Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  indstr Structured version   GIF version

Theorem indstr 8292
 Description: Strong Mathematical Induction for positive integers (inference schema). (Contributed by NM, 17-Aug-2001.)
Hypotheses
Ref Expression
indstr.1 (x = y → (φψ))
indstr.2 (x ℕ → (y ℕ (y < xψ) → φ))
Assertion
Ref Expression
indstr (x ℕ → φ)
Distinct variable groups:   x,y   φ,y   ψ,x
Allowed substitution hints:   φ(x)   ψ(y)

Proof of Theorem indstr
Dummy variables z w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 3759 . . . . 5 (z = 1 → (y < zy < 1))
21imbi1d 220 . . . 4 (z = 1 → ((y < zψ) ↔ (y < 1 → ψ)))
32ralbidv 2320 . . 3 (z = 1 → (y ℕ (y < zψ) ↔ y ℕ (y < 1 → ψ)))
4 breq2 3759 . . . . 5 (z = w → (y < zy < w))
54imbi1d 220 . . . 4 (z = w → ((y < zψ) ↔ (y < wψ)))
65ralbidv 2320 . . 3 (z = w → (y ℕ (y < zψ) ↔ y ℕ (y < wψ)))
7 breq2 3759 . . . . 5 (z = (w + 1) → (y < zy < (w + 1)))
87imbi1d 220 . . . 4 (z = (w + 1) → ((y < zψ) ↔ (y < (w + 1) → ψ)))
98ralbidv 2320 . . 3 (z = (w + 1) → (y ℕ (y < zψ) ↔ y ℕ (y < (w + 1) → ψ)))
10 breq2 3759 . . . . 5 (z = x → (y < zy < x))
1110imbi1d 220 . . . 4 (z = x → ((y < zψ) ↔ (y < xψ)))
1211ralbidv 2320 . . 3 (z = x → (y ℕ (y < zψ) ↔ y ℕ (y < xψ)))
13 nnnlt1 7701 . . . . 5 (y ℕ → ¬ y < 1)
1413pm2.21d 549 . . . 4 (y ℕ → (y < 1 → ψ))
1514rgen 2368 . . 3 y ℕ (y < 1 → ψ)
16 1nn 7686 . . . . 5 1
17 elex2 2564 . . . . 5 (1 ℕ → u u ℕ)
18 nfra1 2349 . . . . . 6 yy ℕ (y < wψ)
1918r19.3rm 3304 . . . . 5 (u u ℕ → (y ℕ (y < wψ) ↔ y y ℕ (y < wψ)))
2016, 17, 19mp2b 8 . . . 4 (y ℕ (y < wψ) ↔ y y ℕ (y < wψ))
21 rsp 2363 . . . . . . . . . 10 (y ℕ (y < wψ) → (y ℕ → (y < wψ)))
2221com12 27 . . . . . . . . 9 (y ℕ → (y ℕ (y < wψ) → (y < wψ)))
2322adantl 262 . . . . . . . 8 ((w y ℕ) → (y ℕ (y < wψ) → (y < wψ)))
24 indstr.2 . . . . . . . . . . . . 13 (x ℕ → (y ℕ (y < xψ) → φ))
2524rgen 2368 . . . . . . . . . . . 12 x ℕ (y ℕ (y < xψ) → φ)
26 nfv 1418 . . . . . . . . . . . . 13 w(y ℕ (y < xψ) → φ)
27 nfv 1418 . . . . . . . . . . . . . 14 xy ℕ (y < wψ)
28 nfsbc1v 2776 . . . . . . . . . . . . . 14 x[w / x]φ
2927, 28nfim 1461 . . . . . . . . . . . . 13 x(y ℕ (y < wψ) → [w / x]φ)
30 breq2 3759 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (x = w → (y < xy < w))
3130imbi1d 220 . . . . . . . . . . . . . . 15 (x = w → ((y < xψ) ↔ (y < wψ)))
3231ralbidv 2320 . . . . . . . . . . . . . 14 (x = w → (y ℕ (y < xψ) ↔ y ℕ (y < wψ)))
33 sbceq1a 2767 . . . . . . . . . . . . . 14 (x = w → (φ[w / x]φ))
3432, 33imbi12d 223 . . . . . . . . . . . . 13 (x = w → ((y ℕ (y < xψ) → φ) ↔ (y ℕ (y < wψ) → [w / x]φ)))
3526, 29, 34cbvral 2523 . . . . . . . . . . . 12 (x ℕ (y ℕ (y < xψ) → φ) ↔ w ℕ (y ℕ (y < wψ) → [w / x]φ))
3625, 35mpbi 133 . . . . . . . . . . 11 w ℕ (y ℕ (y < wψ) → [w / x]φ)
3736rspec 2367 . . . . . . . . . 10 (w ℕ → (y ℕ (y < wψ) → [w / x]φ))
38 vex 2554 . . . . . . . . . . . . 13 y V
39 indstr.1 . . . . . . . . . . . . 13 (x = y → (φψ))
4038, 39sbcie 2791 . . . . . . . . . . . 12 ([y / x]φψ)
41 dfsbcq 2760 . . . . . . . . . . . 12 (y = w → ([y / x]φ[w / x]φ))
4240, 41syl5bbr 183 . . . . . . . . . . 11 (y = w → (ψ[w / x]φ))
4342biimprcd 149 . . . . . . . . . 10 ([w / x]φ → (y = wψ))
4437, 43syl6 29 . . . . . . . . 9 (w ℕ → (y ℕ (y < wψ) → (y = wψ)))
4544adantr 261 . . . . . . . 8 ((w y ℕ) → (y ℕ (y < wψ) → (y = wψ)))
4623, 45jcad 291 . . . . . . 7 ((w y ℕ) → (y ℕ (y < wψ) → ((y < wψ) (y = wψ))))
47 jaob 630 . . . . . . 7 (((y < w y = w) → ψ) ↔ ((y < wψ) (y = wψ)))
4846, 47syl6ibr 151 . . . . . 6 ((w y ℕ) → (y ℕ (y < wψ) → ((y < w y = w) → ψ)))
49 nnleltp1 8059 . . . . . . . . 9 ((y w ℕ) → (ywy < (w + 1)))
50 nnz 8020 . . . . . . . . . 10 (y ℕ → y ℤ)
51 nnz 8020 . . . . . . . . . 10 (w ℕ → w ℤ)
52 zleloe 8048 . . . . . . . . . 10 ((y w ℤ) → (yw ↔ (y < w y = w)))
5350, 51, 52syl2an 273 . . . . . . . . 9 ((y w ℕ) → (yw ↔ (y < w y = w)))
5449, 53bitr3d 179 . . . . . . . 8 ((y w ℕ) → (y < (w + 1) ↔ (y < w y = w)))
5554ancoms 255 . . . . . . 7 ((w y ℕ) → (y < (w + 1) ↔ (y < w y = w)))
5655imbi1d 220 . . . . . 6 ((w y ℕ) → ((y < (w + 1) → ψ) ↔ ((y < w y = w) → ψ)))
5748, 56sylibrd 158 . . . . 5 ((w y ℕ) → (y ℕ (y < wψ) → (y < (w + 1) → ψ)))
5857ralimdva 2381 . . . 4 (w ℕ → (y y ℕ (y < wψ) → y ℕ (y < (w + 1) → ψ)))
5920, 58syl5bi 141 . . 3 (w ℕ → (y ℕ (y < wψ) → y ℕ (y < (w + 1) → ψ)))
603, 6, 9, 12, 15, 59nnind 7691 . 2 (x ℕ → y ℕ (y < xψ))
6160, 24mpd 13 1 (x ℕ → φ)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∨ wo 628   = wceq 1242  ∃wex 1378   ∈ wcel 1390  ∀wral 2300  [wsbc 2758   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  1c1 6692   + caddc 6694   < clt 6837   ≤ cle 6838  ℕcn 7675  ℤcz 8001 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6754  ax-resscn 6755  ax-1cn 6756  ax-1re 6757  ax-icn 6758  ax-addcl 6759  ax-addrcl 6760  ax-mulcl 6761  ax-addcom 6763  ax-addass 6765  ax-distr 6767  ax-i2m1 6768  ax-0id 6771  ax-rnegex 6772  ax-cnre 6774  ax-pre-ltirr 6775  ax-pre-ltwlin 6776  ax-pre-lttrn 6777  ax-pre-ltadd 6779 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-iplp 6450  df-iltp 6452  df-enr 6634  df-nr 6635  df-ltr 6638  df-0r 6639  df-1r 6640  df-0 6698  df-1 6699  df-r 6701  df-lt 6704  df-pnf 6839  df-mnf 6840  df-xr 6841  df-ltxr 6842  df-le 6843  df-sub 6961  df-neg 6962  df-inn 7676  df-n0 7938  df-z 8002 This theorem is referenced by:  indstr2  8302
 Copyright terms: Public domain W3C validator