ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltle Structured version   GIF version

Theorem ltle 6882
Description: 'Less than' implies 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 25-Aug-1999.)
Assertion
Ref Expression
ltle ((A B ℝ) → (A < BAB))

Proof of Theorem ltle
StepHypRef Expression
1 ltnsym 6881 . 2 ((A B ℝ) → (A < B → ¬ B < A))
2 lenlt 6871 . 2 ((A B ℝ) → (AB ↔ ¬ B < A))
31, 2sylibrd 158 1 ((A B ℝ) → (A < BAB))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   wa 97   wcel 1390   class class class wbr 3755  cr 6690   < clt 6837  cle 6838
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-cnex 6754  ax-resscn 6755  ax-pre-ltirr 6775  ax-pre-lttrn 6777
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-xp 4294  df-cnv 4296  df-pnf 6839  df-mnf 6840  df-xr 6841  df-ltxr 6842  df-le 6843
This theorem is referenced by:  ltlei  6896  ltled  6912  ltleap  7393  lep1  7572  lem1  7574  letrp1  7575  ltmul12a  7587  bndndx  7936  nn0ge0  7963  zletric  8045  zlelttric  8046  zltnle  8047  zleloe  8048  zdcle  8073  uzind  8105  fnn0ind  8110  eluz2b2  8296  rpge0  8350  difelfznle  8743  elfzouz2  8767  elfzo0le  8791  fzosplitprm1  8840  fzostep1  8843  expgt1  8927  expnlbnd2  9007
  Copyright terms: Public domain W3C validator