Theorem uzsubsubfz 8911

Description: Membership of an integer greater than L decreased by ( L - M ) in an M based finite set of sequential integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
uzsubsubfz	⊢ ((𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐿)) → (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem uzsubsubfz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 8479	. . 3 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿))
2		eluz2 8479	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐿) ↔ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁))
3		simpr 103	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
4		simpr 103	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
5	4	adantr 261	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
6		zsubcl 8286	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℤ)
7	6	adantlr 446	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℤ)
8	5, 7	zsubcld 8365	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ ℤ)
9	3, 5, 8	3jca 1084	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ ℤ))
10	9	ex 108	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ ℤ)))
11	10	3adant3 924	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ ℤ)))
12	11	com12 27	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ ℤ)))
13	12	adantr 261	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ ℤ)))
14	13	imp 115	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ ℤ))
15		zre 8249	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
16	15	adantl 262	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
17	16	adantr 261	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿)) → 𝑁 ∈ ℝ)
18		zre 8249	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℝ)
19	18	adantr 261	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ ℝ)
20	19	adantr 261	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿)) → 𝐿 ∈ ℝ)
21	17, 20	subge0d 7526	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿)) → (0 ≤ (𝑁 − 𝐿) ↔ 𝐿 ≤ 𝑁))
22	21	exbiri 364	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → (𝐿 ≤ 𝑁 → 0 ≤ (𝑁 − 𝐿))))
23	22	com23 72	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐿 ≤ 𝑁 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → 0 ≤ (𝑁 − 𝐿))))
24	23	3impia 1101	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → 0 ≤ (𝑁 − 𝐿)))
25	24	impcom 116	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → 0 ≤ (𝑁 − 𝐿))
26		zre 8249	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
27	26	adantr 261	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → 𝑀 ∈ ℝ)
28	27	adantr 261	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ)
29		resubcl 7275	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℝ)
30	15, 18, 29	syl2anr 274	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℝ)
31	30	3adant3 924	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℝ)
32	31	adantl 262	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℝ)
33	28, 32	addge02d 7525	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → (0 ≤ (𝑁 − 𝐿) ↔ 𝑀 ≤ ((𝑁 − 𝐿) + 𝑀)))
34	25, 33	mpbid 135	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → 𝑀 ≤ ((𝑁 − 𝐿) + 𝑀))
35		zcn 8250	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
36	35	3ad2ant2 926	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
37	36	adantl 262	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
38		zcn 8250	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℂ)
39	38	3ad2ant1 925	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → 𝐿 ∈ ℂ)
40	39	adantl 262	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → 𝐿 ∈ ℂ)
41		zcn 8250	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
42	41	adantr 261	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → 𝑀 ∈ ℂ)
43	42	adantr 261	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → 𝑀 ∈ ℂ)
44	37, 40, 43	subsubd 7350	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) = ((𝑁 − 𝐿) + 𝑀))
45	34, 44	breqtrrd 3790	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → 𝑀 ≤ (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)))
46	18	3ad2ant1 925	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → 𝐿 ∈ ℝ)
47		subge0 7470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐿 − 𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝐿))
48	46, 26, 47	syl2anr 274	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → (0 ≤ (𝐿 − 𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝐿))
49	48	exbiri 364	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → (𝑀 ≤ 𝐿 → 0 ≤ (𝐿 − 𝑀))))
50	49	com23 72	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ≤ 𝐿 → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → 0 ≤ (𝐿 − 𝑀))))
51	50	imp31 243	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → 0 ≤ (𝐿 − 𝑀))
52	15	3ad2ant2 926	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
53	52	adantl 262	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
54		resubcl 7275	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℝ)
55	46, 27, 54	syl2anr 274	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℝ)
56	53, 55	subge02d 7528	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → (0 ≤ (𝐿 − 𝑀) ↔ (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ≤ 𝑁))
57	51, 56	mpbid 135	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ≤ 𝑁)
58	45, 57	jca 290	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → (𝑀 ≤ (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∧ (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ≤ 𝑁))
59		elfz2 8881	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∧ (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ≤ 𝑁)))
60	14, 58, 59	sylanbrc 394	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ (𝑀...𝑁))
61	60	ex 108	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ (𝑀...𝑁)))
62	61	3adant2 923	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ (𝑀...𝑁)))
63	2, 62	syl5bi 141	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐿) → (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ (𝑀...𝑁)))
64	1, 63	sylbi 114	. 2 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐿) → (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ (𝑀...𝑁)))
65	64	imp 115	1 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐿)) → (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∧ w3a 885   ∈ wcel 1393   class class class wbr 3764  ‘cfv 4902  (class class class)co 5512  ℂcc 6887  ℝcr 6888  0cc0 6889   + caddc 6892   ≤ cle 7061   − cmin 7182  ℤcz 8245  ℤ_≥cuz 8473  ...cfz 8874

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-addcom 6984  ax-addass 6986  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-ltadd 7000

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-inn 7915  df-n0 8182  df-z 8246  df-uz 8474  df-fz 8875

This theorem is referenced by:  uzsubsubfz1  8912