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Theorem ssfzo12bi 8831
Description: Subset relationship for half-open integer ranges. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
ssfzo12bi (((𝐾 𝐿 ℤ) (𝑀 𝑁 ℤ) 𝐾 < 𝐿) → ((𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝑀𝐾 𝐿𝑁)))

Proof of Theorem ssfzo12bi
Dummy variable x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-3an 886 . . . . 5 ((𝐾 𝐿 𝐾 < 𝐿) ↔ ((𝐾 𝐿 ℤ) 𝐾 < 𝐿))
21biimpri 124 . . . 4 (((𝐾 𝐿 ℤ) 𝐾 < 𝐿) → (𝐾 𝐿 𝐾 < 𝐿))
323adant2 922 . . 3 (((𝐾 𝐿 ℤ) (𝑀 𝑁 ℤ) 𝐾 < 𝐿) → (𝐾 𝐿 𝐾 < 𝐿))
4 ssfzo12 8830 . . 3 ((𝐾 𝐿 𝐾 < 𝐿) → ((𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁) → (𝑀𝐾 𝐿𝑁)))
53, 4syl 14 . 2 (((𝐾 𝐿 ℤ) (𝑀 𝑁 ℤ) 𝐾 < 𝐿) → ((𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁) → (𝑀𝐾 𝐿𝑁)))
6 elfzo2 8757 . . . . . 6 (x (𝐾..^𝐿) ↔ (x (ℤ𝐾) 𝐿 x < 𝐿))
7 eluz2 8235 . . . . . . . . 9 (x (ℤ𝐾) ↔ (𝐾 x 𝐾x))
8 simprrl 491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((x ((𝐾 𝐿 ℤ) (𝑀 𝑁 ℤ))) → 𝑀 ℤ)
98adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((x ((𝐾 𝐿 ℤ) (𝑀 𝑁 ℤ))) (𝑀𝐾 𝐾x)) → 𝑀 ℤ)
10 simpll 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((x ((𝐾 𝐿 ℤ) (𝑀 𝑁 ℤ))) (𝑀𝐾 𝐾x)) → x ℤ)
11 zre 8005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑀 ℤ → 𝑀 ℝ)
1211adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑀 𝑁 ℤ) → 𝑀 ℝ)
1312adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝐾 𝐿 ℤ) (𝑀 𝑁 ℤ)) → 𝑀 ℝ)
1413adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((x ((𝐾 𝐿 ℤ) (𝑀 𝑁 ℤ))) → 𝑀 ℝ)
15 zre 8005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝐾 ℤ → 𝐾 ℝ)
1615adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝐾 𝐿 ℤ) → 𝐾 ℝ)
1716adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝐾 𝐿 ℤ) (𝑀 𝑁 ℤ)) → 𝐾 ℝ)
1817adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((x ((𝐾 𝐿 ℤ) (𝑀 𝑁 ℤ))) → 𝐾 ℝ)
19 zre 8005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (x ℤ → x ℝ)
2019adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((x ((𝐾 𝐿 ℤ) (𝑀 𝑁 ℤ))) → x ℝ)
21 letr 6878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑀 𝐾 x ℝ) → ((𝑀𝐾 𝐾x) → 𝑀x))
2214, 18, 20, 21syl3anc 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((x ((𝐾 𝐿 ℤ) (𝑀 𝑁 ℤ))) → ((𝑀𝐾 𝐾x) → 𝑀x))
2322imp 115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((x ((𝐾 𝐿 ℤ) (𝑀 𝑁 ℤ))) (𝑀𝐾 𝐾x)) → 𝑀x)
249, 10, 233jca 1083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((x ((𝐾 𝐿 ℤ) (𝑀 𝑁 ℤ))) (𝑀𝐾 𝐾x)) → (𝑀 x 𝑀x))
2524exp31 346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (x ℤ → (((𝐾 𝐿 ℤ) (𝑀 𝑁 ℤ)) → ((𝑀𝐾 𝐾x) → (𝑀 x 𝑀x))))
2625com23 72 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (x ℤ → ((𝑀𝐾 𝐾x) → (((𝐾 𝐿 ℤ) (𝑀 𝑁 ℤ)) → (𝑀 x 𝑀x))))
2726expdimp 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((x 𝑀𝐾) → (𝐾x → (((𝐾 𝐿 ℤ) (𝑀 𝑁 ℤ)) → (𝑀 x 𝑀x))))
2827impancom 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((x 𝐾x) → (𝑀𝐾 → (((𝐾 𝐿 ℤ) (𝑀 𝑁 ℤ)) → (𝑀 x 𝑀x))))
2928com13 74 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐾 𝐿 ℤ) (𝑀 𝑁 ℤ)) → (𝑀𝐾 → ((x 𝐾x) → (𝑀 x 𝑀x))))
30293adant3 923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐾 𝐿 ℤ) (𝑀 𝑁 ℤ) 𝐾 < 𝐿) → (𝑀𝐾 → ((x 𝐾x) → (𝑀 x 𝑀x))))
3130com12 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀𝐾 → (((𝐾 𝐿 ℤ) (𝑀 𝑁 ℤ) 𝐾 < 𝐿) → ((x 𝐾x) → (𝑀 x 𝑀x))))
3231adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀𝐾 𝐿𝑁) → (((𝐾 𝐿 ℤ) (𝑀 𝑁 ℤ) 𝐾 < 𝐿) → ((x 𝐾x) → (𝑀 x 𝑀x))))
3332impcom 116 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 𝐿 ℤ) (𝑀 𝑁 ℤ) 𝐾 < 𝐿) (𝑀𝐾 𝐿𝑁)) → ((x 𝐾x) → (𝑀 x 𝑀x)))
3433com12 27 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((x 𝐾x) → ((((𝐾 𝐿 ℤ) (𝑀 𝑁 ℤ) 𝐾 < 𝐿) (𝑀𝐾 𝐿𝑁)) → (𝑀 x 𝑀x)))
3534adantr 261 . . . . . . . . . . . . . 14 (((x 𝐾x) x < 𝐿) → ((((𝐾 𝐿 ℤ) (𝑀 𝑁 ℤ) 𝐾 < 𝐿) (𝑀𝐾 𝐿𝑁)) → (𝑀 x 𝑀x)))
3635imp 115 . . . . . . . . . . . . 13 ((((x 𝐾x) x < 𝐿) (((𝐾 𝐿 ℤ) (𝑀 𝑁 ℤ) 𝐾 < 𝐿) (𝑀𝐾 𝐿𝑁))) → (𝑀 x 𝑀x))
37 eluz2 8235 . . . . . . . . . . . . 13 (x (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 x 𝑀x))
3836, 37sylibr 137 . . . . . . . . . . . 12 ((((x 𝐾x) x < 𝐿) (((𝐾 𝐿 ℤ) (𝑀 𝑁 ℤ) 𝐾 < 𝐿) (𝑀𝐾 𝐿𝑁))) → x (ℤ𝑀))
39 simpl2r 957 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 𝐿 ℤ) (𝑀 𝑁 ℤ) 𝐾 < 𝐿) (𝑀𝐾 𝐿𝑁)) → 𝑁 ℤ)
4039adantl 262 . . . . . . . . . . . 12 ((((x 𝐾x) x < 𝐿) (((𝐾 𝐿 ℤ) (𝑀 𝑁 ℤ) 𝐾 < 𝐿) (𝑀𝐾 𝐿𝑁))) → 𝑁 ℤ)
4119adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝐾 𝐿 ℤ) (𝑀 𝑁 ℤ)) x ℤ) → x ℝ)
42 zre 8005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐿 ℤ → 𝐿 ℝ)
4342ad3antlr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝐾 𝐿 ℤ) (𝑀 𝑁 ℤ)) x ℤ) → 𝐿 ℝ)
44 zre 8005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ℤ → 𝑁 ℝ)
4544adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑀 𝑁 ℤ) → 𝑁 ℝ)
4645adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐾 𝐿 ℤ) (𝑀 𝑁 ℤ)) → 𝑁 ℝ)
4746adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝐾 𝐿 ℤ) (𝑀 𝑁 ℤ)) x ℤ) → 𝑁 ℝ)
48 ltletr 6884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((x 𝐿 𝑁 ℝ) → ((x < 𝐿 𝐿𝑁) → x < 𝑁))
4941, 43, 47, 48syl3anc 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐾 𝐿 ℤ) (𝑀 𝑁 ℤ)) x ℤ) → ((x < 𝐿 𝐿𝑁) → x < 𝑁))
5049ex 108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐾 𝐿 ℤ) (𝑀 𝑁 ℤ)) → (x ℤ → ((x < 𝐿 𝐿𝑁) → x < 𝑁)))
5150com23 72 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐾 𝐿 ℤ) (𝑀 𝑁 ℤ)) → ((x < 𝐿 𝐿𝑁) → (x ℤ → x < 𝑁)))
52513adant3 923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐾 𝐿 ℤ) (𝑀 𝑁 ℤ) 𝐾 < 𝐿) → ((x < 𝐿 𝐿𝑁) → (x ℤ → x < 𝑁)))
5352expcomd 1327 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐾 𝐿 ℤ) (𝑀 𝑁 ℤ) 𝐾 < 𝐿) → (𝐿𝑁 → (x < 𝐿 → (x ℤ → x < 𝑁))))
5453adantld 263 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 𝐿 ℤ) (𝑀 𝑁 ℤ) 𝐾 < 𝐿) → ((𝑀𝐾 𝐿𝑁) → (x < 𝐿 → (x ℤ → x < 𝑁))))
5554imp 115 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 𝐿 ℤ) (𝑀 𝑁 ℤ) 𝐾 < 𝐿) (𝑀𝐾 𝐿𝑁)) → (x < 𝐿 → (x ℤ → x < 𝑁)))
5655com13 74 . . . . . . . . . . . . . . 15 (x ℤ → (x < 𝐿 → ((((𝐾 𝐿 ℤ) (𝑀 𝑁 ℤ) 𝐾 < 𝐿) (𝑀𝐾 𝐿𝑁)) → x < 𝑁)))
5756adantr 261 . . . . . . . . . . . . . 14 ((x 𝐾x) → (x < 𝐿 → ((((𝐾 𝐿 ℤ) (𝑀 𝑁 ℤ) 𝐾 < 𝐿) (𝑀𝐾 𝐿𝑁)) → x < 𝑁)))
5857imp 115 . . . . . . . . . . . . 13 (((x 𝐾x) x < 𝐿) → ((((𝐾 𝐿 ℤ) (𝑀 𝑁 ℤ) 𝐾 < 𝐿) (𝑀𝐾 𝐿𝑁)) → x < 𝑁))
5958imp 115 . . . . . . . . . . . 12 ((((x 𝐾x) x < 𝐿) (((𝐾 𝐿 ℤ) (𝑀 𝑁 ℤ) 𝐾 < 𝐿) (𝑀𝐾 𝐿𝑁))) → x < 𝑁)
60 elfzo2 8757 . . . . . . . . . . . 12 (x (𝑀..^𝑁) ↔ (x (ℤ𝑀) 𝑁 x < 𝑁))
6138, 40, 59, 60syl3anbrc 1087 . . . . . . . . . . 11 ((((x 𝐾x) x < 𝐿) (((𝐾 𝐿 ℤ) (𝑀 𝑁 ℤ) 𝐾 < 𝐿) (𝑀𝐾 𝐿𝑁))) → x (𝑀..^𝑁))
6261exp31 346 . . . . . . . . . 10 ((x 𝐾x) → (x < 𝐿 → ((((𝐾 𝐿 ℤ) (𝑀 𝑁 ℤ) 𝐾 < 𝐿) (𝑀𝐾 𝐿𝑁)) → x (𝑀..^𝑁))))
63623adant1 921 . . . . . . . . 9 ((𝐾 x 𝐾x) → (x < 𝐿 → ((((𝐾 𝐿 ℤ) (𝑀 𝑁 ℤ) 𝐾 < 𝐿) (𝑀𝐾 𝐿𝑁)) → x (𝑀..^𝑁))))
647, 63sylbi 114 . . . . . . . 8 (x (ℤ𝐾) → (x < 𝐿 → ((((𝐾 𝐿 ℤ) (𝑀 𝑁 ℤ) 𝐾 < 𝐿) (𝑀𝐾 𝐿𝑁)) → x (𝑀..^𝑁))))
6564imp 115 . . . . . . 7 ((x (ℤ𝐾) x < 𝐿) → ((((𝐾 𝐿 ℤ) (𝑀 𝑁 ℤ) 𝐾 < 𝐿) (𝑀𝐾 𝐿𝑁)) → x (𝑀..^𝑁)))
66653adant2 922 . . . . . 6 ((x (ℤ𝐾) 𝐿 x < 𝐿) → ((((𝐾 𝐿 ℤ) (𝑀 𝑁 ℤ) 𝐾 < 𝐿) (𝑀𝐾 𝐿𝑁)) → x (𝑀..^𝑁)))
676, 66sylbi 114 . . . . 5 (x (𝐾..^𝐿) → ((((𝐾 𝐿 ℤ) (𝑀 𝑁 ℤ) 𝐾 < 𝐿) (𝑀𝐾 𝐿𝑁)) → x (𝑀..^𝑁)))
6867com12 27 . . . 4 ((((𝐾 𝐿 ℤ) (𝑀 𝑁 ℤ) 𝐾 < 𝐿) (𝑀𝐾 𝐿𝑁)) → (x (𝐾..^𝐿) → x (𝑀..^𝑁)))
6968ssrdv 2945 . . 3 ((((𝐾 𝐿 ℤ) (𝑀 𝑁 ℤ) 𝐾 < 𝐿) (𝑀𝐾 𝐿𝑁)) → (𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁))
7069ex 108 . 2 (((𝐾 𝐿 ℤ) (𝑀 𝑁 ℤ) 𝐾 < 𝐿) → ((𝑀𝐾 𝐿𝑁) → (𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁)))
715, 70impbid 120 1 (((𝐾 𝐿 ℤ) (𝑀 𝑁 ℤ) 𝐾 < 𝐿) → ((𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝑀𝐾 𝐿𝑁)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   w3a 884   wcel 1390  wss 2911   class class class wbr 3755  cfv 4845  (class class class)co 5455  cr 6690   < clt 6837  cle 6838  cz 8001  cuz 8229  ..^cfzo 8749
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6754  ax-resscn 6755  ax-1cn 6756  ax-1re 6757  ax-icn 6758  ax-addcl 6759  ax-addrcl 6760  ax-mulcl 6761  ax-addcom 6763  ax-addass 6765  ax-distr 6767  ax-i2m1 6768  ax-0id 6771  ax-rnegex 6772  ax-cnre 6774  ax-pre-ltirr 6775  ax-pre-ltwlin 6776  ax-pre-lttrn 6777  ax-pre-ltadd 6779
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-iplp 6450  df-iltp 6452  df-enr 6634  df-nr 6635  df-ltr 6638  df-0r 6639  df-1r 6640  df-0 6698  df-1 6699  df-r 6701  df-lt 6704  df-pnf 6839  df-mnf 6840  df-xr 6841  df-ltxr 6842  df-le 6843  df-sub 6961  df-neg 6962  df-inn 7676  df-n0 7938  df-z 8002  df-uz 8230  df-fz 8625  df-fzo 8750
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