ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  uzsubsubfz Structured version   GIF version

Theorem uzsubsubfz 8661
Description: Membership of an integer greater than L decreased by ( L - M ) in an M based finite set of sequential integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
uzsubsubfz ((𝐿 (ℤ𝑀) 𝑁 (ℤ𝐿)) → (𝑁 − (𝐿𝑀)) (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem uzsubsubfz
StepHypRef Expression
1 eluz2 8235 . . 3 (𝐿 (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 𝐿 𝑀𝐿))
2 eluz2 8235 . . . 4 (𝑁 (ℤ𝐿) ↔ (𝐿 𝑁 𝐿𝑁))
3 simpr 103 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐿 𝑁 ℤ) 𝑀 ℤ) → 𝑀 ℤ)
4 simpr 103 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐿 𝑁 ℤ) → 𝑁 ℤ)
54adantr 261 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐿 𝑁 ℤ) 𝑀 ℤ) → 𝑁 ℤ)
6 zsubcl 8042 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐿 𝑀 ℤ) → (𝐿𝑀) ℤ)
76adantlr 446 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐿 𝑁 ℤ) 𝑀 ℤ) → (𝐿𝑀) ℤ)
85, 7zsubcld 8121 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐿 𝑁 ℤ) 𝑀 ℤ) → (𝑁 − (𝐿𝑀)) ℤ)
93, 5, 83jca 1083 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐿 𝑁 ℤ) 𝑀 ℤ) → (𝑀 𝑁 (𝑁 − (𝐿𝑀)) ℤ))
109ex 108 . . . . . . . . . . 11 ((𝐿 𝑁 ℤ) → (𝑀 ℤ → (𝑀 𝑁 (𝑁 − (𝐿𝑀)) ℤ)))
11103adant3 923 . . . . . . . . . 10 ((𝐿 𝑁 𝐿𝑁) → (𝑀 ℤ → (𝑀 𝑁 (𝑁 − (𝐿𝑀)) ℤ)))
1211com12 27 . . . . . . . . 9 (𝑀 ℤ → ((𝐿 𝑁 𝐿𝑁) → (𝑀 𝑁 (𝑁 − (𝐿𝑀)) ℤ)))
1312adantr 261 . . . . . . . 8 ((𝑀 𝑀𝐿) → ((𝐿 𝑁 𝐿𝑁) → (𝑀 𝑁 (𝑁 − (𝐿𝑀)) ℤ)))
1413imp 115 . . . . . . 7 (((𝑀 𝑀𝐿) (𝐿 𝑁 𝐿𝑁)) → (𝑀 𝑁 (𝑁 − (𝐿𝑀)) ℤ))
15 zre 8005 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ℤ → 𝑁 ℝ)
1615adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐿 𝑁 ℤ) → 𝑁 ℝ)
1716adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐿 𝑁 ℤ) (𝑀 𝑀𝐿)) → 𝑁 ℝ)
18 zre 8005 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐿 ℤ → 𝐿 ℝ)
1918adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐿 𝑁 ℤ) → 𝐿 ℝ)
2019adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐿 𝑁 ℤ) (𝑀 𝑀𝐿)) → 𝐿 ℝ)
2117, 20subge0d 7301 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐿 𝑁 ℤ) (𝑀 𝑀𝐿)) → (0 ≤ (𝑁𝐿) ↔ 𝐿𝑁))
2221exbiri 364 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐿 𝑁 ℤ) → ((𝑀 𝑀𝐿) → (𝐿𝑁 → 0 ≤ (𝑁𝐿))))
2322com23 72 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐿 𝑁 ℤ) → (𝐿𝑁 → ((𝑀 𝑀𝐿) → 0 ≤ (𝑁𝐿))))
24233impia 1100 . . . . . . . . . . 11 ((𝐿 𝑁 𝐿𝑁) → ((𝑀 𝑀𝐿) → 0 ≤ (𝑁𝐿)))
2524impcom 116 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 𝑀𝐿) (𝐿 𝑁 𝐿𝑁)) → 0 ≤ (𝑁𝐿))
26 zre 8005 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ℤ → 𝑀 ℝ)
2726adantr 261 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 𝑀𝐿) → 𝑀 ℝ)
2827adantr 261 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 𝑀𝐿) (𝐿 𝑁 𝐿𝑁)) → 𝑀 ℝ)
29 resubcl 7051 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 𝐿 ℝ) → (𝑁𝐿) ℝ)
3015, 18, 29syl2anr 274 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐿 𝑁 ℤ) → (𝑁𝐿) ℝ)
31303adant3 923 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐿 𝑁 𝐿𝑁) → (𝑁𝐿) ℝ)
3231adantl 262 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 𝑀𝐿) (𝐿 𝑁 𝐿𝑁)) → (𝑁𝐿) ℝ)
3328, 32addge02d 7300 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 𝑀𝐿) (𝐿 𝑁 𝐿𝑁)) → (0 ≤ (𝑁𝐿) ↔ 𝑀 ≤ ((𝑁𝐿) + 𝑀)))
3425, 33mpbid 135 . . . . . . . . 9 (((𝑀 𝑀𝐿) (𝐿 𝑁 𝐿𝑁)) → 𝑀 ≤ ((𝑁𝐿) + 𝑀))
35 zcn 8006 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ℤ → 𝑁 ℂ)
36353ad2ant2 925 . . . . . . . . . . 11 ((𝐿 𝑁 𝐿𝑁) → 𝑁 ℂ)
3736adantl 262 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 𝑀𝐿) (𝐿 𝑁 𝐿𝑁)) → 𝑁 ℂ)
38 zcn 8006 . . . . . . . . . . . 12 (𝐿 ℤ → 𝐿 ℂ)
39383ad2ant1 924 . . . . . . . . . . 11 ((𝐿 𝑁 𝐿𝑁) → 𝐿 ℂ)
4039adantl 262 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 𝑀𝐿) (𝐿 𝑁 𝐿𝑁)) → 𝐿 ℂ)
41 zcn 8006 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ℤ → 𝑀 ℂ)
4241adantr 261 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 𝑀𝐿) → 𝑀 ℂ)
4342adantr 261 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 𝑀𝐿) (𝐿 𝑁 𝐿𝑁)) → 𝑀 ℂ)
4437, 40, 43subsubd 7126 . . . . . . . . 9 (((𝑀 𝑀𝐿) (𝐿 𝑁 𝐿𝑁)) → (𝑁 − (𝐿𝑀)) = ((𝑁𝐿) + 𝑀))
4534, 44breqtrrd 3781 . . . . . . . 8 (((𝑀 𝑀𝐿) (𝐿 𝑁 𝐿𝑁)) → 𝑀 ≤ (𝑁 − (𝐿𝑀)))
46183ad2ant1 924 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐿 𝑁 𝐿𝑁) → 𝐿 ℝ)
47 subge0 7245 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐿 𝑀 ℝ) → (0 ≤ (𝐿𝑀) ↔ 𝑀𝐿))
4846, 26, 47syl2anr 274 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 (𝐿 𝑁 𝐿𝑁)) → (0 ≤ (𝐿𝑀) ↔ 𝑀𝐿))
4948exbiri 364 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ℤ → ((𝐿 𝑁 𝐿𝑁) → (𝑀𝐿 → 0 ≤ (𝐿𝑀))))
5049com23 72 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ℤ → (𝑀𝐿 → ((𝐿 𝑁 𝐿𝑁) → 0 ≤ (𝐿𝑀))))
5150imp31 243 . . . . . . . . 9 (((𝑀 𝑀𝐿) (𝐿 𝑁 𝐿𝑁)) → 0 ≤ (𝐿𝑀))
52153ad2ant2 925 . . . . . . . . . . 11 ((𝐿 𝑁 𝐿𝑁) → 𝑁 ℝ)
5352adantl 262 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 𝑀𝐿) (𝐿 𝑁 𝐿𝑁)) → 𝑁 ℝ)
54 resubcl 7051 . . . . . . . . . . 11 ((𝐿 𝑀 ℝ) → (𝐿𝑀) ℝ)
5546, 27, 54syl2anr 274 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 𝑀𝐿) (𝐿 𝑁 𝐿𝑁)) → (𝐿𝑀) ℝ)
5653, 55subge02d 7303 . . . . . . . . 9 (((𝑀 𝑀𝐿) (𝐿 𝑁 𝐿𝑁)) → (0 ≤ (𝐿𝑀) ↔ (𝑁 − (𝐿𝑀)) ≤ 𝑁))
5751, 56mpbid 135 . . . . . . . 8 (((𝑀 𝑀𝐿) (𝐿 𝑁 𝐿𝑁)) → (𝑁 − (𝐿𝑀)) ≤ 𝑁)
5845, 57jca 290 . . . . . . 7 (((𝑀 𝑀𝐿) (𝐿 𝑁 𝐿𝑁)) → (𝑀 ≤ (𝑁 − (𝐿𝑀)) (𝑁 − (𝐿𝑀)) ≤ 𝑁))
59 elfz2 8631 . . . . . . 7 ((𝑁 − (𝐿𝑀)) (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 𝑁 (𝑁 − (𝐿𝑀)) ℤ) (𝑀 ≤ (𝑁 − (𝐿𝑀)) (𝑁 − (𝐿𝑀)) ≤ 𝑁)))
6014, 58, 59sylanbrc 394 . . . . . 6 (((𝑀 𝑀𝐿) (𝐿 𝑁 𝐿𝑁)) → (𝑁 − (𝐿𝑀)) (𝑀...𝑁))
6160ex 108 . . . . 5 ((𝑀 𝑀𝐿) → ((𝐿 𝑁 𝐿𝑁) → (𝑁 − (𝐿𝑀)) (𝑀...𝑁)))
62613adant2 922 . . . 4 ((𝑀 𝐿 𝑀𝐿) → ((𝐿 𝑁 𝐿𝑁) → (𝑁 − (𝐿𝑀)) (𝑀...𝑁)))
632, 62syl5bi 141 . . 3 ((𝑀 𝐿 𝑀𝐿) → (𝑁 (ℤ𝐿) → (𝑁 − (𝐿𝑀)) (𝑀...𝑁)))
641, 63sylbi 114 . 2 (𝐿 (ℤ𝑀) → (𝑁 (ℤ𝐿) → (𝑁 − (𝐿𝑀)) (𝑀...𝑁)))
6564imp 115 1 ((𝐿 (ℤ𝑀) 𝑁 (ℤ𝐿)) → (𝑁 − (𝐿𝑀)) (𝑀...𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   w3a 884   wcel 1390   class class class wbr 3755  cfv 4845  (class class class)co 5455  cc 6689  cr 6690  0cc0 6691   + caddc 6694  cle 6838  cmin 6959  cz 8001  cuz 8229  ...cfz 8624
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6754  ax-resscn 6755  ax-1cn 6756  ax-1re 6757  ax-icn 6758  ax-addcl 6759  ax-addrcl 6760  ax-mulcl 6761  ax-addcom 6763  ax-addass 6765  ax-distr 6767  ax-i2m1 6768  ax-0id 6771  ax-rnegex 6772  ax-cnre 6774  ax-pre-ltirr 6775  ax-pre-ltwlin 6776  ax-pre-lttrn 6777  ax-pre-ltadd 6779
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-iplp 6450  df-iltp 6452  df-enr 6634  df-nr 6635  df-ltr 6638  df-0r 6639  df-1r 6640  df-0 6698  df-1 6699  df-r 6701  df-lt 6704  df-pnf 6839  df-mnf 6840  df-xr 6841  df-ltxr 6842  df-le 6843  df-sub 6961  df-neg 6962  df-inn 7676  df-n0 7938  df-z 8002  df-uz 8230  df-fz 8625
This theorem is referenced by:  uzsubsubfz1  8662
  Copyright terms: Public domain W3C validator