Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltabs GIF version

Theorem ltabs 9683
 Description: A number which is less than its absolute value is negative. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
ltabs ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) → 𝐴 < 0)

Proof of Theorem ltabs
StepHypRef Expression
1 simpr 103 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 < 0)
2 simpllr 486 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) ∧ 0 < (abs‘𝐴)) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 < (abs‘𝐴))
3 simpll 481 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) ∧ 0 < (abs‘𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ)
43adantr 261 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) ∧ 0 < (abs‘𝐴)) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
5 0red 7028 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) ∧ 0 < (abs‘𝐴)) ∧ 0 < 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
6 simpr 103 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) ∧ 0 < (abs‘𝐴)) ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
75, 4, 6ltled 7135 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) ∧ 0 < (abs‘𝐴)) ∧ 0 < 𝐴) → 0 ≤ 𝐴)
8 absid 9669 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
94, 7, 8syl2anc 391 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) ∧ 0 < (abs‘𝐴)) ∧ 0 < 𝐴) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
102, 9breqtrd 3788 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) ∧ 0 < (abs‘𝐴)) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 < 𝐴)
114ltnrd 7129 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) ∧ 0 < (abs‘𝐴)) ∧ 0 < 𝐴) → ¬ 𝐴 < 𝐴)
1210, 11pm2.65da 587 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) ∧ 0 < (abs‘𝐴)) → ¬ 0 < 𝐴)
13 recn 7014 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
14 abscl 9649 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
1513, 14syl 14 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
1615ad2antrr 457 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) ∧ 0 < (abs‘𝐴)) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
17 simpr 103 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) ∧ 0 < (abs‘𝐴)) → 0 < (abs‘𝐴))
1816, 17gt0ap0d 7619 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) ∧ 0 < (abs‘𝐴)) → (abs‘𝐴) # 0)
19 abs00ap 9660 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) # 0 ↔ 𝐴 # 0))
203, 13, 193syl 17 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) ∧ 0 < (abs‘𝐴)) → ((abs‘𝐴) # 0 ↔ 𝐴 # 0))
2118, 20mpbid 135 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) ∧ 0 < (abs‘𝐴)) → 𝐴 # 0)
22 0re 7027 . . . . 5 0 ∈ ℝ
23 reaplt 7579 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 # 0 ↔ (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴)))
243, 22, 23sylancl 392 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) ∧ 0 < (abs‘𝐴)) → (𝐴 # 0 ↔ (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴)))
2521, 24mpbid 135 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) ∧ 0 < (abs‘𝐴)) → (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴))
2612, 25ecased 1239 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) ∧ 0 < (abs‘𝐴)) → 𝐴 < 0)
27 axltwlin 7087 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 < (abs‘𝐴) → (𝐴 < 0 ∨ 0 < (abs‘𝐴))))
2822, 27mp3an3 1221 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝐴 < (abs‘𝐴) → (𝐴 < 0 ∨ 0 < (abs‘𝐴))))
2915, 28mpdan 398 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < (abs‘𝐴) → (𝐴 < 0 ∨ 0 < (abs‘𝐴))))
3029imp 115 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) → (𝐴 < 0 ∨ 0 < (abs‘𝐴)))
311, 26, 30mpjaodan 711 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (abs‘𝐴)) → 𝐴 < 0)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∨ wo 629   = wceq 1243   ∈ wcel 1393   class class class wbr 3764  ‘cfv 4902  ℂcc 6887  ℝcr 6888  0cc0 6889   < clt 7060   ≤ cle 7061   # cap 7572  abscabs 9595 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-mulrcl 6983  ax-addcom 6984  ax-mulcom 6985  ax-addass 6986  ax-mulass 6987  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-1rid 6991  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-precex 6994  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-apti 6999  ax-pre-ltadd 7000  ax-pre-mulgt0 7001  ax-pre-mulext 7002  ax-arch 7003  ax-caucvg 7004 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rmo 2314  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-if 3332  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-frec 5978  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-reap 7566  df-ap 7573  df-div 7652  df-inn 7915  df-2 7973  df-3 7974  df-4 7975  df-n0 8182  df-z 8246  df-uz 8474  df-rp 8584  df-iseq 9212  df-iexp 9255  df-cj 9442  df-re 9443  df-im 9444  df-rsqrt 9596  df-abs 9597 This theorem is referenced by:  abslt  9684  absle  9685
 Copyright terms: Public domain W3C validator