Theorem funi 4932

Description: The identity relation is a function. Part of Theorem 10.4 of [Quine] p. 65. (Contributed by NM, 30-Apr-1998.)

Assertion

Ref	Expression
funi	⊢ Fun I

Proof of Theorem funi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reli 4465	. 2 ⊢ Rel I
2		relcnv 4703	. . . . 5 ⊢ Rel ◡ I
3		coi2 4837	. . . . 5 ⊢ (Rel ◡ I → ( I ∘ ◡ I ) = ◡ I )
4	2, 3	ax-mp 7	. . . 4 ⊢ ( I ∘ ◡ I ) = ◡ I
5		cnvi 4728	. . . 4 ⊢ ◡ I = I
6	4, 5	eqtri 2060	. . 3 ⊢ ( I ∘ ◡ I ) = I
7	6	eqimssi 2999	. 2 ⊢ ( I ∘ ◡ I ) ⊆ I
8		df-fun 4904	. 2 ⊢ (Fun I ↔ (Rel I ∧ ( I ∘ ◡ I ) ⊆ I ))
9	1, 7, 8	mpbir2an 849	1 ⊢ Fun I

Syntax hints:   = wceq 1243   ⊆ wss 2917   I cid 4025  ^◡ccnv 4344   ∘ ccom 4349  Rel wrel 4350  Fun wfun 4896

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-br 3765  df-opab 3819  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-fun 4904

This theorem is referenced by:  cnvresid  4973  fnresi  5016  fvi  5230  ssdomg  6258  climshft2  9827