ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ovshftex GIF version

Theorem ovshftex 9394
Description: Existence of the result of applying shift. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
ovshftex ((𝐹𝑉𝐴 ∈ ℂ) → (𝐹 shift 𝐴) ∈ V)

Proof of Theorem ovshftex
Dummy variables 𝑢 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 shftfvalg 9393 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐹𝑉) → (𝐹 shift 𝐴) = {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧𝐴)𝐹𝑤)})
21ancoms 255 . 2 ((𝐹𝑉𝐴 ∈ ℂ) → (𝐹 shift 𝐴) = {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧𝐴)𝐹𝑤)})
3 cnex 7003 . . . 4 ℂ ∈ V
43a1i 9 . . 3 ((𝐹𝑉𝐴 ∈ ℂ) → ℂ ∈ V)
5 rnexg 4597 . . . . 5 (𝐹𝑉 → ran 𝐹 ∈ V)
65ad2antrr 457 . . . 4 (((𝐹𝑉𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ran 𝐹 ∈ V)
7 vex 2560 . . . . . . . 8 𝑢 ∈ V
8 breq2 3768 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑢 → ((𝑧𝐴)𝐹𝑤 ↔ (𝑧𝐴)𝐹𝑢))
97, 8elab 2687 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ {𝑤 ∣ (𝑧𝐴)𝐹𝑤} ↔ (𝑧𝐴)𝐹𝑢)
10 simpr 103 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑧 ∈ ℂ)
11 simpl 102 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
1210, 11subcld 7320 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑧𝐴) ∈ ℂ)
13 brelrng 4565 . . . . . . . . . 10 (((𝑧𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ V ∧ (𝑧𝐴)𝐹𝑢) → 𝑢 ∈ ran 𝐹)
147, 13mp3an2 1220 . . . . . . . . 9 (((𝑧𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝑧𝐴)𝐹𝑢) → 𝑢 ∈ ran 𝐹)
1512, 14sylan 267 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ (𝑧𝐴)𝐹𝑢) → 𝑢 ∈ ran 𝐹)
1615ex 108 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑧𝐴)𝐹𝑢𝑢 ∈ ran 𝐹))
179, 16syl5bi 141 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑢 ∈ {𝑤 ∣ (𝑧𝐴)𝐹𝑤} → 𝑢 ∈ ran 𝐹))
1817ssrdv 2951 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → {𝑤 ∣ (𝑧𝐴)𝐹𝑤} ⊆ ran 𝐹)
1918adantll 445 . . . 4 (((𝐹𝑉𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → {𝑤 ∣ (𝑧𝐴)𝐹𝑤} ⊆ ran 𝐹)
206, 19ssexd 3897 . . 3 (((𝐹𝑉𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → {𝑤 ∣ (𝑧𝐴)𝐹𝑤} ∈ V)
214, 20opabex3d 5748 . 2 ((𝐹𝑉𝐴 ∈ ℂ) → {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧𝐴)𝐹𝑤)} ∈ V)
222, 21eqeltrd 2114 1 ((𝐹𝑉𝐴 ∈ ℂ) → (𝐹 shift 𝐴) ∈ V)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 97   = wceq 1243  wcel 1393  {cab 2026  Vcvv 2557  wss 2917   class class class wbr 3764  {copab 3817  ran crn 4346  (class class class)co 5512  cc 6885  cmin 7180   shift cshi 9389
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-cnex 6973  ax-resscn 6974  ax-1cn 6975  ax-icn 6977  ax-addcl 6978  ax-addrcl 6979  ax-mulcl 6980  ax-addcom 6982  ax-addass 6984  ax-distr 6986  ax-i2m1 6987  ax-0id 6990  ax-rnegex 6991  ax-cnre 6993
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-sub 7182  df-shft 9390
This theorem is referenced by:  2shfti  9406  climshftlemg  9796  climshft  9798  climshft2  9800
  Copyright terms: Public domain W3C validator