ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ssfzo12bi GIF version

Theorem ssfzo12bi 9081
Description: Subset relationship for half-open integer ranges. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
ssfzo12bi (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝑀𝐾𝐿𝑁)))

Proof of Theorem ssfzo12bi
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-3an 887 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿) ↔ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿))
21biimpri 124 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿))
323adant2 923 . . 3 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿))
4 ssfzo12 9080 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁) → (𝑀𝐾𝐿𝑁)))
53, 4syl 14 . 2 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁) → (𝑀𝐾𝐿𝑁)))
6 elfzo2 9007 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝐾..^𝐿) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑥 < 𝐿))
7 eluz2 8479 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (ℤ𝐾) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑥))
8 simprrl 491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 𝑀 ∈ ℤ)
98adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑥)) → 𝑀 ∈ ℤ)
10 simpll 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑥)) → 𝑥 ∈ ℤ)
11 zre 8249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
1211adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
1312adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℝ)
1413adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 𝑀 ∈ ℝ)
15 zre 8249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
1615adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℝ)
1716adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∈ ℝ)
1817adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 𝐾 ∈ ℝ)
19 zre 8249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℝ)
2019adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 𝑥 ∈ ℝ)
21 letr 7101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑀𝐾𝐾𝑥) → 𝑀𝑥))
2214, 18, 20, 21syl3anc 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝑀𝐾𝐾𝑥) → 𝑀𝑥))
2322imp 115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑥)) → 𝑀𝑥)
249, 10, 233jca 1084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑥)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑥))
2524exp31 346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ ℤ → (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝑀𝐾𝐾𝑥) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑥))))
2625com23 72 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ ℤ → ((𝑀𝐾𝐾𝑥) → (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑥))))
2726expdimp 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾) → (𝐾𝑥 → (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑥))))
2827impancom 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑥) → (𝑀𝐾 → (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑥))))
2928com13 74 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑀𝐾 → ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑥) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑥))))
30293adant3 924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝑀𝐾 → ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑥) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑥))))
3130com12 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀𝐾 → (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑥) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑥))))
3231adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀𝐾𝐿𝑁) → (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑥) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑥))))
3332impcom 116 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀𝐾𝐿𝑁)) → ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑥) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑥)))
3433com12 27 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑥) → ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀𝐾𝐿𝑁)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑥)))
3534adantr 261 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑥) ∧ 𝑥 < 𝐿) → ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀𝐾𝐿𝑁)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑥)))
3635imp 115 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑥) ∧ 𝑥 < 𝐿) ∧ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀𝐾𝐿𝑁))) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑥))
37 eluz2 8479 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑥))
3836, 37sylibr 137 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑥) ∧ 𝑥 < 𝐿) ∧ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀𝐾𝐿𝑁))) → 𝑥 ∈ (ℤ𝑀))
39 simpl2r 958 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀𝐾𝐿𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
4039adantl 262 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑥) ∧ 𝑥 < 𝐿) ∧ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀𝐾𝐿𝑁))) → 𝑁 ∈ ℤ)
4119adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℝ)
42 zre 8249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℝ)
4342ad3antlr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ ℝ)
44 zre 8249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
4544adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
4645adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℝ)
4746adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
48 ltletr 7107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑥 < 𝐿𝐿𝑁) → 𝑥 < 𝑁))
4941, 43, 47, 48syl3anc 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 < 𝐿𝐿𝑁) → 𝑥 < 𝑁))
5049ex 108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑥 ∈ ℤ → ((𝑥 < 𝐿𝐿𝑁) → 𝑥 < 𝑁)))
5150com23 72 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝑥 < 𝐿𝐿𝑁) → (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 < 𝑁)))
52513adant3 924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝑥 < 𝐿𝐿𝑁) → (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 < 𝑁)))
5352expcomd 1330 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝐿𝑁 → (𝑥 < 𝐿 → (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 < 𝑁))))
5453adantld 263 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝑀𝐾𝐿𝑁) → (𝑥 < 𝐿 → (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 < 𝑁))))
5554imp 115 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀𝐾𝐿𝑁)) → (𝑥 < 𝐿 → (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 < 𝑁)))
5655com13 74 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 < 𝐿 → ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀𝐾𝐿𝑁)) → 𝑥 < 𝑁)))
5756adantr 261 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑥) → (𝑥 < 𝐿 → ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀𝐾𝐿𝑁)) → 𝑥 < 𝑁)))
5857imp 115 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑥) ∧ 𝑥 < 𝐿) → ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀𝐾𝐿𝑁)) → 𝑥 < 𝑁))
5958imp 115 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑥) ∧ 𝑥 < 𝐿) ∧ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀𝐾𝐿𝑁))) → 𝑥 < 𝑁)
60 elfzo2 9007 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 < 𝑁))
6138, 40, 59, 60syl3anbrc 1088 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑥) ∧ 𝑥 < 𝐿) ∧ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀𝐾𝐿𝑁))) → 𝑥 ∈ (𝑀..^𝑁))
6261exp31 346 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑥) → (𝑥 < 𝐿 → ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀𝐾𝐿𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝑀..^𝑁))))
63623adant1 922 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑥) → (𝑥 < 𝐿 → ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀𝐾𝐿𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝑀..^𝑁))))
647, 63sylbi 114 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (ℤ𝐾) → (𝑥 < 𝐿 → ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀𝐾𝐿𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝑀..^𝑁))))
6564imp 115 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝑥 < 𝐿) → ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀𝐾𝐿𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝑀..^𝑁)))
66653adant2 923 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑥 < 𝐿) → ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀𝐾𝐿𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝑀..^𝑁)))
676, 66sylbi 114 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐾..^𝐿) → ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀𝐾𝐿𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝑀..^𝑁)))
6867com12 27 . . . 4 ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀𝐾𝐿𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝐾..^𝐿) → 𝑥 ∈ (𝑀..^𝑁)))
6968ssrdv 2951 . . 3 ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀𝐾𝐿𝑁)) → (𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁))
7069ex 108 . 2 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝑀𝐾𝐿𝑁) → (𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁)))
715, 70impbid 120 1 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝑀𝐾𝐿𝑁)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 97  wb 98  w3a 885  wcel 1393  wss 2917   class class class wbr 3764  cfv 4902  (class class class)co 5512  cr 6888   < clt 7060  cle 7061  cz 8245  cuz 8473  ..^cfzo 8999
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-addcom 6984  ax-addass 6986  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-ltadd 7000
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-inn 7915  df-n0 8182  df-z 8246  df-uz 8474  df-fz 8875  df-fzo 9000
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator