𝑁 + 1 elements of the set of nonnegative integers are distinct from any later members. (Contributed by AV, 8-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
nn0disj ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = ∅

Proof of Theorem nn0disj
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3123 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ↔ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
21simprbi 260 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))
3 eluzle 8457 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)
42, 3syl 14 . . . . 5 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)
5 eluzel2 8450 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
62, 5syl 14 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
7 eluzelz 8454 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
82, 7syl 14 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℤ)
9 zlem1lt 8272 . . . . . 6 (((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑁 + 1) ≤ 𝑘 ↔ ((𝑁 + 1) − 1) < 𝑘))
106, 8, 9syl2anc 391 . . . . 5 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → ((𝑁 + 1) ≤ 𝑘 ↔ ((𝑁 + 1) − 1) < 𝑘))
114, 10mpbid 135 . . . 4 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → ((𝑁 + 1) − 1) < 𝑘)
121simplbi 259 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
13 elfzle2 8859 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘𝑁)
1412, 13syl 14 . . . . 5 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑘𝑁)
158zred 8332 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℝ)
16 elfzel2 8855 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
1716adantr 261 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
181, 17sylbi 114 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
1918zred 8332 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ ℝ)
2015, 19lenltd 7114 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (𝑘𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝑘))
2118zcnd 8333 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ ℂ)
22 pncan1 7354 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
2321, 22syl 14 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
2423eqcomd 2045 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 = ((𝑁 + 1) − 1))
2524breq1d 3771 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (𝑁 < 𝑘 ↔ ((𝑁 + 1) − 1) < 𝑘))
2625notbid 592 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (¬ 𝑁 < 𝑘 ↔ ¬ ((𝑁 + 1) − 1) < 𝑘))
2720, 26bitrd 177 . . . . 5 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (𝑘𝑁 ↔ ¬ ((𝑁 + 1) − 1) < 𝑘))
2814, 27mpbid 135 . . . 4 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → ¬ ((𝑁 + 1) − 1) < 𝑘)
2911, 28pm2.21dd 550 . . 3 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ∅)
3029ssriv 2946 . 2 ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ⊆ ∅
31 ss0 3254 . 2 (((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ⊆ ∅ → ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = ∅)
3230, 31ax-mp 7 1 ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = ∅
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 97  wb 98   = wceq 1243  wcel 1393  cin 2913  wss 2914  c0 3221   class class class wbr 3761  cfv 4889  (class class class)co 5499  cc 6868  0cc0 6870  1c1 6871   + caddc 6873   < clt 7040  cle 7041  cmin 7162  cz 8217  cuz 8445  ...cfz 8841
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3869  ax-sep 3872  ax-nul 3880  ax-pow 3924  ax-pr 3941  ax-un 4166  ax-setind 4256  ax-iinf 4298  ax-cnex 6956  ax-resscn 6957  ax-1cn 6958  ax-1re 6959  ax-icn 6960  ax-addcl 6961  ax-addrcl 6962  ax-mulcl 6963  ax-addcom 6965  ax-addass 6967  ax-distr 6969  ax-i2m1 6970  ax-0id 6973  ax-rnegex 6974  ax-cnre 6976  ax-pre-ltirr 6977  ax-pre-ltwlin 6978  ax-pre-lttrn 6979  ax-pre-ltadd 6981
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2308  df-rex 2309  df-reu 2310  df-rab 2312  df-v 2556  df-sbc 2762  df-csb 2850  df-dif 2917  df-un 2919  df-in 2921  df-ss 2928  df-nul 3222  df-pw 3358  df-sn 3378  df-pr 3379  df-op 3381  df-uni 3578  df-int 3613  df-iun 3656  df-br 3762  df-opab 3816  df-mpt 3817  df-tr 3852  df-eprel 4023  df-id 4027  df-po 4030  df-iso 4031  df-iord 4099  df-on 4101  df-suc 4104  df-iom 4301  df-xp 4338  df-rel 4339  df-cnv 4340  df-co 4341  df-dm 4342  df-rn 4343  df-res 4344  df-ima 4345  df-iota 4854  df-fun 4891  df-fn 4892  df-f 4893  df-f1 4894  df-fo 4895  df-f1o 4896  df-fv 4897  df-riota 5455  df-ov 5502  df-oprab 5503  df-mpt2 5504  df-1st 5754  df-2nd 5755  df-recs 5907  df-irdg 5944  df-1o 5988  df-2o 5989  df-oadd 5992  df-omul 5993  df-er 6093  df-ec 6095  df-qs 6099  df-ni 6383  df-pli 6384  df-mi 6385  df-lti 6386  df-plpq 6423  df-mpq 6424  df-enq 6426  df-nqqs 6427  df-plqqs 6428  df-mqqs 6429  df-1nqqs 6430  df-rq 6431  df-ltnqqs 6432  df-enq0 6503  df-nq0 6504  df-0nq0 6505  df-plq0 6506  df-mq0 6507  df-inp 6545  df-i1p 6546  df-iplp 6547  df-iltp 6549  df-enr 6792  df-nr 6793  df-ltr 6796  df-0r 6797  df-1r 6798  df-0 6877  df-1 6878  df-r 6880  df-lt 6883  df-pnf 7042  df-mnf 7043  df-xr 7044  df-ltxr 7045  df-le 7046  df-sub 7164  df-neg 7165  df-inn 7891  df-n0 8154  df-z 8218  df-uz 8446  df-fz 8842
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator