ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rpnegap GIF version

Theorem rpnegap 8482
Description: Either a real apart from zero or its negation is a positive real, but not both. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Mar-2020.)
Assertion
Ref Expression
rpnegap ((A A # 0) → (A + ⊻ -A +))

Proof of Theorem rpnegap
StepHypRef Expression
1 0re 6917 . . . . . . 7 0
2 reapltxor 7465 . . . . . . 7 ((A 0 ℝ) → (A # 0 ↔ (A < 0 ⊻ 0 < A)))
31, 2mpan2 401 . . . . . 6 (A ℝ → (A # 0 ↔ (A < 0 ⊻ 0 < A)))
4 xorcom 1279 . . . . . 6 ((A < 0 ⊻ 0 < A) ↔ (0 < AA < 0))
53, 4syl6bb 185 . . . . 5 (A ℝ → (A # 0 ↔ (0 < AA < 0)))
65pm5.32i 427 . . . 4 ((A A # 0) ↔ (A (0 < AA < 0)))
7 anxordi 1291 . . . 4 ((A (0 < AA < 0)) ↔ ((A 0 < A) ⊻ (A A < 0)))
86, 7bitri 173 . . 3 ((A A # 0) ↔ ((A 0 < A) ⊻ (A A < 0)))
98biimpi 113 . 2 ((A A # 0) → ((A 0 < A) ⊻ (A A < 0)))
10 elrp 8452 . . . 4 (A + ↔ (A 0 < A))
1110a1i 9 . . 3 ((A A # 0) → (A + ↔ (A 0 < A)))
12 renegcl 7160 . . . . . . 7 (A ℝ → -A ℝ)
1312biantrurd 289 . . . . . 6 (A ℝ → (0 < -A ↔ (-A 0 < -A)))
14 elrp 8452 . . . . . 6 (-A + ↔ (-A 0 < -A))
1513, 14syl6rbbr 188 . . . . 5 (A ℝ → (-A + ↔ 0 < -A))
16 lt0neg1 7350 . . . . 5 (A ℝ → (A < 0 ↔ 0 < -A))
17 ibar 285 . . . . 5 (A ℝ → (A < 0 ↔ (A A < 0)))
1815, 16, 173bitr2d 205 . . . 4 (A ℝ → (-A + ↔ (A A < 0)))
1918adantr 261 . . 3 ((A A # 0) → (-A + ↔ (A A < 0)))
2011, 19xorbi12d 1273 . 2 ((A A # 0) → ((A + ⊻ -A +) ↔ ((A 0 < A) ⊻ (A A < 0))))
219, 20mpbird 156 1 ((A A # 0) → (A + ⊻ -A +))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98  wxo 1266   wcel 1393   class class class wbr 3758  cr 6778  0cc0 6779   < clt 6949  -cneg 7072   # cap 7457  +crp 8450
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3866  ax-sep 3869  ax-nul 3877  ax-pow 3921  ax-pr 3938  ax-un 4139  ax-setind 4223  ax-iinf 4257  ax-cnex 6865  ax-resscn 6866  ax-1cn 6867  ax-1re 6868  ax-icn 6869  ax-addcl 6870  ax-addrcl 6871  ax-mulcl 6872  ax-mulrcl 6873  ax-addcom 6874  ax-mulcom 6875  ax-addass 6876  ax-mulass 6877  ax-distr 6878  ax-i2m1 6879  ax-1rid 6881  ax-0id 6882  ax-rnegex 6883  ax-precex 6884  ax-cnre 6885  ax-pre-ltirr 6886  ax-pre-ltwlin 6887  ax-pre-lttrn 6888  ax-pre-apti 6889  ax-pre-ltadd 6890  ax-pre-mulgt0 6891
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-xor 1267  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2308  df-rex 2309  df-reu 2310  df-rab 2312  df-v 2556  df-sbc 2762  df-csb 2850  df-dif 2917  df-un 2919  df-in 2921  df-ss 2928  df-nul 3222  df-pw 3356  df-sn 3376  df-pr 3377  df-op 3379  df-uni 3575  df-int 3610  df-iun 3653  df-br 3759  df-opab 3813  df-mpt 3814  df-tr 3849  df-eprel 4020  df-id 4024  df-po 4027  df-iso 4028  df-iord 4072  df-on 4074  df-suc 4077  df-iom 4260  df-xp 4297  df-rel 4298  df-cnv 4299  df-co 4300  df-dm 4301  df-rn 4302  df-res 4303  df-ima 4304  df-iota 4813  df-fun 4850  df-fn 4851  df-f 4852  df-f1 4853  df-fo 4854  df-f1o 4855  df-fv 4856  df-riota 5414  df-ov 5461  df-oprab 5462  df-mpt2 5463  df-1st 5712  df-2nd 5713  df-recs 5865  df-irdg 5901  df-1o 5944  df-2o 5945  df-oadd 5948  df-omul 5949  df-er 6046  df-ec 6048  df-qs 6052  df-ni 6292  df-pli 6293  df-mi 6294  df-lti 6295  df-plpq 6332  df-mpq 6333  df-enq 6335  df-nqqs 6336  df-plqqs 6337  df-mqqs 6338  df-1nqqs 6339  df-rq 6340  df-ltnqqs 6341  df-enq0 6412  df-nq0 6413  df-0nq0 6414  df-plq0 6415  df-mq0 6416  df-inp 6454  df-i1p 6455  df-iplp 6456  df-iltp 6458  df-enr 6701  df-nr 6702  df-ltr 6705  df-0r 6706  df-1r 6707  df-0 6786  df-1 6787  df-r 6789  df-lt 6792  df-pnf 6951  df-mnf 6952  df-ltxr 6954  df-sub 7073  df-neg 7074  df-reap 7451  df-ap 7458  df-rp 8451
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator