ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  distnq0r Structured version   GIF version

Theorem distnq0r 6318
Description: Multiplication of non-negative fractions is distributive. Version of distrnq0 6314 with the multiplications commuted. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
distnq0r ((A Q0 B Q0 𝐶 Q0) → ((B +Q0 𝐶) ·Q0 A) = ((B ·Q0 A) +Q0 (𝐶 ·Q0 A)))

Proof of Theorem distnq0r
StepHypRef Expression
1 distrnq0 6314 . 2 ((A Q0 B Q0 𝐶 Q0) → (A ·Q0 (B +Q0 𝐶)) = ((A ·Q0 B) +Q0 (A ·Q0 𝐶)))
2 addclnq0 6306 . . . 4 ((B Q0 𝐶 Q0) → (B +Q0 𝐶) Q0)
3 mulcomnq0 6315 . . . 4 ((A Q0 (B +Q0 𝐶) Q0) → (A ·Q0 (B +Q0 𝐶)) = ((B +Q0 𝐶) ·Q0 A))
42, 3sylan2 270 . . 3 ((A Q0 (B Q0 𝐶 Q0)) → (A ·Q0 (B +Q0 𝐶)) = ((B +Q0 𝐶) ·Q0 A))
543impb 1086 . 2 ((A Q0 B Q0 𝐶 Q0) → (A ·Q0 (B +Q0 𝐶)) = ((B +Q0 𝐶) ·Q0 A))
6 mulcomnq0 6315 . . . 4 ((A Q0 B Q0) → (A ·Q0 B) = (B ·Q0 A))
763adant3 912 . . 3 ((A Q0 B Q0 𝐶 Q0) → (A ·Q0 B) = (B ·Q0 A))
8 mulcomnq0 6315 . . . 4 ((A Q0 𝐶 Q0) → (A ·Q0 𝐶) = (𝐶 ·Q0 A))
983adant2 911 . . 3 ((A Q0 B Q0 𝐶 Q0) → (A ·Q0 𝐶) = (𝐶 ·Q0 A))
107, 9oveq12d 5454 . 2 ((A Q0 B Q0 𝐶 Q0) → ((A ·Q0 B) +Q0 (A ·Q0 𝐶)) = ((B ·Q0 A) +Q0 (𝐶 ·Q0 A)))
111, 5, 103eqtr3d 2062 1 ((A Q0 B Q0 𝐶 Q0) → ((B +Q0 𝐶) ·Q0 A) = ((B ·Q0 A) +Q0 (𝐶 ·Q0 A)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   w3a 873   = wceq 1228   wcel 1374  (class class class)co 5436  Q0cnq0 6145   +Q0 cplq0 6147   ·Q0 cmq0 6148
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1363  ax-ie2 1364  ax-8 1376  ax-10 1377  ax-11 1378  ax-i12 1379  ax-bnd 1380  ax-4 1381  ax-13 1385  ax-14 1386  ax-17 1400  ax-i9 1404  ax-ial 1409  ax-i5r 1410  ax-ext 2004  ax-coll 3846  ax-sep 3849  ax-nul 3857  ax-pow 3901  ax-pr 3918  ax-un 4120  ax-setind 4204  ax-iinf 4238
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 734  df-3or 874  df-3an 875  df-tru 1231  df-fal 1234  df-nf 1330  df-sb 1628  df-eu 1885  df-mo 1886  df-clab 2009  df-cleq 2015  df-clel 2018  df-nfc 2149  df-ne 2188  df-ral 2289  df-rex 2290  df-reu 2291  df-rab 2293  df-v 2537  df-sbc 2742  df-csb 2830  df-dif 2897  df-un 2899  df-in 2901  df-ss 2908  df-nul 3202  df-pw 3336  df-sn 3356  df-pr 3357  df-op 3359  df-uni 3555  df-int 3590  df-iun 3633  df-br 3739  df-opab 3793  df-mpt 3794  df-tr 3829  df-id 4004  df-iord 4052  df-on 4054  df-suc 4057  df-iom 4241  df-xp 4278  df-rel 4279  df-cnv 4280  df-co 4281  df-dm 4282  df-rn 4283  df-res 4284  df-ima 4285  df-iota 4794  df-fun 4831  df-fn 4832  df-f 4833  df-f1 4834  df-fo 4835  df-f1o 4836  df-fv 4837  df-ov 5439  df-oprab 5440  df-mpt2 5441  df-1st 5690  df-2nd 5691  df-recs 5842  df-irdg 5878  df-oadd 5920  df-omul 5921  df-er 6017  df-ec 6019  df-qs 6023  df-ni 6164  df-mi 6166  df-enq0 6279  df-nq0 6280  df-plq0 6282  df-mq0 6283
This theorem is referenced by:  prarloclemcalc  6356
  Copyright terms: Public domain W3C validator