Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn0lt2 Structured version   GIF version

Theorem nn0lt2 8047
 Description: A nonnegative integer less than 2 must be 0 or 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
nn0lt2 ((𝑁 0 𝑁 < 2) → (𝑁 = 0 𝑁 = 1))

Proof of Theorem nn0lt2
StepHypRef Expression
1 olc 631 . . 3 (𝑁 = 1 → (𝑁 = 0 𝑁 = 1))
21a1i 9 . 2 ((𝑁 0 𝑁 < 2) → (𝑁 = 1 → (𝑁 = 0 𝑁 = 1)))
3 nn0z 7991 . . . . . 6 (𝑁 0𝑁 ℤ)
4 2z 7999 . . . . . 6 2
5 zltlem1 8027 . . . . . 6 ((𝑁 2 ℤ) → (𝑁 < 2 ↔ 𝑁 ≤ (2 − 1)))
63, 4, 5sylancl 392 . . . . 5 (𝑁 0 → (𝑁 < 2 ↔ 𝑁 ≤ (2 − 1)))
7 2m1e1 7762 . . . . . 6 (2 − 1) = 1
87breq2i 3762 . . . . 5 (𝑁 ≤ (2 − 1) ↔ 𝑁 ≤ 1)
96, 8syl6bb 185 . . . 4 (𝑁 0 → (𝑁 < 2 ↔ 𝑁 ≤ 1))
10 necom 2283 . . . . 5 (𝑁 ≠ 1 ↔ 1 ≠ 𝑁)
11 1z 7997 . . . . . . . 8 1
12 zltlen 8044 . . . . . . . 8 ((𝑁 1 ℤ) → (𝑁 < 1 ↔ (𝑁 ≤ 1 1 ≠ 𝑁)))
133, 11, 12sylancl 392 . . . . . . 7 (𝑁 0 → (𝑁 < 1 ↔ (𝑁 ≤ 1 1 ≠ 𝑁)))
14 nn0lt10b 8046 . . . . . . . . . 10 (𝑁 0 → (𝑁 < 1 ↔ 𝑁 = 0))
1514biimpa 280 . . . . . . . . 9 ((𝑁 0 𝑁 < 1) → 𝑁 = 0)
1615orcd 651 . . . . . . . 8 ((𝑁 0 𝑁 < 1) → (𝑁 = 0 𝑁 = 1))
1716ex 108 . . . . . . 7 (𝑁 0 → (𝑁 < 1 → (𝑁 = 0 𝑁 = 1)))
1813, 17sylbird 159 . . . . . 6 (𝑁 0 → ((𝑁 ≤ 1 1 ≠ 𝑁) → (𝑁 = 0 𝑁 = 1)))
1918expd 245 . . . . 5 (𝑁 0 → (𝑁 ≤ 1 → (1 ≠ 𝑁 → (𝑁 = 0 𝑁 = 1))))
2010, 19syl7bi 154 . . . 4 (𝑁 0 → (𝑁 ≤ 1 → (𝑁 ≠ 1 → (𝑁 = 0 𝑁 = 1))))
219, 20sylbid 139 . . 3 (𝑁 0 → (𝑁 < 2 → (𝑁 ≠ 1 → (𝑁 = 0 𝑁 = 1))))
2221imp 115 . 2 ((𝑁 0 𝑁 < 2) → (𝑁 ≠ 1 → (𝑁 = 0 𝑁 = 1)))
23 zdceq 8042 . . . . 5 ((𝑁 1 ℤ) → DECID 𝑁 = 1)
243, 11, 23sylancl 392 . . . 4 (𝑁 0DECID 𝑁 = 1)
2524adantr 261 . . 3 ((𝑁 0 𝑁 < 2) → DECID 𝑁 = 1)
26 dcne 2211 . . 3 (DECID 𝑁 = 1 ↔ (𝑁 = 1 𝑁 ≠ 1))
2725, 26sylib 127 . 2 ((𝑁 0 𝑁 < 2) → (𝑁 = 1 𝑁 ≠ 1))
282, 22, 27mpjaod 637 1 ((𝑁 0 𝑁 < 2) → (𝑁 = 0 𝑁 = 1))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∨ wo 628  DECID wdc 741   = wceq 1242   ∈ wcel 1390   ≠ wne 2201   class class class wbr 3754  (class class class)co 5452  0cc0 6663  1c1 6664   < clt 6809   ≤ cle 6810   − cmin 6931  2c2 7695  ℕ0cn0 7907  ℤcz 7971 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3862  ax-sep 3865  ax-nul 3873  ax-pow 3917  ax-pr 3934  ax-un 4135  ax-setind 4219  ax-iinf 4253  ax-cnex 6726  ax-resscn 6727  ax-1cn 6728  ax-1re 6729  ax-icn 6730  ax-addcl 6731  ax-addrcl 6732  ax-mulcl 6733  ax-mulrcl 6734  ax-addcom 6735  ax-mulcom 6736  ax-addass 6737  ax-mulass 6738  ax-distr 6739  ax-i2m1 6740  ax-1rid 6742  ax-0id 6743  ax-rnegex 6744  ax-precex 6745  ax-cnre 6746  ax-pre-ltirr 6747  ax-pre-ltwlin 6748  ax-pre-lttrn 6749  ax-pre-apti 6750  ax-pre-ltadd 6751  ax-pre-mulgt0 6752 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3352  df-sn 3372  df-pr 3373  df-op 3375  df-uni 3571  df-int 3606  df-iun 3649  df-br 3755  df-opab 3809  df-mpt 3810  df-tr 3845  df-eprel 4016  df-id 4020  df-po 4023  df-iso 4024  df-iord 4068  df-on 4070  df-suc 4073  df-iom 4256  df-xp 4293  df-rel 4294  df-cnv 4295  df-co 4296  df-dm 4297  df-rn 4298  df-res 4299  df-ima 4300  df-iota 4809  df-fun 4846  df-fn 4847  df-f 4848  df-f1 4849  df-fo 4850  df-f1o 4851  df-fv 4852  df-riota 5409  df-ov 5455  df-oprab 5456  df-mpt2 5457  df-1st 5706  df-2nd 5707  df-recs 5858  df-irdg 5894  df-1o 5933  df-2o 5934  df-oadd 5937  df-omul 5938  df-er 6035  df-ec 6037  df-qs 6041  df-ni 6281  df-pli 6282  df-mi 6283  df-lti 6284  df-plpq 6321  df-mpq 6322  df-enq 6324  df-nqqs 6325  df-plqqs 6326  df-mqqs 6327  df-1nqqs 6328  df-rq 6329  df-ltnqqs 6330  df-enq0 6399  df-nq0 6400  df-0nq0 6401  df-plq0 6402  df-mq0 6403  df-inp 6441  df-i1p 6442  df-iplp 6443  df-iltp 6445  df-enr 6606  df-nr 6607  df-ltr 6610  df-0r 6611  df-1r 6612  df-0 6670  df-1 6671  df-r 6673  df-lt 6676  df-pnf 6811  df-mnf 6812  df-xr 6813  df-ltxr 6814  df-le 6815  df-sub 6933  df-neg 6934  df-reap 7311  df-ap 7318  df-inn 7647  df-2 7704  df-n0 7908  df-z 7972 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator