Theorem ssfzo12 8850

Description: Subset relationship for half-open integer ranges. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ssfzo12	⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)))

Proof of Theorem ssfzo12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzolb2 8780	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝐾..^𝐿) ↔ 𝐾 < 𝐿))
2	1	biimp3ar 1235	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿) → 𝐾 ∈ (𝐾..^𝐿))
3		fzoend 8848	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (𝐾..^𝐿) → (𝐿 − 1) ∈ (𝐾..^𝐿))
4		ssel2 2934	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝐾..^𝐿)) → 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁))
5		ssel2 2934	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁) ∧ (𝐿 − 1) ∈ (𝐾..^𝐿)) → (𝐿 − 1) ∈ (𝑀..^𝑁))
6		elfzolt2 8782	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐿 − 1) ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝐿 − 1) < 𝑁)
7		simp2 904	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿) → 𝐿 ∈ ℤ)
8		elfzoel2 8773	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
9		zlem1lt 8076	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐿 ≤ 𝑁 ↔ (𝐿 − 1) < 𝑁))
10	7, 8, 9	syl2anr 274	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿)) → (𝐿 ≤ 𝑁 ↔ (𝐿 − 1) < 𝑁))
11		elfzole1 8781	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑀 ≤ 𝐾)
12		pm3.2 126	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ≤ 𝐾 → (𝐿 ≤ 𝑁 → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)))
13	11, 12	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝐿 ≤ 𝑁 → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)))
14	13	adantr 261	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿)) → (𝐿 ≤ 𝑁 → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)))
15	10, 14	sylbird 159	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿)) → ((𝐿 − 1) < 𝑁 → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)))
16	15	ex 108	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝐿 − 1) < 𝑁 → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁))))
17	16	com13 74	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐿 − 1) < 𝑁 → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁))))
18	5, 6, 17	3syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁) ∧ (𝐿 − 1) ∈ (𝐾..^𝐿)) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁))))
19	18	ex 108	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁) → ((𝐿 − 1) ∈ (𝐾..^𝐿) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)))))
20	19	com24 81	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁) → (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝐿 − 1) ∈ (𝐾..^𝐿) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)))))
21	4, 20	syl5com 26	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝐾..^𝐿)) → ((𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝐿 − 1) ∈ (𝐾..^𝐿) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)))))
22	21	ex 108	. . . . 5 ⊢ ((𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁) → (𝐾 ∈ (𝐾..^𝐿) → ((𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝐿 − 1) ∈ (𝐾..^𝐿) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁))))))
23	22	pm2.43a 45	. . . 4 ⊢ ((𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁) → (𝐾 ∈ (𝐾..^𝐿) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝐿 − 1) ∈ (𝐾..^𝐿) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)))))
24	23	com14 82	. . 3 ⊢ ((𝐿 − 1) ∈ (𝐾..^𝐿) → (𝐾 ∈ (𝐾..^𝐿) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)))))
25	3, 24	mpcom 32	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝐾..^𝐿) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁))))
26	2, 25	mpcom 32	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∧ w3a 884   ∈ wcel 1390   ⊆ wss 2911   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  1c1 6712   < clt 6857   ≤ cle 6858   − cmin 6979  ℤcz 8021  ..^cfzo 8769

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-addcom 6783  ax-addass 6785  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-ltadd 6799

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-inn 7696  df-n0 7958  df-z 8022  df-uz 8250  df-fz 8645  df-fzo 8770

This theorem is referenced by:  ssfzo12bi  8851