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Theorem fldiv4p1lem1div2 9147
 Description: The floor of an integer equal to 3 or greater than 4, increased by 1, is less than or equal to the half of the integer minus 1. (Contributed by AV, 8-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
fldiv4p1lem1div2 ((𝑁 = 3 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ‘5)) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))

Proof of Theorem fldiv4p1lem1div2
StepHypRef Expression
1 1le1 7563 . . . 4 1 ≤ 1
21a1i 9 . . 3 (𝑁 = 3 → 1 ≤ 1)
3 oveq1 5519 . . . . . . 7 (𝑁 = 3 → (𝑁 / 4) = (3 / 4))
43fveq2d 5182 . . . . . 6 (𝑁 = 3 → (⌊‘(𝑁 / 4)) = (⌊‘(3 / 4)))
5 3lt4 8089 . . . . . . 7 3 < 4
6 3nn0 8199 . . . . . . . 8 3 ∈ ℕ0
7 4nn 8079 . . . . . . . 8 4 ∈ ℕ
8 divfl0 9138 . . . . . . . 8 ((3 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ) → (3 < 4 ↔ (⌊‘(3 / 4)) = 0))
96, 7, 8mp2an 402 . . . . . . 7 (3 < 4 ↔ (⌊‘(3 / 4)) = 0)
105, 9mpbi 133 . . . . . 6 (⌊‘(3 / 4)) = 0
114, 10syl6eq 2088 . . . . 5 (𝑁 = 3 → (⌊‘(𝑁 / 4)) = 0)
1211oveq1d 5527 . . . 4 (𝑁 = 3 → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) = (0 + 1))
13 0p1e1 8031 . . . 4 (0 + 1) = 1
1412, 13syl6eq 2088 . . 3 (𝑁 = 3 → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) = 1)
15 oveq1 5519 . . . . . 6 (𝑁 = 3 → (𝑁 − 1) = (3 − 1))
16 3m1e2 8036 . . . . . 6 (3 − 1) = 2
1715, 16syl6eq 2088 . . . . 5 (𝑁 = 3 → (𝑁 − 1) = 2)
1817oveq1d 5527 . . . 4 (𝑁 = 3 → ((𝑁 − 1) / 2) = (2 / 2))
19 2div2e1 8042 . . . 4 (2 / 2) = 1
2018, 19syl6eq 2088 . . 3 (𝑁 = 3 → ((𝑁 − 1) / 2) = 1)
212, 14, 203brtr4d 3794 . 2 (𝑁 = 3 → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
22 uzp1 8506 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘5) → (𝑁 = 5 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ‘(5 + 1))))
23 2re 7985 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
2423leidi 7477 . . . . . 6 2 ≤ 2
2524a1i 9 . . . . 5 (𝑁 = 5 → 2 ≤ 2)
26 oveq1 5519 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 5 → (𝑁 / 4) = (5 / 4))
2726fveq2d 5182 . . . . . . . 8 (𝑁 = 5 → (⌊‘(𝑁 / 4)) = (⌊‘(5 / 4)))
28 df-5 7976 . . . . . . . . . . . 12 5 = (4 + 1)
2928oveq1i 5522 . . . . . . . . . . 11 (5 / 4) = ((4 + 1) / 4)
30 4cn 7993 . . . . . . . . . . . . 13 4 ∈ ℂ
31 ax-1cn 6977 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
32 4ap0 8015 . . . . . . . . . . . . 13 4 # 0
3330, 31, 30, 32divdirapi 7745 . . . . . . . . . . . 12 ((4 + 1) / 4) = ((4 / 4) + (1 / 4))
3430, 32dividapi 7721 . . . . . . . . . . . . 13 (4 / 4) = 1
3534oveq1i 5522 . . . . . . . . . . . 12 ((4 / 4) + (1 / 4)) = (1 + (1 / 4))
3633, 35eqtri 2060 . . . . . . . . . . 11 ((4 + 1) / 4) = (1 + (1 / 4))
3729, 36eqtri 2060 . . . . . . . . . 10 (5 / 4) = (1 + (1 / 4))
3837fveq2i 5181 . . . . . . . . 9 (⌊‘(5 / 4)) = (⌊‘(1 + (1 / 4)))
39 1re 7026 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
40 0le1 7476 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ 1
41 4re 7992 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℝ
42 4pos 8013 . . . . . . . . . . 11 0 < 4
43 divge0 7839 . . . . . . . . . . 11 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)) → 0 ≤ (1 / 4))
4439, 40, 41, 42, 43mp4an 403 . . . . . . . . . 10 0 ≤ (1 / 4)
45 1lt4 8091 . . . . . . . . . . 11 1 < 4
46 recgt1 7863 . . . . . . . . . . . 12 ((4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4) → (1 < 4 ↔ (1 / 4) < 1))
4741, 42, 46mp2an 402 . . . . . . . . . . 11 (1 < 4 ↔ (1 / 4) < 1)
4845, 47mpbi 133 . . . . . . . . . 10 (1 / 4) < 1
49 1z 8271 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℤ
50 znq 8559 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℕ) → (1 / 4) ∈ ℚ)
5149, 7, 50mp2an 402 . . . . . . . . . . 11 (1 / 4) ∈ ℚ
52 flqbi2 9133 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℤ ∧ (1 / 4) ∈ ℚ) → ((⌊‘(1 + (1 / 4))) = 1 ↔ (0 ≤ (1 / 4) ∧ (1 / 4) < 1)))
5349, 51, 52mp2an 402 . . . . . . . . . 10 ((⌊‘(1 + (1 / 4))) = 1 ↔ (0 ≤ (1 / 4) ∧ (1 / 4) < 1))
5444, 48, 53mpbir2an 849 . . . . . . . . 9 (⌊‘(1 + (1 / 4))) = 1
5538, 54eqtri 2060 . . . . . . . 8 (⌊‘(5 / 4)) = 1
5627, 55syl6eq 2088 . . . . . . 7 (𝑁 = 5 → (⌊‘(𝑁 / 4)) = 1)
5756oveq1d 5527 . . . . . 6 (𝑁 = 5 → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) = (1 + 1))
58 1p1e2 8033 . . . . . 6 (1 + 1) = 2
5957, 58syl6eq 2088 . . . . 5 (𝑁 = 5 → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) = 2)
60 oveq1 5519 . . . . . . . 8 (𝑁 = 5 → (𝑁 − 1) = (5 − 1))
6130, 31, 28mvrraddi 7228 . . . . . . . 8 (5 − 1) = 4
6260, 61syl6eq 2088 . . . . . . 7 (𝑁 = 5 → (𝑁 − 1) = 4)
6362oveq1d 5527 . . . . . 6 (𝑁 = 5 → ((𝑁 − 1) / 2) = (4 / 2))
64 4d2e2 8076 . . . . . 6 (4 / 2) = 2
6563, 64syl6eq 2088 . . . . 5 (𝑁 = 5 → ((𝑁 − 1) / 2) = 2)
6625, 59, 653brtr4d 3794 . . . 4 (𝑁 = 5 → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
67 eluz2 8479 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘6) ↔ (6 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁))
68 znq 8559 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℕ) → (𝑁 / 4) ∈ ℚ)
697, 68mpan2 401 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 / 4) ∈ ℚ)
70 flqle 9120 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 / 4) ∈ ℚ → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ (𝑁 / 4))
7169, 70syl 14 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ (𝑁 / 4))
7271adantr 261 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁) → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ (𝑁 / 4))
7369flqcld 9119 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℤ)
7473zred 8360 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℝ)
75 zre 8249 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
76 id 19 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℝ)
7741a1i 9 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℝ → 4 ∈ ℝ)
7832a1i 9 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℝ → 4 # 0)
7976, 77, 78redivclapd 7808 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 / 4) ∈ ℝ)
8075, 79syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 / 4) ∈ ℝ)
8139a1i 9 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
8274, 80, 813jca 1084 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → ((⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℝ ∧ (𝑁 / 4) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ))
8382adantr 261 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℝ ∧ (𝑁 / 4) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ))
84 leadd1 7425 . . . . . . . . . 10 (((⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℝ ∧ (𝑁 / 4) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ (𝑁 / 4) ↔ ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 / 4) + 1)))
8583, 84syl 14 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ (𝑁 / 4) ↔ ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 / 4) + 1)))
8672, 85mpbid 135 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 / 4) + 1))
87 div4p1lem1div2 8177 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 6 ≤ 𝑁) → ((𝑁 / 4) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
8875, 87sylan 267 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁) → ((𝑁 / 4) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
89 peano2re 7149 . . . . . . . . . . . 12 ((⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℝ → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ∈ ℝ)
9074, 89syl 14 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ∈ ℝ)
91 peano2re 7149 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 / 4) ∈ ℝ → ((𝑁 / 4) + 1) ∈ ℝ)
9280, 91syl 14 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 / 4) + 1) ∈ ℝ)
93 peano2rem 7278 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
9493rehalfcld 8171 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ)
9575, 94syl 14 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ)
9690, 92, 953jca 1084 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → (((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 / 4) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ))
9796adantr 261 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁) → (((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 / 4) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ))
98 letr 7101 . . . . . . . . 9 ((((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 / 4) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ) → ((((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 / 4) + 1) ∧ ((𝑁 / 4) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2)) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
9997, 98syl 14 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁) → ((((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 / 4) + 1) ∧ ((𝑁 / 4) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2)) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
10086, 88, 99mp2and 409 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
1011003adant1 922 . . . . . 6 ((6 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
10267, 101sylbi 114 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘6) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
103 5p1e6 8047 . . . . . 6 (5 + 1) = 6
104103fveq2i 5181 . . . . 5 (ℤ‘(5 + 1)) = (ℤ‘6)
105102, 104eleq2s 2132 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘(5 + 1)) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
10666, 105jaoi 636 . . 3 ((𝑁 = 5 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ‘(5 + 1))) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
10722, 106syl 14 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘5) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
10821, 107jaoi 636 1 ((𝑁 = 3 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ‘5)) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∨ wo 629   ∧ w3a 885   = wceq 1243   ∈ wcel 1393   class class class wbr 3764  ‘cfv 4902  (class class class)co 5512  ℝcr 6888  0cc0 6889  1c1 6890   + caddc 6892   < clt 7060   ≤ cle 7061   − cmin 7182   # cap 7572   / cdiv 7651  ℕcn 7914  2c2 7964  3c3 7965  4c4 7966  5c5 7967  6c6 7968  ℕ0cn0 8181  ℤcz 8245  ℤ≥cuz 8473  ℚcq 8554  ⌊cfl 9112 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-mulrcl 6983  ax-addcom 6984  ax-mulcom 6985  ax-addass 6986  ax-mulass 6987  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-1rid 6991  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-precex 6994  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-apti 6999  ax-pre-ltadd 7000  ax-pre-mulgt0 7001  ax-pre-mulext 7002  ax-arch 7003 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rmo 2314  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-reap 7566  df-ap 7573  df-div 7652  df-inn 7915  df-2 7973  df-3 7974  df-4 7975  df-5 7976  df-6 7977  df-n0 8182  df-z 8246  df-uz 8474  df-q 8555  df-rp 8584  df-fl 9114 This theorem is referenced by: (None)
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