ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eluz2 Structured version   GIF version

Theorem eluz2 8215
Description: Membership in an upper set of integers. We use the fact that a function's value (under our function value definition) is empty outside of its domain to show 𝑀 . (Contributed by NM, 5-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
eluz2 (𝑁 (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 𝑁 𝑀𝑁))

Proof of Theorem eluz2
StepHypRef Expression
1 eluzel2 8214 . 2 (𝑁 (ℤ𝑀) → 𝑀 ℤ)
2 simp1 903 . 2 ((𝑀 𝑁 𝑀𝑁) → 𝑀 ℤ)
3 eluz1 8213 . . . 4 (𝑀 ℤ → (𝑁 (ℤ𝑀) ↔ (𝑁 𝑀𝑁)))
4 ibar 285 . . . 4 (𝑀 ℤ → ((𝑁 𝑀𝑁) ↔ (𝑀 (𝑁 𝑀𝑁))))
53, 4bitrd 177 . . 3 (𝑀 ℤ → (𝑁 (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 (𝑁 𝑀𝑁))))
6 3anass 888 . . 3 ((𝑀 𝑁 𝑀𝑁) ↔ (𝑀 (𝑁 𝑀𝑁)))
75, 6syl6bbr 187 . 2 (𝑀 ℤ → (𝑁 (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 𝑁 𝑀𝑁)))
81, 2, 7pm5.21nii 619 1 (𝑁 (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 𝑁 𝑀𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wa 97  wb 98   w3a 884   wcel 1390   class class class wbr 3755  cfv 4845  cle 6818  cz 7981  cuz 8209
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-cnex 6734  ax-resscn 6735
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-fv 4853  df-ov 5458  df-neg 6942  df-z 7982  df-uz 8210
This theorem is referenced by:  eluzuzle  8217  eluzelz  8218  eluzle  8221  uztrn  8225  eluzp1p1  8234  uznn0sub  8240  uz3m2nn  8251  1eluzge0  8252  2eluzge0OLD  8254  2eluzge1  8255  raluz2  8258  rexuz2  8260  peano2uz  8262  nn0pzuz  8266  uzind4  8267  nn0ge2m1nnALT  8289  elfzuzb  8614  uzsubsubfz  8641  ige2m1fz  8702  elfz0addOLD  8710  4fvwrd4  8727  elfzo2  8737  elfzouz2  8747  fzossrbm1  8759  fzossfzop1  8798  ssfzo12bi  8811  elfzonelfzo  8816  elfzomelpfzo  8817  fzosplitprm1  8820  fzostep1  8823  fzind2  8825
  Copyright terms: Public domain W3C validator