Theorem fzostep1 8823

Description: Two possibilities for a number one greater than a number in a half-open range. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzostep1	⊢ (A ∈ (B..^𝐶) → ((A + 1) ∈ (B..^𝐶) ∨ (A + 1) = 𝐶))

Proof of Theorem fzostep1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoel1 8732	. . . 4 ⊢ (A ∈ (B..^𝐶) → B ∈ ℤ)
2		uzid 8223	. . . 4 ⊢ (B ∈ ℤ → B ∈ (ℤ≥‘B))
3		peano2uz 8262	. . . 4 ⊢ (B ∈ (ℤ≥‘B) → (B + 1) ∈ (ℤ≥‘B))
4		fzoss1 8757	. . . 4 ⊢ ((B + 1) ∈ (ℤ≥‘B) → ((B + 1)..^(𝐶 + 1)) ⊆ (B..^(𝐶 + 1)))
5	1, 2, 3, 4	4syl 18	. . 3 ⊢ (A ∈ (B..^𝐶) → ((B + 1)..^(𝐶 + 1)) ⊆ (B..^(𝐶 + 1)))
6		1z 8007	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
7		fzoaddel 8778	. . . 4 ⊢ ((A ∈ (B..^𝐶) ∧ 1 ∈ ℤ) → (A + 1) ∈ ((B + 1)..^(𝐶 + 1)))
8	6, 7	mpan2 401	. . 3 ⊢ (A ∈ (B..^𝐶) → (A + 1) ∈ ((B + 1)..^(𝐶 + 1)))
9	5, 8	sseldd 2940	. 2 ⊢ (A ∈ (B..^𝐶) → (A + 1) ∈ (B..^(𝐶 + 1)))
10		elfzoel2 8733	. . . 4 ⊢ (A ∈ (B..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)
11		elfzolt3 8743	. . . . 5 ⊢ (A ∈ (B..^𝐶) → B < 𝐶)
12		zre 7985	. . . . . . 7 ⊢ (B ∈ ℤ → B ∈ ℝ)
13		zre 7985	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℝ)
14		ltle 6862	. . . . . . 7 ⊢ ((B ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (B < 𝐶 → B ≤ 𝐶))
15	12, 13, 14	syl2an 273	. . . . . 6 ⊢ ((B ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (B < 𝐶 → B ≤ 𝐶))
16	1, 10, 15	syl2anc 391	. . . . 5 ⊢ (A ∈ (B..^𝐶) → (B < 𝐶 → B ≤ 𝐶))
17	11, 16	mpd 13	. . . 4 ⊢ (A ∈ (B..^𝐶) → B ≤ 𝐶)
18		eluz2 8215	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘B) ↔ (B ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ B ≤ 𝐶))
19	1, 10, 17, 18	syl3anbrc 1087	. . 3 ⊢ (A ∈ (B..^𝐶) → 𝐶 ∈ (ℤ≥‘B))
20		fzosplitsni 8821	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘B) → ((A + 1) ∈ (B..^(𝐶 + 1)) ↔ ((A + 1) ∈ (B..^𝐶) ∨ (A + 1) = 𝐶)))
21	19, 20	syl 14	. 2 ⊢ (A ∈ (B..^𝐶) → ((A + 1) ∈ (B..^(𝐶 + 1)) ↔ ((A + 1) ∈ (B..^𝐶) ∨ (A + 1) = 𝐶)))
22	9, 21	mpbid 135	1 ⊢ (A ∈ (B..^𝐶) → ((A + 1) ∈ (B..^𝐶) ∨ (A + 1) = 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 98   ∨ wo 628   = wceq 1242   ∈ wcel 1390   ⊆ wss 2911   class class class wbr 3755  ‘cfv 4845  (class class class)co 5455  ℝcr 6670  1c1 6672   + caddc 6674   < clt 6817   ≤ cle 6818  ℤcz 7981  ℤ_≥cuz 8209  ..^cfzo 8729

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6734  ax-resscn 6735  ax-1cn 6736  ax-1re 6737  ax-icn 6738  ax-addcl 6739  ax-addrcl 6740  ax-mulcl 6741  ax-addcom 6743  ax-addass 6745  ax-distr 6747  ax-i2m1 6748  ax-0id 6751  ax-rnegex 6752  ax-cnre 6754  ax-pre-ltirr 6755  ax-pre-ltwlin 6756  ax-pre-lttrn 6757  ax-pre-apti 6758  ax-pre-ltadd 6759

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-iplp 6450  df-iltp 6452  df-enr 6614  df-nr 6615  df-ltr 6618  df-0r 6619  df-1r 6620  df-0 6678  df-1 6679  df-r 6681  df-lt 6684  df-pnf 6819  df-mnf 6820  df-xr 6821  df-ltxr 6822  df-le 6823  df-sub 6941  df-neg 6942  df-inn 7656  df-n0 7918  df-z 7982  df-uz 8210  df-fz 8605  df-fzo 8730

This theorem is referenced by: (None)