Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  climshft2 GIF version

Theorem climshft2 9827
 Description: A shifted function converges iff the original function converges. (Contributed by Paul Chapman, 21-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
climshft2.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
climshft2.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climshft2.3 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
climshft2.5 (𝜑𝐹𝑊)
climshft2.6 (𝜑𝐺𝑋)
climshft2.7 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺‘(𝑘 + 𝐾)) = (𝐹𝑘))
Assertion
Ref Expression
climshft2 (𝜑 → (𝐹𝐴𝐺𝐴))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝐾   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍   𝐴,𝑘
Allowed substitution hints:   𝑊(𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem climshft2
StepHypRef Expression
1 climshft2.1 . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 climshft2.6 . . . 4 (𝜑𝐺𝑋)
3 climshft2.3 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
43zcnd 8361 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
54negcld 7309 . . . 4 (𝜑 → -𝐾 ∈ ℂ)
6 ovshftex 9420 . . . 4 ((𝐺𝑋 ∧ -𝐾 ∈ ℂ) → (𝐺 shift -𝐾) ∈ V)
72, 5, 6syl2anc 391 . . 3 (𝜑 → (𝐺 shift -𝐾) ∈ V)
8 climshft2.5 . . 3 (𝜑𝐹𝑊)
9 climshft2.2 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
10 funi 4932 . . . . . . . 8 Fun I
11 elex 2566 . . . . . . . . . 10 (𝐺𝑋𝐺 ∈ V)
122, 11syl 14 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 ∈ V)
13 dmi 4550 . . . . . . . . 9 dom I = V
1412, 13syl6eleqr 2131 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ dom I )
15 funfvex 5192 . . . . . . . 8 ((Fun I ∧ 𝐺 ∈ dom I ) → ( I ‘𝐺) ∈ V)
1610, 14, 15sylancr 393 . . . . . . 7 (𝜑 → ( I ‘𝐺) ∈ V)
1716adantr 261 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → ( I ‘𝐺) ∈ V)
184adantr 261 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐾 ∈ ℂ)
19 eluzelz 8482 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
2019, 1eleq2s 2132 . . . . . . . 8 (𝑘𝑍𝑘 ∈ ℤ)
2120zcnd 8361 . . . . . . 7 (𝑘𝑍𝑘 ∈ ℂ)
2221adantl 262 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ ℂ)
23 shftval4g 9438 . . . . . 6 ((( I ‘𝐺) ∈ V ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((( I ‘𝐺) shift -𝐾)‘𝑘) = (( I ‘𝐺)‘(𝐾 + 𝑘)))
2417, 18, 22, 23syl3anc 1135 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → ((( I ‘𝐺) shift -𝐾)‘𝑘) = (( I ‘𝐺)‘(𝐾 + 𝑘)))
25 fvi 5230 . . . . . . . . 9 (𝐺𝑋 → ( I ‘𝐺) = 𝐺)
262, 25syl 14 . . . . . . . 8 (𝜑 → ( I ‘𝐺) = 𝐺)
2726adantr 261 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → ( I ‘𝐺) = 𝐺)
2827oveq1d 5527 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (( I ‘𝐺) shift -𝐾) = (𝐺 shift -𝐾))
2928fveq1d 5180 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → ((( I ‘𝐺) shift -𝐾)‘𝑘) = ((𝐺 shift -𝐾)‘𝑘))
30 addcom 7150 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐾 + 𝑘) = (𝑘 + 𝐾))
314, 21, 30syl2an 273 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐾 + 𝑘) = (𝑘 + 𝐾))
3227, 31fveq12d 5184 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (( I ‘𝐺)‘(𝐾 + 𝑘)) = (𝐺‘(𝑘 + 𝐾)))
3324, 29, 323eqtr3d 2080 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐺 shift -𝐾)‘𝑘) = (𝐺‘(𝑘 + 𝐾)))
34 climshft2.7 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺‘(𝑘 + 𝐾)) = (𝐹𝑘))
3533, 34eqtrd 2072 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐺 shift -𝐾)‘𝑘) = (𝐹𝑘))
361, 7, 8, 9, 35climeq 9820 . 2 (𝜑 → ((𝐺 shift -𝐾) ⇝ 𝐴𝐹𝐴))
373znegcld 8362 . . 3 (𝜑 → -𝐾 ∈ ℤ)
38 climshft 9825 . . 3 ((-𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐺𝑋) → ((𝐺 shift -𝐾) ⇝ 𝐴𝐺𝐴))
3937, 2, 38syl2anc 391 . 2 (𝜑 → ((𝐺 shift -𝐾) ⇝ 𝐴𝐺𝐴))
4036, 39bitr3d 179 1 (𝜑 → (𝐹𝐴𝐺𝐴))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   = wceq 1243   ∈ wcel 1393  Vcvv 2557   class class class wbr 3764   I cid 4025  dom cdm 4345  Fun wfun 4896  ‘cfv 4902  (class class class)co 5512  ℂcc 6887   + caddc 6892  -cneg 7183  ℤcz 8245  ℤ≥cuz 8473   shift cshi 9415   ⇝ cli 9799 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-addcom 6984  ax-addass 6986  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-apti 6999  ax-pre-ltadd 7000 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-if 3332  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-inn 7915  df-n0 8182  df-z 8246  df-uz 8474  df-shft 9416  df-clim 9800 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator