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Theorem addassnq0 6445
Description: Addition of non-negaative fractions is associative. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
addassnq0 ((A Q0 B Q0 𝐶 Q0) → ((A +Q0 B) +Q0 𝐶) = (A +Q0 (B +Q0 𝐶)))

Proof of Theorem addassnq0
Dummy variables x y z w v u f g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nq0 6408 . . . 4 Q0 = ((𝜔 × N) / ~Q0 )
2 oveq2 5463 . . . . . . 7 ([⟨z, w⟩] ~Q0 = B → (A +Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) = (A +Q0 B))
32oveq1d 5470 . . . . . 6 ([⟨z, w⟩] ~Q0 = B → ((A +Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ) = ((A +Q0 B) +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ))
4 oveq1 5462 . . . . . . 7 ([⟨z, w⟩] ~Q0 = B → ([⟨z, w⟩] ~Q0 +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ) = (B +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ))
54oveq2d 5471 . . . . . 6 ([⟨z, w⟩] ~Q0 = B → (A +Q0 ([⟨z, w⟩] ~Q0 +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 )) = (A +Q0 (B +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 )))
63, 5eqeq12d 2051 . . . . 5 ([⟨z, w⟩] ~Q0 = B → (((A +Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ) = (A +Q0 ([⟨z, w⟩] ~Q0 +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 )) ↔ ((A +Q0 B) +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ) = (A +Q0 (B +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ))))
76imbi2d 219 . . . 4 ([⟨z, w⟩] ~Q0 = B → ((A Q0 → ((A +Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ) = (A +Q0 ([⟨z, w⟩] ~Q0 +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ))) ↔ (A Q0 → ((A +Q0 B) +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ) = (A +Q0 (B +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 )))))
8 oveq2 5463 . . . . . 6 ([⟨v, u⟩] ~Q0 = 𝐶 → ((A +Q0 B) +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ) = ((A +Q0 B) +Q0 𝐶))
9 oveq2 5463 . . . . . . 7 ([⟨v, u⟩] ~Q0 = 𝐶 → (B +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ) = (B +Q0 𝐶))
109oveq2d 5471 . . . . . 6 ([⟨v, u⟩] ~Q0 = 𝐶 → (A +Q0 (B +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 )) = (A +Q0 (B +Q0 𝐶)))
118, 10eqeq12d 2051 . . . . 5 ([⟨v, u⟩] ~Q0 = 𝐶 → (((A +Q0 B) +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ) = (A +Q0 (B +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 )) ↔ ((A +Q0 B) +Q0 𝐶) = (A +Q0 (B +Q0 𝐶))))
1211imbi2d 219 . . . 4 ([⟨v, u⟩] ~Q0 = 𝐶 → ((A Q0 → ((A +Q0 B) +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ) = (A +Q0 (B +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ))) ↔ (A Q0 → ((A +Q0 B) +Q0 𝐶) = (A +Q0 (B +Q0 𝐶)))))
13 oveq1 5462 . . . . . . . . 9 ([⟨x, y⟩] ~Q0 = A → ([⟨x, y⟩] ~Q0 +Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) = (A +Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ))
1413oveq1d 5470 . . . . . . . 8 ([⟨x, y⟩] ~Q0 = A → (([⟨x, y⟩] ~Q0 +Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ) = ((A +Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ))
15 oveq1 5462 . . . . . . . 8 ([⟨x, y⟩] ~Q0 = A → ([⟨x, y⟩] ~Q0 +Q0 ([⟨z, w⟩] ~Q0 +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 )) = (A +Q0 ([⟨z, w⟩] ~Q0 +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 )))
1614, 15eqeq12d 2051 . . . . . . 7 ([⟨x, y⟩] ~Q0 = A → ((([⟨x, y⟩] ~Q0 +Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ) = ([⟨x, y⟩] ~Q0 +Q0 ([⟨z, w⟩] ~Q0 +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 )) ↔ ((A +Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ) = (A +Q0 ([⟨z, w⟩] ~Q0 +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ))))
1716imbi2d 219 . . . . . 6 ([⟨x, y⟩] ~Q0 = A → ((((z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N)) → (([⟨x, y⟩] ~Q0 +Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ) = ([⟨x, y⟩] ~Q0 +Q0 ([⟨z, w⟩] ~Q0 +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ))) ↔ (((z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N)) → ((A +Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ) = (A +Q0 ([⟨z, w⟩] ~Q0 +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 )))))
18 simp1l 927 . . . . . . . . . . . 12 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N)) → x 𝜔)
19 simp2r 930 . . . . . . . . . . . . . 14 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N)) → w N)
20 pinn 6293 . . . . . . . . . . . . . 14 (w Nw 𝜔)
2119, 20syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N)) → w 𝜔)
22 simp3r 932 . . . . . . . . . . . . . 14 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N)) → u N)
23 pinn 6293 . . . . . . . . . . . . . 14 (u Nu 𝜔)
2422, 23syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N)) → u 𝜔)
25 nnmcl 5999 . . . . . . . . . . . . 13 ((w 𝜔 u 𝜔) → (w ·𝑜 u) 𝜔)
2621, 24, 25syl2anc 391 . . . . . . . . . . . 12 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N)) → (w ·𝑜 u) 𝜔)
27 nnmcl 5999 . . . . . . . . . . . 12 ((x 𝜔 (w ·𝑜 u) 𝜔) → (x ·𝑜 (w ·𝑜 u)) 𝜔)
2818, 26, 27syl2anc 391 . . . . . . . . . . 11 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N)) → (x ·𝑜 (w ·𝑜 u)) 𝜔)
29 simp1r 928 . . . . . . . . . . . . 13 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N)) → y N)
30 pinn 6293 . . . . . . . . . . . . 13 (y Ny 𝜔)
3129, 30syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N)) → y 𝜔)
32 simp2l 929 . . . . . . . . . . . . 13 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N)) → z 𝜔)
33 nnmcl 5999 . . . . . . . . . . . . 13 ((z 𝜔 u 𝜔) → (z ·𝑜 u) 𝜔)
3432, 24, 33syl2anc 391 . . . . . . . . . . . 12 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N)) → (z ·𝑜 u) 𝜔)
35 nnmcl 5999 . . . . . . . . . . . 12 ((y 𝜔 (z ·𝑜 u) 𝜔) → (y ·𝑜 (z ·𝑜 u)) 𝜔)
3631, 34, 35syl2anc 391 . . . . . . . . . . 11 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N)) → (y ·𝑜 (z ·𝑜 u)) 𝜔)
37 simp3l 931 . . . . . . . . . . . . 13 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N)) → v 𝜔)
38 nnmcl 5999 . . . . . . . . . . . . 13 ((w 𝜔 v 𝜔) → (w ·𝑜 v) 𝜔)
3921, 37, 38syl2anc 391 . . . . . . . . . . . 12 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N)) → (w ·𝑜 v) 𝜔)
40 nnmcl 5999 . . . . . . . . . . . 12 ((y 𝜔 (w ·𝑜 v) 𝜔) → (y ·𝑜 (w ·𝑜 v)) 𝜔)
4131, 39, 40syl2anc 391 . . . . . . . . . . 11 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N)) → (y ·𝑜 (w ·𝑜 v)) 𝜔)
42 nnaass 6003 . . . . . . . . . . 11 (((x ·𝑜 (w ·𝑜 u)) 𝜔 (y ·𝑜 (z ·𝑜 u)) 𝜔 (y ·𝑜 (w ·𝑜 v)) 𝜔) → (((x ·𝑜 (w ·𝑜 u)) +𝑜 (y ·𝑜 (z ·𝑜 u))) +𝑜 (y ·𝑜 (w ·𝑜 v))) = ((x ·𝑜 (w ·𝑜 u)) +𝑜 ((y ·𝑜 (z ·𝑜 u)) +𝑜 (y ·𝑜 (w ·𝑜 v)))))
4328, 36, 41, 42syl3anc 1134 . . . . . . . . . 10 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N)) → (((x ·𝑜 (w ·𝑜 u)) +𝑜 (y ·𝑜 (z ·𝑜 u))) +𝑜 (y ·𝑜 (w ·𝑜 v))) = ((x ·𝑜 (w ·𝑜 u)) +𝑜 ((y ·𝑜 (z ·𝑜 u)) +𝑜 (y ·𝑜 (w ·𝑜 v)))))
44 nnmcom 6007 . . . . . . . . . . . . 13 ((f 𝜔 g 𝜔) → (f ·𝑜 g) = (g ·𝑜 f))
4544adantl 262 . . . . . . . . . . . 12 ((((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N)) (f 𝜔 g 𝜔)) → (f ·𝑜 g) = (g ·𝑜 f))
46 nndir 6008 . . . . . . . . . . . . 13 ((f 𝜔 g 𝜔 𝜔) → ((f +𝑜 g) ·𝑜 ) = ((f ·𝑜 ) +𝑜 (g ·𝑜 )))
4746adantl 262 . . . . . . . . . . . 12 ((((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N)) (f 𝜔 g 𝜔 𝜔)) → ((f +𝑜 g) ·𝑜 ) = ((f ·𝑜 ) +𝑜 (g ·𝑜 )))
48 nnmass 6005 . . . . . . . . . . . . 13 ((f 𝜔 g 𝜔 𝜔) → ((f ·𝑜 g) ·𝑜 ) = (f ·𝑜 (g ·𝑜 )))
4948adantl 262 . . . . . . . . . . . 12 ((((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N)) (f 𝜔 g 𝜔 𝜔)) → ((f ·𝑜 g) ·𝑜 ) = (f ·𝑜 (g ·𝑜 )))
50 nnmcl 5999 . . . . . . . . . . . . 13 ((f 𝜔 g 𝜔) → (f ·𝑜 g) 𝜔)
5150adantl 262 . . . . . . . . . . . 12 ((((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N)) (f 𝜔 g 𝜔)) → (f ·𝑜 g) 𝜔)
5245, 47, 49, 51, 18, 31, 21, 32, 24caovdilemd 5634 . . . . . . . . . . 11 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N)) → (((x ·𝑜 w) +𝑜 (y ·𝑜 z)) ·𝑜 u) = ((x ·𝑜 (w ·𝑜 u)) +𝑜 (y ·𝑜 (z ·𝑜 u))))
53 nnmass 6005 . . . . . . . . . . . 12 ((y 𝜔 w 𝜔 v 𝜔) → ((y ·𝑜 w) ·𝑜 v) = (y ·𝑜 (w ·𝑜 v)))
5431, 21, 37, 53syl3anc 1134 . . . . . . . . . . 11 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N)) → ((y ·𝑜 w) ·𝑜 v) = (y ·𝑜 (w ·𝑜 v)))
5552, 54oveq12d 5473 . . . . . . . . . 10 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N)) → ((((x ·𝑜 w) +𝑜 (y ·𝑜 z)) ·𝑜 u) +𝑜 ((y ·𝑜 w) ·𝑜 v)) = (((x ·𝑜 (w ·𝑜 u)) +𝑜 (y ·𝑜 (z ·𝑜 u))) +𝑜 (y ·𝑜 (w ·𝑜 v))))
56 nndi 6004 . . . . . . . . . . . 12 ((y 𝜔 (z ·𝑜 u) 𝜔 (w ·𝑜 v) 𝜔) → (y ·𝑜 ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v))) = ((y ·𝑜 (z ·𝑜 u)) +𝑜 (y ·𝑜 (w ·𝑜 v))))
5731, 34, 39, 56syl3anc 1134 . . . . . . . . . . 11 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N)) → (y ·𝑜 ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v))) = ((y ·𝑜 (z ·𝑜 u)) +𝑜 (y ·𝑜 (w ·𝑜 v))))
5857oveq2d 5471 . . . . . . . . . 10 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N)) → ((x ·𝑜 (w ·𝑜 u)) +𝑜 (y ·𝑜 ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)))) = ((x ·𝑜 (w ·𝑜 u)) +𝑜 ((y ·𝑜 (z ·𝑜 u)) +𝑜 (y ·𝑜 (w ·𝑜 v)))))
5943, 55, 583eqtr4d 2079 . . . . . . . . 9 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N)) → ((((x ·𝑜 w) +𝑜 (y ·𝑜 z)) ·𝑜 u) +𝑜 ((y ·𝑜 w) ·𝑜 v)) = ((x ·𝑜 (w ·𝑜 u)) +𝑜 (y ·𝑜 ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)))))
60 nnmass 6005 . . . . . . . . . 10 ((y 𝜔 w 𝜔 u 𝜔) → ((y ·𝑜 w) ·𝑜 u) = (y ·𝑜 (w ·𝑜 u)))
6131, 21, 24, 60syl3anc 1134 . . . . . . . . 9 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N)) → ((y ·𝑜 w) ·𝑜 u) = (y ·𝑜 (w ·𝑜 u)))
62 opeq12 3542 . . . . . . . . . 10 ((((((x ·𝑜 w) +𝑜 (y ·𝑜 z)) ·𝑜 u) +𝑜 ((y ·𝑜 w) ·𝑜 v)) = ((x ·𝑜 (w ·𝑜 u)) +𝑜 (y ·𝑜 ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)))) ((y ·𝑜 w) ·𝑜 u) = (y ·𝑜 (w ·𝑜 u))) → ⟨((((x ·𝑜 w) +𝑜 (y ·𝑜 z)) ·𝑜 u) +𝑜 ((y ·𝑜 w) ·𝑜 v)), ((y ·𝑜 w) ·𝑜 u)⟩ = ⟨((x ·𝑜 (w ·𝑜 u)) +𝑜 (y ·𝑜 ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)))), (y ·𝑜 (w ·𝑜 u))⟩)
6362eceq1d 6078 . . . . . . . . 9 ((((((x ·𝑜 w) +𝑜 (y ·𝑜 z)) ·𝑜 u) +𝑜 ((y ·𝑜 w) ·𝑜 v)) = ((x ·𝑜 (w ·𝑜 u)) +𝑜 (y ·𝑜 ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)))) ((y ·𝑜 w) ·𝑜 u) = (y ·𝑜 (w ·𝑜 u))) → [⟨((((x ·𝑜 w) +𝑜 (y ·𝑜 z)) ·𝑜 u) +𝑜 ((y ·𝑜 w) ·𝑜 v)), ((y ·𝑜 w) ·𝑜 u)⟩] ~Q0 = [⟨((x ·𝑜 (w ·𝑜 u)) +𝑜 (y ·𝑜 ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)))), (y ·𝑜 (w ·𝑜 u))⟩] ~Q0 )
6459, 61, 63syl2anc 391 . . . . . . . 8 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N)) → [⟨((((x ·𝑜 w) +𝑜 (y ·𝑜 z)) ·𝑜 u) +𝑜 ((y ·𝑜 w) ·𝑜 v)), ((y ·𝑜 w) ·𝑜 u)⟩] ~Q0 = [⟨((x ·𝑜 (w ·𝑜 u)) +𝑜 (y ·𝑜 ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)))), (y ·𝑜 (w ·𝑜 u))⟩] ~Q0 )
65 addnnnq0 6432 . . . . . . . . . . . 12 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N)) → ([⟨x, y⟩] ~Q0 +Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) = [⟨((x ·𝑜 w) +𝑜 (y ·𝑜 z)), (y ·𝑜 w)⟩] ~Q0 )
6665oveq1d 5470 . . . . . . . . . . 11 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N)) → (([⟨x, y⟩] ~Q0 +Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ) = ([⟨((x ·𝑜 w) +𝑜 (y ·𝑜 z)), (y ·𝑜 w)⟩] ~Q0 +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ))
6766adantr 261 . . . . . . . . . 10 ((((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N)) (v 𝜔 u N)) → (([⟨x, y⟩] ~Q0 +Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ) = ([⟨((x ·𝑜 w) +𝑜 (y ·𝑜 z)), (y ·𝑜 w)⟩] ~Q0 +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ))
68 addassnq0lemcl 6444 . . . . . . . . . . 11 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N)) → (((x ·𝑜 w) +𝑜 (y ·𝑜 z)) 𝜔 (y ·𝑜 w) N))
69 addnnnq0 6432 . . . . . . . . . . 11 (((((x ·𝑜 w) +𝑜 (y ·𝑜 z)) 𝜔 (y ·𝑜 w) N) (v 𝜔 u N)) → ([⟨((x ·𝑜 w) +𝑜 (y ·𝑜 z)), (y ·𝑜 w)⟩] ~Q0 +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ) = [⟨((((x ·𝑜 w) +𝑜 (y ·𝑜 z)) ·𝑜 u) +𝑜 ((y ·𝑜 w) ·𝑜 v)), ((y ·𝑜 w) ·𝑜 u)⟩] ~Q0 )
7068, 69sylan 267 . . . . . . . . . 10 ((((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N)) (v 𝜔 u N)) → ([⟨((x ·𝑜 w) +𝑜 (y ·𝑜 z)), (y ·𝑜 w)⟩] ~Q0 +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ) = [⟨((((x ·𝑜 w) +𝑜 (y ·𝑜 z)) ·𝑜 u) +𝑜 ((y ·𝑜 w) ·𝑜 v)), ((y ·𝑜 w) ·𝑜 u)⟩] ~Q0 )
7167, 70eqtrd 2069 . . . . . . . . 9 ((((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N)) (v 𝜔 u N)) → (([⟨x, y⟩] ~Q0 +Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ) = [⟨((((x ·𝑜 w) +𝑜 (y ·𝑜 z)) ·𝑜 u) +𝑜 ((y ·𝑜 w) ·𝑜 v)), ((y ·𝑜 w) ·𝑜 u)⟩] ~Q0 )
72713impa 1098 . . . . . . . 8 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N)) → (([⟨x, y⟩] ~Q0 +Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ) = [⟨((((x ·𝑜 w) +𝑜 (y ·𝑜 z)) ·𝑜 u) +𝑜 ((y ·𝑜 w) ·𝑜 v)), ((y ·𝑜 w) ·𝑜 u)⟩] ~Q0 )
73 addnnnq0 6432 . . . . . . . . . . . 12 (((z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N)) → ([⟨z, w⟩] ~Q0 +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ) = [⟨((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)), (w ·𝑜 u)⟩] ~Q0 )
7473oveq2d 5471 . . . . . . . . . . 11 (((z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N)) → ([⟨x, y⟩] ~Q0 +Q0 ([⟨z, w⟩] ~Q0 +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 )) = ([⟨x, y⟩] ~Q0 +Q0 [⟨((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)), (w ·𝑜 u)⟩] ~Q0 ))
7574adantl 262 . . . . . . . . . 10 (((x 𝜔 y N) ((z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N))) → ([⟨x, y⟩] ~Q0 +Q0 ([⟨z, w⟩] ~Q0 +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 )) = ([⟨x, y⟩] ~Q0 +Q0 [⟨((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)), (w ·𝑜 u)⟩] ~Q0 ))
76 addassnq0lemcl 6444 . . . . . . . . . . 11 (((z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N)) → (((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)) 𝜔 (w ·𝑜 u) N))
77 addnnnq0 6432 . . . . . . . . . . 11 (((x 𝜔 y N) (((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)) 𝜔 (w ·𝑜 u) N)) → ([⟨x, y⟩] ~Q0 +Q0 [⟨((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)), (w ·𝑜 u)⟩] ~Q0 ) = [⟨((x ·𝑜 (w ·𝑜 u)) +𝑜 (y ·𝑜 ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)))), (y ·𝑜 (w ·𝑜 u))⟩] ~Q0 )
7876, 77sylan2 270 . . . . . . . . . 10 (((x 𝜔 y N) ((z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N))) → ([⟨x, y⟩] ~Q0 +Q0 [⟨((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)), (w ·𝑜 u)⟩] ~Q0 ) = [⟨((x ·𝑜 (w ·𝑜 u)) +𝑜 (y ·𝑜 ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)))), (y ·𝑜 (w ·𝑜 u))⟩] ~Q0 )
7975, 78eqtrd 2069 . . . . . . . . 9 (((x 𝜔 y N) ((z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N))) → ([⟨x, y⟩] ~Q0 +Q0 ([⟨z, w⟩] ~Q0 +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 )) = [⟨((x ·𝑜 (w ·𝑜 u)) +𝑜 (y ·𝑜 ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)))), (y ·𝑜 (w ·𝑜 u))⟩] ~Q0 )
80793impb 1099 . . . . . . . 8 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N)) → ([⟨x, y⟩] ~Q0 +Q0 ([⟨z, w⟩] ~Q0 +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 )) = [⟨((x ·𝑜 (w ·𝑜 u)) +𝑜 (y ·𝑜 ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)))), (y ·𝑜 (w ·𝑜 u))⟩] ~Q0 )
8164, 72, 803eqtr4d 2079 . . . . . . 7 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N)) → (([⟨x, y⟩] ~Q0 +Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ) = ([⟨x, y⟩] ~Q0 +Q0 ([⟨z, w⟩] ~Q0 +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 )))
82813expib 1106 . . . . . 6 ((x 𝜔 y N) → (((z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N)) → (([⟨x, y⟩] ~Q0 +Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ) = ([⟨x, y⟩] ~Q0 +Q0 ([⟨z, w⟩] ~Q0 +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ))))
831, 17, 82ecoptocl 6129 . . . . 5 (A Q0 → (((z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N)) → ((A +Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ) = (A +Q0 ([⟨z, w⟩] ~Q0 +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ))))
8483com12 27 . . . 4 (((z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N)) → (A Q0 → ((A +Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ) = (A +Q0 ([⟨z, w⟩] ~Q0 +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ))))
851, 7, 12, 842ecoptocl 6130 . . 3 ((B Q0 𝐶 Q0) → (A Q0 → ((A +Q0 B) +Q0 𝐶) = (A +Q0 (B +Q0 𝐶))))
8685com12 27 . 2 (A Q0 → ((B Q0 𝐶 Q0) → ((A +Q0 B) +Q0 𝐶) = (A +Q0 (B +Q0 𝐶))))
87863impib 1101 1 ((A Q0 B Q0 𝐶 Q0) → ((A +Q0 B) +Q0 𝐶) = (A +Q0 (B +Q0 𝐶)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   w3a 884   = wceq 1242   wcel 1390  cop 3370  𝜔com 4256  (class class class)co 5455   +𝑜 coa 5937   ·𝑜 comu 5938  [cec 6040  Ncnpi 6256   ~Q0 ceq0 6270  Q0cnq0 6271   +Q0 cplq0 6273
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-mi 6290  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-plq0 6410
This theorem is referenced by:  prarloclemcalc  6485
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