ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rexuz2 Structured version   GIF version

Theorem rexuz2 8300
Description: Restricted existential quantification in an upper set of integers. (Contributed by NM, 9-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
rexuz2 (𝑛 (ℤ𝑀)φ ↔ (𝑀 𝑛 ℤ (𝑀𝑛 φ)))
Distinct variable group:   𝑛,𝑀
Allowed substitution hint:   φ(𝑛)

Proof of Theorem rexuz2
StepHypRef Expression
1 eluz2 8255 . . . . . 6 (𝑛 (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 𝑛 𝑀𝑛))
2 df-3an 886 . . . . . 6 ((𝑀 𝑛 𝑀𝑛) ↔ ((𝑀 𝑛 ℤ) 𝑀𝑛))
31, 2bitri 173 . . . . 5 (𝑛 (ℤ𝑀) ↔ ((𝑀 𝑛 ℤ) 𝑀𝑛))
43anbi1i 431 . . . 4 ((𝑛 (ℤ𝑀) φ) ↔ (((𝑀 𝑛 ℤ) 𝑀𝑛) φ))
5 anass 381 . . . . 5 ((((𝑀 𝑛 ℤ) 𝑀𝑛) φ) ↔ ((𝑀 𝑛 ℤ) (𝑀𝑛 φ)))
6 anass 381 . . . . . 6 (((𝑀 𝑛 ℤ) (𝑀𝑛 φ)) ↔ (𝑀 (𝑛 (𝑀𝑛 φ))))
7 an12 495 . . . . . 6 ((𝑀 (𝑛 (𝑀𝑛 φ))) ↔ (𝑛 (𝑀 (𝑀𝑛 φ))))
86, 7bitri 173 . . . . 5 (((𝑀 𝑛 ℤ) (𝑀𝑛 φ)) ↔ (𝑛 (𝑀 (𝑀𝑛 φ))))
95, 8bitri 173 . . . 4 ((((𝑀 𝑛 ℤ) 𝑀𝑛) φ) ↔ (𝑛 (𝑀 (𝑀𝑛 φ))))
104, 9bitri 173 . . 3 ((𝑛 (ℤ𝑀) φ) ↔ (𝑛 (𝑀 (𝑀𝑛 φ))))
1110rexbii2 2329 . 2 (𝑛 (ℤ𝑀)φ𝑛 ℤ (𝑀 (𝑀𝑛 φ)))
12 r19.42v 2461 . 2 (𝑛 ℤ (𝑀 (𝑀𝑛 φ)) ↔ (𝑀 𝑛 ℤ (𝑀𝑛 φ)))
1311, 12bitri 173 1 (𝑛 (ℤ𝑀)φ ↔ (𝑀 𝑛 ℤ (𝑀𝑛 φ)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wa 97  wb 98   w3a 884   wcel 1390  wrex 2301   class class class wbr 3755  cfv 4845  cle 6858  cz 8021  cuz 8249
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-fv 4853  df-ov 5458  df-neg 6982  df-z 8022  df-uz 8250
This theorem is referenced by:  2rexuz  8301
  Copyright terms: Public domain W3C validator