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 Description: Addition of non-negaative fractions is associative. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
addassnq0 ((A Q0 B Q0 𝐶 Q0) → ((A +Q0 B) +Q0 𝐶) = (A +Q0 (B +Q0 𝐶)))

Dummy variables x y z w v u f g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nq0 6280 . . . 4 Q0 = ((𝜔 × N) / ~Q0 )
2 oveq2 5444 . . . . . . 7 ([⟨z, w⟩] ~Q0 = B → (A +Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) = (A +Q0 B))
32oveq1d 5451 . . . . . 6 ([⟨z, w⟩] ~Q0 = B → ((A +Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ) = ((A +Q0 B) +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ))
4 oveq1 5443 . . . . . . 7 ([⟨z, w⟩] ~Q0 = B → ([⟨z, w⟩] ~Q0 +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ) = (B +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ))
54oveq2d 5452 . . . . . 6 ([⟨z, w⟩] ~Q0 = B → (A +Q0 ([⟨z, w⟩] ~Q0 +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 )) = (A +Q0 (B +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 )))
63, 5eqeq12d 2036 . . . . 5 ([⟨z, w⟩] ~Q0 = B → (((A +Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ) = (A +Q0 ([⟨z, w⟩] ~Q0 +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 )) ↔ ((A +Q0 B) +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ) = (A +Q0 (B +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ))))
76imbi2d 219 . . . 4 ([⟨z, w⟩] ~Q0 = B → ((A Q0 → ((A +Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ) = (A +Q0 ([⟨z, w⟩] ~Q0 +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ))) ↔ (A Q0 → ((A +Q0 B) +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ) = (A +Q0 (B +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 )))))
8 oveq2 5444 . . . . . 6 ([⟨v, u⟩] ~Q0 = 𝐶 → ((A +Q0 B) +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ) = ((A +Q0 B) +Q0 𝐶))
9 oveq2 5444 . . . . . . 7 ([⟨v, u⟩] ~Q0 = 𝐶 → (B +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ) = (B +Q0 𝐶))
109oveq2d 5452 . . . . . 6 ([⟨v, u⟩] ~Q0 = 𝐶 → (A +Q0 (B +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 )) = (A +Q0 (B +Q0 𝐶)))
118, 10eqeq12d 2036 . . . . 5 ([⟨v, u⟩] ~Q0 = 𝐶 → (((A +Q0 B) +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ) = (A +Q0 (B +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 )) ↔ ((A +Q0 B) +Q0 𝐶) = (A +Q0 (B +Q0 𝐶))))
1211imbi2d 219 . . . 4 ([⟨v, u⟩] ~Q0 = 𝐶 → ((A Q0 → ((A +Q0 B) +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ) = (A +Q0 (B +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ))) ↔ (A Q0 → ((A +Q0 B) +Q0 𝐶) = (A +Q0 (B +Q0 𝐶)))))
13 oveq1 5443 . . . . . . . . 9 ([⟨x, y⟩] ~Q0 = A → ([⟨x, y⟩] ~Q0 +Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) = (A +Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ))
1413oveq1d 5451 . . . . . . . 8 ([⟨x, y⟩] ~Q0 = A → (([⟨x, y⟩] ~Q0 +Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ) = ((A +Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ))
15 oveq1 5443 . . . . . . . 8 ([⟨x, y⟩] ~Q0 = A → ([⟨x, y⟩] ~Q0 +Q0 ([⟨z, w⟩] ~Q0 +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 )) = (A +Q0 ([⟨z, w⟩] ~Q0 +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 )))
1614, 15eqeq12d 2036 . . . . . . 7 ([⟨x, y⟩] ~Q0 = A → ((([⟨x, y⟩] ~Q0 +Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ) = ([⟨x, y⟩] ~Q0 +Q0 ([⟨z, w⟩] ~Q0 +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 )) ↔ ((A +Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ) = (A +Q0 ([⟨z, w⟩] ~Q0 +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ))))
1716imbi2d 219 . . . . . 6 ([⟨x, y⟩] ~Q0 = A → ((((z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N)) → (([⟨x, y⟩] ~Q0 +Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ) = ([⟨x, y⟩] ~Q0 +Q0 ([⟨z, w⟩] ~Q0 +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ))) ↔ (((z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N)) → ((A +Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ) = (A +Q0 ([⟨z, w⟩] ~Q0 +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 )))))
18 simp1l 916 . . . . . . . . . . . 12 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N)) → x 𝜔)
19 simp2r 919 . . . . . . . . . . . . . 14 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N)) → w N)
20 pinn 6169 . . . . . . . . . . . . . 14 (w Nw 𝜔)
2119, 20syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N)) → w 𝜔)
22 simp3r 921 . . . . . . . . . . . . . 14 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N)) → u N)
23 pinn 6169 . . . . . . . . . . . . . 14 (u Nu 𝜔)
2422, 23syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N)) → u 𝜔)
25 nnmcl 5975 . . . . . . . . . . . . 13 ((w 𝜔 u 𝜔) → (w ·𝑜 u) 𝜔)
2621, 24, 25syl2anc 393 . . . . . . . . . . . 12 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N)) → (w ·𝑜 u) 𝜔)
27 nnmcl 5975 . . . . . . . . . . . 12 ((x 𝜔 (w ·𝑜 u) 𝜔) → (x ·𝑜 (w ·𝑜 u)) 𝜔)
2818, 26, 27syl2anc 393 . . . . . . . . . . 11 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N)) → (x ·𝑜 (w ·𝑜 u)) 𝜔)
29 simp1r 917 . . . . . . . . . . . . 13 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N)) → y N)
30 pinn 6169 . . . . . . . . . . . . 13 (y Ny 𝜔)
3129, 30syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N)) → y 𝜔)
32 simp2l 918 . . . . . . . . . . . . 13 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N)) → z 𝜔)
33 nnmcl 5975 . . . . . . . . . . . . 13 ((z 𝜔 u 𝜔) → (z ·𝑜 u) 𝜔)
3432, 24, 33syl2anc 393 . . . . . . . . . . . 12 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N)) → (z ·𝑜 u) 𝜔)
35 nnmcl 5975 . . . . . . . . . . . 12 ((y 𝜔 (z ·𝑜 u) 𝜔) → (y ·𝑜 (z ·𝑜 u)) 𝜔)
3631, 34, 35syl2anc 393 . . . . . . . . . . 11 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N)) → (y ·𝑜 (z ·𝑜 u)) 𝜔)
37 simp3l 920 . . . . . . . . . . . . 13 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N)) → v 𝜔)
38 nnmcl 5975 . . . . . . . . . . . . 13 ((w 𝜔 v 𝜔) → (w ·𝑜 v) 𝜔)
3921, 37, 38syl2anc 393 . . . . . . . . . . . 12 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N)) → (w ·𝑜 v) 𝜔)
40 nnmcl 5975 . . . . . . . . . . . 12 ((y 𝜔 (w ·𝑜 v) 𝜔) → (y ·𝑜 (w ·𝑜 v)) 𝜔)
4131, 39, 40syl2anc 393 . . . . . . . . . . 11 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N)) → (y ·𝑜 (w ·𝑜 v)) 𝜔)
42 nnaass 5979 . . . . . . . . . . 11 (((x ·𝑜 (w ·𝑜 u)) 𝜔 (y ·𝑜 (z ·𝑜 u)) 𝜔 (y ·𝑜 (w ·𝑜 v)) 𝜔) → (((x ·𝑜 (w ·𝑜 u)) +𝑜 (y ·𝑜 (z ·𝑜 u))) +𝑜 (y ·𝑜 (w ·𝑜 v))) = ((x ·𝑜 (w ·𝑜 u)) +𝑜 ((y ·𝑜 (z ·𝑜 u)) +𝑜 (y ·𝑜 (w ·𝑜 v)))))
4328, 36, 41, 42syl3anc 1121 . . . . . . . . . 10 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N)) → (((x ·𝑜 (w ·𝑜 u)) +𝑜 (y ·𝑜 (z ·𝑜 u))) +𝑜 (y ·𝑜 (w ·𝑜 v))) = ((x ·𝑜 (w ·𝑜 u)) +𝑜 ((y ·𝑜 (z ·𝑜 u)) +𝑜 (y ·𝑜 (w ·𝑜 v)))))
44 nnmcom 5983 . . . . . . . . . . . . 13 ((f 𝜔 g 𝜔) → (f ·𝑜 g) = (g ·𝑜 f))
4544adantl 262 . . . . . . . . . . . 12 ((((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N)) (f 𝜔 g 𝜔)) → (f ·𝑜 g) = (g ·𝑜 f))
46 nndir 5984 . . . . . . . . . . . . 13 ((f 𝜔 g 𝜔 𝜔) → ((f +𝑜 g) ·𝑜 ) = ((f ·𝑜 ) +𝑜 (g ·𝑜 )))
4746adantl 262 . . . . . . . . . . . 12 ((((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N)) (f 𝜔 g 𝜔 𝜔)) → ((f +𝑜 g) ·𝑜 ) = ((f ·𝑜 ) +𝑜 (g ·𝑜 )))
48 nnmass 5981 . . . . . . . . . . . . 13 ((f 𝜔 g 𝜔 𝜔) → ((f ·𝑜 g) ·𝑜 ) = (f ·𝑜 (g ·𝑜 )))
4948adantl 262 . . . . . . . . . . . 12 ((((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N)) (f 𝜔 g 𝜔 𝜔)) → ((f ·𝑜 g) ·𝑜 ) = (f ·𝑜 (g ·𝑜 )))
50 nnmcl 5975 . . . . . . . . . . . . 13 ((f 𝜔 g 𝜔) → (f ·𝑜 g) 𝜔)
5150adantl 262 . . . . . . . . . . . 12 ((((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N)) (f 𝜔 g 𝜔)) → (f ·𝑜 g) 𝜔)
5245, 47, 49, 51, 18, 31, 21, 32, 24caovdilemd 5615 . . . . . . . . . . 11 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N)) → (((x ·𝑜 w) +𝑜 (y ·𝑜 z)) ·𝑜 u) = ((x ·𝑜 (w ·𝑜 u)) +𝑜 (y ·𝑜 (z ·𝑜 u))))
53 nnmass 5981 . . . . . . . . . . . 12 ((y 𝜔 w 𝜔 v 𝜔) → ((y ·𝑜 w) ·𝑜 v) = (y ·𝑜 (w ·𝑜 v)))
5431, 21, 37, 53syl3anc 1121 . . . . . . . . . . 11 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N)) → ((y ·𝑜 w) ·𝑜 v) = (y ·𝑜 (w ·𝑜 v)))
5552, 54oveq12d 5454 . . . . . . . . . 10 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N)) → ((((x ·𝑜 w) +𝑜 (y ·𝑜 z)) ·𝑜 u) +𝑜 ((y ·𝑜 w) ·𝑜 v)) = (((x ·𝑜 (w ·𝑜 u)) +𝑜 (y ·𝑜 (z ·𝑜 u))) +𝑜 (y ·𝑜 (w ·𝑜 v))))
56 nndi 5980 . . . . . . . . . . . 12 ((y 𝜔 (z ·𝑜 u) 𝜔 (w ·𝑜 v) 𝜔) → (y ·𝑜 ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v))) = ((y ·𝑜 (z ·𝑜 u)) +𝑜 (y ·𝑜 (w ·𝑜 v))))
5731, 34, 39, 56syl3anc 1121 . . . . . . . . . . 11 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N)) → (y ·𝑜 ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v))) = ((y ·𝑜 (z ·𝑜 u)) +𝑜 (y ·𝑜 (w ·𝑜 v))))
5857oveq2d 5452 . . . . . . . . . 10 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N)) → ((x ·𝑜 (w ·𝑜 u)) +𝑜 (y ·𝑜 ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)))) = ((x ·𝑜 (w ·𝑜 u)) +𝑜 ((y ·𝑜 (z ·𝑜 u)) +𝑜 (y ·𝑜 (w ·𝑜 v)))))
5943, 55, 583eqtr4d 2064 . . . . . . . . 9 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N)) → ((((x ·𝑜 w) +𝑜 (y ·𝑜 z)) ·𝑜 u) +𝑜 ((y ·𝑜 w) ·𝑜 v)) = ((x ·𝑜 (w ·𝑜 u)) +𝑜 (y ·𝑜 ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)))))
60 nnmass 5981 . . . . . . . . . 10 ((y 𝜔 w 𝜔 u 𝜔) → ((y ·𝑜 w) ·𝑜 u) = (y ·𝑜 (w ·𝑜 u)))
6131, 21, 24, 60syl3anc 1121 . . . . . . . . 9 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N)) → ((y ·𝑜 w) ·𝑜 u) = (y ·𝑜 (w ·𝑜 u)))
62 opeq12 3525 . . . . . . . . . 10 ((((((x ·𝑜 w) +𝑜 (y ·𝑜 z)) ·𝑜 u) +𝑜 ((y ·𝑜 w) ·𝑜 v)) = ((x ·𝑜 (w ·𝑜 u)) +𝑜 (y ·𝑜 ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)))) ((y ·𝑜 w) ·𝑜 u) = (y ·𝑜 (w ·𝑜 u))) → ⟨((((x ·𝑜 w) +𝑜 (y ·𝑜 z)) ·𝑜 u) +𝑜 ((y ·𝑜 w) ·𝑜 v)), ((y ·𝑜 w) ·𝑜 u)⟩ = ⟨((x ·𝑜 (w ·𝑜 u)) +𝑜 (y ·𝑜 ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)))), (y ·𝑜 (w ·𝑜 u))⟩)
6362eceq1d 6053 . . . . . . . . 9 ((((((x ·𝑜 w) +𝑜 (y ·𝑜 z)) ·𝑜 u) +𝑜 ((y ·𝑜 w) ·𝑜 v)) = ((x ·𝑜 (w ·𝑜 u)) +𝑜 (y ·𝑜 ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)))) ((y ·𝑜 w) ·𝑜 u) = (y ·𝑜 (w ·𝑜 u))) → [⟨((((x ·𝑜 w) +𝑜 (y ·𝑜 z)) ·𝑜 u) +𝑜 ((y ·𝑜 w) ·𝑜 v)), ((y ·𝑜 w) ·𝑜 u)⟩] ~Q0 = [⟨((x ·𝑜 (w ·𝑜 u)) +𝑜 (y ·𝑜 ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)))), (y ·𝑜 (w ·𝑜 u))⟩] ~Q0 )
6459, 61, 63syl2anc 393 . . . . . . . 8 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N)) → [⟨((((x ·𝑜 w) +𝑜 (y ·𝑜 z)) ·𝑜 u) +𝑜 ((y ·𝑜 w) ·𝑜 v)), ((y ·𝑜 w) ·𝑜 u)⟩] ~Q0 = [⟨((x ·𝑜 (w ·𝑜 u)) +𝑜 (y ·𝑜 ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)))), (y ·𝑜 (w ·𝑜 u))⟩] ~Q0 )
65 addnnnq0 6304 . . . . . . . . . . . 12 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N)) → ([⟨x, y⟩] ~Q0 +Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) = [⟨((x ·𝑜 w) +𝑜 (y ·𝑜 z)), (y ·𝑜 w)⟩] ~Q0 )
6665oveq1d 5451 . . . . . . . . . . 11 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N)) → (([⟨x, y⟩] ~Q0 +Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ) = ([⟨((x ·𝑜 w) +𝑜 (y ·𝑜 z)), (y ·𝑜 w)⟩] ~Q0 +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ))
6766adantr 261 . . . . . . . . . 10 ((((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N)) (v 𝜔 u N)) → (([⟨x, y⟩] ~Q0 +Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ) = ([⟨((x ·𝑜 w) +𝑜 (y ·𝑜 z)), (y ·𝑜 w)⟩] ~Q0 +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ))
68 addassnq0lemcl 6316 . . . . . . . . . . 11 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N)) → (((x ·𝑜 w) +𝑜 (y ·𝑜 z)) 𝜔 (y ·𝑜 w) N))
69 addnnnq0 6304 . . . . . . . . . . 11 (((((x ·𝑜 w) +𝑜 (y ·𝑜 z)) 𝜔 (y ·𝑜 w) N) (v 𝜔 u N)) → ([⟨((x ·𝑜 w) +𝑜 (y ·𝑜 z)), (y ·𝑜 w)⟩] ~Q0 +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ) = [⟨((((x ·𝑜 w) +𝑜 (y ·𝑜 z)) ·𝑜 u) +𝑜 ((y ·𝑜 w) ·𝑜 v)), ((y ·𝑜 w) ·𝑜 u)⟩] ~Q0 )
7068, 69sylan 267 . . . . . . . . . 10 ((((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N)) (v 𝜔 u N)) → ([⟨((x ·𝑜 w) +𝑜 (y ·𝑜 z)), (y ·𝑜 w)⟩] ~Q0 +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ) = [⟨((((x ·𝑜 w) +𝑜 (y ·𝑜 z)) ·𝑜 u) +𝑜 ((y ·𝑜 w) ·𝑜 v)), ((y ·𝑜 w) ·𝑜 u)⟩] ~Q0 )
7167, 70eqtrd 2054 . . . . . . . . 9 ((((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N)) (v 𝜔 u N)) → (([⟨x, y⟩] ~Q0 +Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ) = [⟨((((x ·𝑜 w) +𝑜 (y ·𝑜 z)) ·𝑜 u) +𝑜 ((y ·𝑜 w) ·𝑜 v)), ((y ·𝑜 w) ·𝑜 u)⟩] ~Q0 )
72713impa 1085 . . . . . . . 8 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N)) → (([⟨x, y⟩] ~Q0 +Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ) = [⟨((((x ·𝑜 w) +𝑜 (y ·𝑜 z)) ·𝑜 u) +𝑜 ((y ·𝑜 w) ·𝑜 v)), ((y ·𝑜 w) ·𝑜 u)⟩] ~Q0 )
73 addnnnq0 6304 . . . . . . . . . . . 12 (((z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N)) → ([⟨z, w⟩] ~Q0 +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ) = [⟨((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)), (w ·𝑜 u)⟩] ~Q0 )
7473oveq2d 5452 . . . . . . . . . . 11 (((z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N)) → ([⟨x, y⟩] ~Q0 +Q0 ([⟨z, w⟩] ~Q0 +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 )) = ([⟨x, y⟩] ~Q0 +Q0 [⟨((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)), (w ·𝑜 u)⟩] ~Q0 ))
7574adantl 262 . . . . . . . . . 10 (((x 𝜔 y N) ((z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N))) → ([⟨x, y⟩] ~Q0 +Q0 ([⟨z, w⟩] ~Q0 +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 )) = ([⟨x, y⟩] ~Q0 +Q0 [⟨((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)), (w ·𝑜 u)⟩] ~Q0 ))
76 addassnq0lemcl 6316 . . . . . . . . . . 11 (((z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N)) → (((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)) 𝜔 (w ·𝑜 u) N))
77 addnnnq0 6304 . . . . . . . . . . 11 (((x 𝜔 y N) (((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)) 𝜔 (w ·𝑜 u) N)) → ([⟨x, y⟩] ~Q0 +Q0 [⟨((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)), (w ·𝑜 u)⟩] ~Q0 ) = [⟨((x ·𝑜 (w ·𝑜 u)) +𝑜 (y ·𝑜 ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)))), (y ·𝑜 (w ·𝑜 u))⟩] ~Q0 )
7876, 77sylan2 270 . . . . . . . . . 10 (((x 𝜔 y N) ((z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N))) → ([⟨x, y⟩] ~Q0 +Q0 [⟨((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)), (w ·𝑜 u)⟩] ~Q0 ) = [⟨((x ·𝑜 (w ·𝑜 u)) +𝑜 (y ·𝑜 ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)))), (y ·𝑜 (w ·𝑜 u))⟩] ~Q0 )
7975, 78eqtrd 2054 . . . . . . . . 9 (((x 𝜔 y N) ((z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N))) → ([⟨x, y⟩] ~Q0 +Q0 ([⟨z, w⟩] ~Q0 +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 )) = [⟨((x ·𝑜 (w ·𝑜 u)) +𝑜 (y ·𝑜 ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)))), (y ·𝑜 (w ·𝑜 u))⟩] ~Q0 )
80793impb 1086 . . . . . . . 8 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N)) → ([⟨x, y⟩] ~Q0 +Q0 ([⟨z, w⟩] ~Q0 +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 )) = [⟨((x ·𝑜 (w ·𝑜 u)) +𝑜 (y ·𝑜 ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)))), (y ·𝑜 (w ·𝑜 u))⟩] ~Q0 )
8164, 72, 803eqtr4d 2064 . . . . . . 7 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N)) → (([⟨x, y⟩] ~Q0 +Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ) = ([⟨x, y⟩] ~Q0 +Q0 ([⟨z, w⟩] ~Q0 +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 )))
82813expib 1093 . . . . . 6 ((x 𝜔 y N) → (((z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N)) → (([⟨x, y⟩] ~Q0 +Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ) = ([⟨x, y⟩] ~Q0 +Q0 ([⟨z, w⟩] ~Q0 +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ))))
831, 17, 82ecoptocl 6104 . . . . 5 (A Q0 → (((z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N)) → ((A +Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ) = (A +Q0 ([⟨z, w⟩] ~Q0 +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ))))
8483com12 27 . . . 4 (((z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N)) → (A Q0 → ((A +Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ) = (A +Q0 ([⟨z, w⟩] ~Q0 +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ))))
851, 7, 12, 842ecoptocl 6105 . . 3 ((B Q0 𝐶 Q0) → (A Q0 → ((A +Q0 B) +Q0 𝐶) = (A +Q0 (B +Q0 𝐶))))
8685com12 27 . 2 (A Q0 → ((B Q0 𝐶 Q0) → ((A +Q0 B) +Q0 𝐶) = (A +Q0 (B +Q0 𝐶))))
87863impib 1088 1 ((A Q0 B Q0 𝐶 Q0) → ((A +Q0 B) +Q0 𝐶) = (A +Q0 (B +Q0 𝐶)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ∧ w3a 873   = wceq 1228   ∈ wcel 1374  ⟨cop 3353  𝜔com 4240  (class class class)co 5436   +𝑜 coa 5913   ·𝑜 comu 5914  [cec 6015  Ncnpi 6130   ~Q0 ceq0 6144  Q0cnq0 6145   +Q0 cplq0 6147 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1363  ax-ie2 1364  ax-8 1376  ax-10 1377  ax-11 1378  ax-i12 1379  ax-bnd 1380  ax-4 1381  ax-13 1385  ax-14 1386  ax-17 1400  ax-i9 1404  ax-ial 1409  ax-i5r 1410  ax-ext 2004  ax-coll 3846  ax-sep 3849  ax-nul 3857  ax-pow 3901  ax-pr 3918  ax-un 4120  ax-setind 4204  ax-iinf 4238 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 734  df-3or 874  df-3an 875  df-tru 1231  df-fal 1234  df-nf 1330  df-sb 1628  df-eu 1885  df-mo 1886  df-clab 2009  df-cleq 2015  df-clel 2018  df-nfc 2149  df-ne 2188  df-ral 2289  df-rex 2290  df-reu 2291  df-rab 2293  df-v 2537  df-sbc 2742  df-csb 2830  df-dif 2897  df-un 2899  df-in 2901  df-ss 2908  df-nul 3202  df-pw 3336  df-sn 3356  df-pr 3357  df-op 3359  df-uni 3555  df-int 3590  df-iun 3633  df-br 3739  df-opab 3793  df-mpt 3794  df-tr 3829  df-id 4004  df-iord 4052  df-on 4054  df-suc 4057  df-iom 4241  df-xp 4278  df-rel 4279  df-cnv 4280  df-co 4281  df-dm 4282  df-rn 4283  df-res 4284  df-ima 4285  df-iota 4794  df-fun 4831  df-fn 4832  df-f 4833  df-f1 4834  df-fo 4835  df-f1o 4836  df-fv 4837  df-ov 5439  df-oprab 5440  df-mpt2 5441  df-1st 5690  df-2nd 5691  df-recs 5842  df-irdg 5878  df-oadd 5920  df-omul 5921  df-er 6017  df-ec 6019  df-qs 6023  df-ni 6164  df-mi 6166  df-enq0 6279  df-nq0 6280  df-plq0 6282 This theorem is referenced by:  prarloclemcalc  6356
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