ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  distnq0r Structured version   GIF version

Theorem distnq0r 6445
Description: Multiplication of non-negative fractions is distributive. Version of distrnq0 6441 with the multiplications commuted. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
distnq0r ((A Q0 B Q0 𝐶 Q0) → ((B +Q0 𝐶) ·Q0 A) = ((B ·Q0 A) +Q0 (𝐶 ·Q0 A)))

Proof of Theorem distnq0r
StepHypRef Expression
1 distrnq0 6441 . 2 ((A Q0 B Q0 𝐶 Q0) → (A ·Q0 (B +Q0 𝐶)) = ((A ·Q0 B) +Q0 (A ·Q0 𝐶)))
2 addclnq0 6433 . . . 4 ((B Q0 𝐶 Q0) → (B +Q0 𝐶) Q0)
3 mulcomnq0 6442 . . . 4 ((A Q0 (B +Q0 𝐶) Q0) → (A ·Q0 (B +Q0 𝐶)) = ((B +Q0 𝐶) ·Q0 A))
42, 3sylan2 270 . . 3 ((A Q0 (B Q0 𝐶 Q0)) → (A ·Q0 (B +Q0 𝐶)) = ((B +Q0 𝐶) ·Q0 A))
543impb 1099 . 2 ((A Q0 B Q0 𝐶 Q0) → (A ·Q0 (B +Q0 𝐶)) = ((B +Q0 𝐶) ·Q0 A))
6 mulcomnq0 6442 . . . 4 ((A Q0 B Q0) → (A ·Q0 B) = (B ·Q0 A))
763adant3 923 . . 3 ((A Q0 B Q0 𝐶 Q0) → (A ·Q0 B) = (B ·Q0 A))
8 mulcomnq0 6442 . . . 4 ((A Q0 𝐶 Q0) → (A ·Q0 𝐶) = (𝐶 ·Q0 A))
983adant2 922 . . 3 ((A Q0 B Q0 𝐶 Q0) → (A ·Q0 𝐶) = (𝐶 ·Q0 A))
107, 9oveq12d 5473 . 2 ((A Q0 B Q0 𝐶 Q0) → ((A ·Q0 B) +Q0 (A ·Q0 𝐶)) = ((B ·Q0 A) +Q0 (𝐶 ·Q0 A)))
111, 5, 103eqtr3d 2077 1 ((A Q0 B Q0 𝐶 Q0) → ((B +Q0 𝐶) ·Q0 A) = ((B ·Q0 A) +Q0 (𝐶 ·Q0 A)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   w3a 884   = wceq 1242   wcel 1390  (class class class)co 5455  Q0cnq0 6271   +Q0 cplq0 6273   ·Q0 cmq0 6274
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-mi 6290  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-plq0 6409  df-mq0 6410
This theorem is referenced by:  prarloclemcalc  6484
  Copyright terms: Public domain W3C validator