Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltmul12a Structured version   GIF version

Theorem ltmul12a 7587
 Description: Comparison of product of two positive numbers. (Contributed by NM, 30-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
ltmul12a ((((A B ℝ) (0 ≤ A A < B)) ((𝐶 𝐷 ℝ) (0 ≤ 𝐶 𝐶 < 𝐷))) → (A · 𝐶) < (B · 𝐷))

Proof of Theorem ltmul12a
StepHypRef Expression
1 simplll 485 . . . 4 ((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) ((0 ≤ A A < B) (0 ≤ 𝐶 𝐶 < 𝐷))) → A ℝ)
2 simpllr 486 . . . 4 ((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) ((0 ≤ A A < B) (0 ≤ 𝐶 𝐶 < 𝐷))) → B ℝ)
3 simpll 481 . . . . . 6 (((𝐶 𝐷 ℝ) (0 ≤ 𝐶 𝐶 < 𝐷)) → 𝐶 ℝ)
4 simprl 483 . . . . . 6 (((𝐶 𝐷 ℝ) (0 ≤ 𝐶 𝐶 < 𝐷)) → 0 ≤ 𝐶)
53, 4jca 290 . . . . 5 (((𝐶 𝐷 ℝ) (0 ≤ 𝐶 𝐶 < 𝐷)) → (𝐶 0 ≤ 𝐶))
65ad2ant2l 477 . . . 4 ((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) ((0 ≤ A A < B) (0 ≤ 𝐶 𝐶 < 𝐷))) → (𝐶 0 ≤ 𝐶))
7 ltle 6882 . . . . . . 7 ((A B ℝ) → (A < BAB))
87imp 115 . . . . . 6 (((A B ℝ) A < B) → AB)
98adantrl 447 . . . . 5 (((A B ℝ) (0 ≤ A A < B)) → AB)
109ad2ant2r 478 . . . 4 ((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) ((0 ≤ A A < B) (0 ≤ 𝐶 𝐶 < 𝐷))) → AB)
11 lemul1a 7585 . . . 4 (((A B (𝐶 0 ≤ 𝐶)) AB) → (A · 𝐶) ≤ (B · 𝐶))
121, 2, 6, 10, 11syl31anc 1137 . . 3 ((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) ((0 ≤ A A < B) (0 ≤ 𝐶 𝐶 < 𝐷))) → (A · 𝐶) ≤ (B · 𝐶))
13 simplrl 487 . . . . . . 7 ((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) (0 ≤ A A < B)) → 𝐶 ℝ)
14 simplrr 488 . . . . . . 7 ((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) (0 ≤ A A < B)) → 𝐷 ℝ)
15 simpllr 486 . . . . . . 7 ((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) (0 ≤ A A < B)) → B ℝ)
16 0re 6805 . . . . . . . . . 10 0
17 lelttr 6883 . . . . . . . . . 10 ((0 A B ℝ) → ((0 ≤ A A < B) → 0 < B))
1816, 17mp3an1 1218 . . . . . . . . 9 ((A B ℝ) → ((0 ≤ A A < B) → 0 < B))
1918imp 115 . . . . . . . 8 (((A B ℝ) (0 ≤ A A < B)) → 0 < B)
2019adantlr 446 . . . . . . 7 ((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) (0 ≤ A A < B)) → 0 < B)
21 ltmul2 7583 . . . . . . 7 ((𝐶 𝐷 (B 0 < B)) → (𝐶 < 𝐷 ↔ (B · 𝐶) < (B · 𝐷)))
2213, 14, 15, 20, 21syl112anc 1138 . . . . . 6 ((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) (0 ≤ A A < B)) → (𝐶 < 𝐷 ↔ (B · 𝐶) < (B · 𝐷)))
2322biimpa 280 . . . . 5 (((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) (0 ≤ A A < B)) 𝐶 < 𝐷) → (B · 𝐶) < (B · 𝐷))
2423anasss 379 . . . 4 ((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) ((0 ≤ A A < B) 𝐶 < 𝐷)) → (B · 𝐶) < (B · 𝐷))
2524adantrrl 455 . . 3 ((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) ((0 ≤ A A < B) (0 ≤ 𝐶 𝐶 < 𝐷))) → (B · 𝐶) < (B · 𝐷))
26 remulcl 6787 . . . . . 6 ((A 𝐶 ℝ) → (A · 𝐶) ℝ)
2726ad2ant2r 478 . . . . 5 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → (A · 𝐶) ℝ)
28 remulcl 6787 . . . . . 6 ((B 𝐶 ℝ) → (B · 𝐶) ℝ)
2928ad2ant2lr 479 . . . . 5 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → (B · 𝐶) ℝ)
30 remulcl 6787 . . . . . 6 ((B 𝐷 ℝ) → (B · 𝐷) ℝ)
3130ad2ant2l 477 . . . . 5 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → (B · 𝐷) ℝ)
32 lelttr 6883 . . . . 5 (((A · 𝐶) (B · 𝐶) (B · 𝐷) ℝ) → (((A · 𝐶) ≤ (B · 𝐶) (B · 𝐶) < (B · 𝐷)) → (A · 𝐶) < (B · 𝐷)))
3327, 29, 31, 32syl3anc 1134 . . . 4 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → (((A · 𝐶) ≤ (B · 𝐶) (B · 𝐶) < (B · 𝐷)) → (A · 𝐶) < (B · 𝐷)))
3433adantr 261 . . 3 ((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) ((0 ≤ A A < B) (0 ≤ 𝐶 𝐶 < 𝐷))) → (((A · 𝐶) ≤ (B · 𝐶) (B · 𝐶) < (B · 𝐷)) → (A · 𝐶) < (B · 𝐷)))
3512, 25, 34mp2and 409 . 2 ((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) ((0 ≤ A A < B) (0 ≤ 𝐶 𝐶 < 𝐷))) → (A · 𝐶) < (B · 𝐷))
3635an4s 522 1 ((((A B ℝ) (0 ≤ A A < B)) ((𝐶 𝐷 ℝ) (0 ≤ 𝐶 𝐶 < 𝐷))) → (A · 𝐶) < (B · 𝐷))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∈ wcel 1390   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  ℝcr 6690  0cc0 6691   · cmul 6696   < clt 6837   ≤ cle 6838 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6754  ax-resscn 6755  ax-1cn 6756  ax-1re 6757  ax-icn 6758  ax-addcl 6759  ax-addrcl 6760  ax-mulcl 6761  ax-mulrcl 6762  ax-addcom 6763  ax-mulcom 6764  ax-addass 6765  ax-mulass 6766  ax-distr 6767  ax-i2m1 6768  ax-1rid 6770  ax-0id 6771  ax-rnegex 6772  ax-precex 6773  ax-cnre 6774  ax-pre-ltirr 6775  ax-pre-ltwlin 6776  ax-pre-lttrn 6777  ax-pre-apti 6778  ax-pre-ltadd 6779  ax-pre-mulgt0 6780  ax-pre-mulext 6781 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-iplp 6450  df-iltp 6452  df-enr 6634  df-nr 6635  df-ltr 6638  df-0r 6639  df-1r 6640  df-0 6698  df-1 6699  df-r 6701  df-lt 6704  df-pnf 6839  df-mnf 6840  df-xr 6841  df-ltxr 6842  df-le 6843  df-sub 6961  df-neg 6962  df-reap 7339  df-ap 7346 This theorem is referenced by:  ltmul12ad  7668
 Copyright terms: Public domain W3C validator