Theorem indstr 8536

Description: Strong Mathematical Induction for positive integers (inference schema). (Contributed by NM, 17-Aug-2001.)

Hypotheses

Ref	Expression
indstr.1	|- ( x = y -> ( ph <-> ps ) )
indstr.2	|- ( x e. NN -> ( A. y e. NN ( y < x -> ps ) -> ph ) )

Assertion

Ref	Expression
indstr	|- ( x e. NN -> ph )

Distinct variable groups:   x, y   ph, y   ps, x

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( y)

Proof of Theorem indstr

Dummy variables z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 3768	. . . . 5 |- ( z = 1 -> ( y < z <-> y < 1 ) )
2	1	imbi1d 220	. . . 4 |- ( z = 1 -> ( ( y < z -> ps ) <-> ( y < 1 -> ps ) ) )
3	2	ralbidv 2326	. . 3 |- ( z = 1 -> ( A. y e. NN ( y < z -> ps ) <-> A. y e. NN ( y < 1 -> ps ) ) )
4		breq2 3768	. . . . 5 |- ( z = w -> ( y < z <-> y < w ) )
5	4	imbi1d 220	. . . 4 |- ( z = w -> ( ( y < z -> ps ) <-> ( y < w -> ps ) ) )
6	5	ralbidv 2326	. . 3 |- ( z = w -> ( A. y e. NN ( y < z -> ps ) <-> A. y e. NN ( y < w -> ps ) ) )
7		breq2 3768	. . . . 5 |- ( z = ( w + 1 ) -> ( y < z <-> y < ( w + 1 ) ) )
8	7	imbi1d 220	. . . 4 |- ( z = ( w + 1 ) -> ( ( y < z -> ps ) <-> ( y < ( w + 1 ) -> ps ) ) )
9	8	ralbidv 2326	. . 3 |- ( z = ( w + 1 ) -> ( A. y e. NN ( y < z -> ps ) <-> A. y e. NN ( y < ( w + 1 ) -> ps ) ) )
10		breq2 3768	. . . . 5 |- ( z = x -> ( y < z <-> y < x ) )
11	10	imbi1d 220	. . . 4 |- ( z = x -> ( ( y < z -> ps ) <-> ( y < x -> ps ) ) )
12	11	ralbidv 2326	. . 3 |- ( z = x -> ( A. y e. NN ( y < z -> ps ) <-> A. y e. NN ( y < x -> ps ) ) )
13		nnnlt1 7940	. . . . 5 |- ( y e. NN -> -. y < 1 )
14	13	pm2.21d 549	. . . 4 |- ( y e. NN -> ( y < 1 -> ps ) )
15	14	rgen 2374	. . 3 |- A. y e. NN ( y < 1 -> ps )
16		1nn 7925	. . . . 5 |- 1 e. NN
17		elex2 2570	. . . . 5 |- ( 1 e. NN -> E. u u e. NN )
18		nfra1 2355	. . . . . 6 |- F/ y A. y e. NN ( y < w -> ps )
19	18	r19.3rm 3310	. . . . 5 |- ( E. u u e. NN -> ( A. y e. NN ( y < w -> ps ) <-> A. y e. NN A. y e. NN ( y < w -> ps ) ) )
20	16, 17, 19	mp2b 8	. . . 4 |- ( A. y e. NN ( y < w -> ps ) <-> A. y e. NN A. y e. NN ( y < w -> ps ) )
21		rsp 2369	. . . . . . . . . 10 |- ( A. y e. NN ( y < w -> ps ) -> ( y e. NN -> ( y < w -> ps ) ) )
22	21	com12 27	. . . . . . . . 9 |- ( y e. NN -> ( A. y e. NN ( y < w -> ps ) -> ( y < w -> ps ) ) )
23	22	adantl 262	. . . . . . . 8 |- ( ( w e. NN /\ y e. NN ) -> ( A. y e. NN ( y < w -> ps ) -> ( y < w -> ps ) ) )
24		indstr.2	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. NN -> ( A. y e. NN ( y < x -> ps ) -> ph ) )
25	24	rgen 2374	. . . . . . . . . . . 12 |- A. x e. NN ( A. y e. NN ( y < x -> ps ) -> ph )
26		nfv 1421	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ w ( A. y e. NN ( y < x -> ps ) -> ph )
27		nfv 1421	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ x A. y e. NN ( y < w -> ps )
28		nfsbc1v 2782	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ x [. w / x ]. ph
29	27, 28	nfim 1464	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ x ( A. y e. NN ( y < w -> ps ) -> [. w / x ]. ph )
30		breq2 3768	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = w -> ( y < x <-> y < w ) )
31	30	imbi1d 220	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = w -> ( ( y < x -> ps ) <-> ( y < w -> ps ) ) )
32	31	ralbidv 2326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = w -> ( A. y e. NN ( y < x -> ps ) <-> A. y e. NN ( y < w -> ps ) ) )
33		sbceq1a 2773	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = w -> ( ph <-> [. w / x ]. ph ) )
34	32, 33	imbi12d 223	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = w -> ( ( A. y e. NN ( y < x -> ps ) -> ph ) <-> ( A. y e. NN ( y < w -> ps ) -> [. w / x ]. ph ) ) )
35	26, 29, 34	cbvral 2529	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. x e. NN ( A. y e. NN ( y < x -> ps ) -> ph ) <-> A. w e. NN ( A. y e. NN ( y < w -> ps ) -> [. w / x ]. ph ) )
36	25, 35	mpbi 133	. . . . . . . . . . 11 |- A. w e. NN ( A. y e. NN ( y < w -> ps ) -> [. w / x ]. ph )
37	36	rspec 2373	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. NN -> ( A. y e. NN ( y < w -> ps ) -> [. w / x ]. ph ) )
38		vex 2560	. . . . . . . . . . . . 13 |- y e. _V
39		indstr.1	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = y -> ( ph <-> ps ) )
40	38, 39	sbcie 2797	. . . . . . . . . . . 12 |- ( [. y / x ]. ph <-> ps )
41		dfsbcq 2766	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = w -> ( [. y / x ]. ph <-> [. w / x ]. ph ) )
42	40, 41	syl5bbr 183	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = w -> ( ps <-> [. w / x ]. ph ) )
43	42	biimprcd 149	. . . . . . . . . 10 |- ( [. w / x ]. ph -> ( y = w -> ps ) )
44	37, 43	syl6 29	. . . . . . . . 9 |- ( w e. NN -> ( A. y e. NN ( y < w -> ps ) -> ( y = w -> ps ) ) )
45	44	adantr 261	. . . . . . . 8 |- ( ( w e. NN /\ y e. NN ) -> ( A. y e. NN ( y < w -> ps ) -> ( y = w -> ps ) ) )
46	23, 45	jcad 291	. . . . . . 7 |- ( ( w e. NN /\ y e. NN ) -> ( A. y e. NN ( y < w -> ps ) -> ( ( y < w -> ps ) /\ ( y = w -> ps ) ) ) )
47		jaob 631	. . . . . . 7 |- ( ( ( y < w \/ y = w ) -> ps ) <-> ( ( y < w -> ps ) /\ ( y = w -> ps ) ) )
48	46, 47	syl6ibr 151	. . . . . 6 |- ( ( w e. NN /\ y e. NN ) -> ( A. y e. NN ( y < w -> ps ) -> ( ( y < w \/ y = w ) -> ps ) ) )
49		nnleltp1 8303	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. NN /\ w e. NN ) -> ( y <_ w <-> y < ( w + 1 ) ) )
50		nnz 8264	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. NN -> y e. ZZ )
51		nnz 8264	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. NN -> w e. ZZ )
52		zleloe 8292	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. ZZ /\ w e. ZZ ) -> ( y <_ w <-> ( y < w \/ y = w ) ) )
53	50, 51, 52	syl2an 273	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. NN /\ w e. NN ) -> ( y <_ w <-> ( y < w \/ y = w ) ) )
54	49, 53	bitr3d 179	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. NN /\ w e. NN ) -> ( y < ( w + 1 ) <-> ( y < w \/ y = w ) ) )
55	54	ancoms 255	. . . . . . 7 |- ( ( w e. NN /\ y e. NN ) -> ( y < ( w + 1 ) <-> ( y < w \/ y = w ) ) )
56	55	imbi1d 220	. . . . . 6 |- ( ( w e. NN /\ y e. NN ) -> ( ( y < ( w + 1 ) -> ps ) <-> ( ( y < w \/ y = w ) -> ps ) ) )
57	48, 56	sylibrd 158	. . . . 5 |- ( ( w e. NN /\ y e. NN ) -> ( A. y e. NN ( y < w -> ps ) -> ( y < ( w + 1 ) -> ps ) ) )
58	57	ralimdva 2387	. . . 4 |- ( w e. NN -> ( A. y e. NN A. y e. NN ( y < w -> ps ) -> A. y e. NN ( y < ( w + 1 ) -> ps ) ) )
59	20, 58	syl5bi 141	. . 3 |- ( w e. NN -> ( A. y e. NN ( y < w -> ps ) -> A. y e. NN ( y < ( w + 1 ) -> ps ) ) )
60	3, 6, 9, 12, 15, 59	nnind 7930	. 2 |- ( x e. NN -> A. y e. NN ( y < x -> ps ) )
61	60, 24	mpd 13	1 |- ( x e. NN -> ph )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   \/ wo 629   = wceq 1243   E.wex 1381   e. wcel 1393   A.wral 2306   [.wsbc 2764   class class class wbr 3764  (class class class)co 5512   1c1 6890   + caddc 6892   < clt 7060   <_ cle 7061   NNcn 7914   ZZcz 8245

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-addcom 6984  ax-addass 6986  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-ltadd 7000

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-inn 7915  df-n0 8182  df-z 8246

This theorem is referenced by:  indstr2  8546