Theorem funi 4875

Description: The identity relation is a function. Part of Theorem 10.4 of [Quine] p. 65. (Contributed by NM, 30-Apr-1998.)

Assertion

Ref	Expression
funi	⊢ Fun I

Proof of Theorem funi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reli 4408	. 2 ⊢ Rel I
2		relcnv 4646	. . . . 5 ⊢ Rel ◡ I
3		coi2 4780	. . . . 5 ⊢ (Rel ◡ I → ( I ∘ ◡ I ) = ◡ I )
4	2, 3	ax-mp 7	. . . 4 ⊢ ( I ∘ ◡ I ) = ◡ I
5		cnvi 4671	. . . 4 ⊢ ◡ I = I
6	4, 5	eqtri 2057	. . 3 ⊢ ( I ∘ ◡ I ) = I
7	6	eqimssi 2993	. 2 ⊢ ( I ∘ ◡ I ) ⊆ I
8		df-fun 4847	. 2 ⊢ (Fun I ↔ (Rel I ∧ ( I ∘ ◡ I ) ⊆ I ))
9	1, 7, 8	mpbir2an 848	1 ⊢ Fun I

Syntax hints:   = wceq 1242   ⊆ wss 2911   I cid 4016  ^◡ccnv 4287   ∘ ccom 4292  Rel wrel 4293  Fun wfun 4839

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-fun 4847

This theorem is referenced by:  cnvresid  4916  fnresi  4959  fvi  5173  ssdomg  6194