ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ssfzo12 Unicode version

Theorem ssfzo12 9080
Description: Subset relationship for half-open integer ranges. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
ssfzo12  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <  L )  ->  (
( K..^ L ) 
C_  ( M..^ N
)  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) )

Proof of Theorem ssfzo12
StepHypRef Expression
1 fzolb2 9010 . . 3  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( K..^ L )  <->  K  <  L ) )
21biimp3ar 1236 . 2  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <  L )  ->  K  e.  ( K..^ L ) )
3 fzoend 9078 . . 3  |-  ( K  e.  ( K..^ L
)  ->  ( L  -  1 )  e.  ( K..^ L ) )
4 ssel2 2940 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K..^ L ) 
C_  ( M..^ N
)  /\  K  e.  ( K..^ L ) )  ->  K  e.  ( M..^ N ) )
5 ssel2 2940 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K..^ L ) 
C_  ( M..^ N
)  /\  ( L  -  1 )  e.  ( K..^ L ) )  ->  ( L  -  1 )  e.  ( M..^ N ) )
6 elfzolt2 9012 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( L  -  1 )  e.  ( M..^ N
)  ->  ( L  -  1 )  < 
N )
7 simp2 905 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <  L )  ->  L  e.  ZZ )
8 elfzoel2 9003 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  ( M..^ N
)  ->  N  e.  ZZ )
9 zlem1lt 8300 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( L  <_  N  <->  ( L  -  1 )  <  N ) )
107, 8, 9syl2anr 274 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  ( M..^ N )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  < 
L ) )  -> 
( L  <_  N  <->  ( L  -  1 )  <  N ) )
11 elfzole1 9011 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  ( M..^ N
)  ->  M  <_  K )
12 pm3.2 126 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  <_  K  ->  ( L  <_  N  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) )
1311, 12syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  ( M..^ N
)  ->  ( L  <_  N  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) )
1413adantr 261 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  ( M..^ N )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  < 
L ) )  -> 
( L  <_  N  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) )
1510, 14sylbird 159 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  ( M..^ N )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  < 
L ) )  -> 
( ( L  - 
1 )  <  N  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) )
1615ex 108 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  ( M..^ N
)  ->  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  < 
L )  ->  (
( L  -  1 )  <  N  -> 
( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) ) )
1716com13 74 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( L  -  1 )  <  N  ->  (
( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <  L )  -> 
( K  e.  ( M..^ N )  -> 
( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) ) )
185, 6, 173syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K..^ L ) 
C_  ( M..^ N
)  /\  ( L  -  1 )  e.  ( K..^ L ) )  ->  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  < 
L )  ->  ( K  e.  ( M..^ N )  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) ) )
1918ex 108 . . . . . . . 8  |-  ( ( K..^ L )  C_  ( M..^ N )  -> 
( ( L  - 
1 )  e.  ( K..^ L )  -> 
( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  < 
L )  ->  ( K  e.  ( M..^ N )  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) ) ) )
2019com24 81 . . . . . . 7  |-  ( ( K..^ L )  C_  ( M..^ N )  -> 
( K  e.  ( M..^ N )  -> 
( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  < 
L )  ->  (
( L  -  1 )  e.  ( K..^ L )  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) ) ) )
214, 20syl5com 26 . . . . . 6  |-  ( ( ( K..^ L ) 
C_  ( M..^ N
)  /\  K  e.  ( K..^ L ) )  ->  ( ( K..^ L )  C_  ( M..^ N )  ->  (
( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <  L )  -> 
( ( L  - 
1 )  e.  ( K..^ L )  -> 
( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) ) ) )
2221ex 108 . . . . 5  |-  ( ( K..^ L )  C_  ( M..^ N )  -> 
( K  e.  ( K..^ L )  -> 
( ( K..^ L
)  C_  ( M..^ N )  ->  (
( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <  L )  -> 
( ( L  - 
1 )  e.  ( K..^ L )  -> 
( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) ) ) ) )
2322pm2.43a 45 . . . 4  |-  ( ( K..^ L )  C_  ( M..^ N )  -> 
( K  e.  ( K..^ L )  -> 
( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  < 
L )  ->  (
( L  -  1 )  e.  ( K..^ L )  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) ) ) )
2423com14 82 . . 3  |-  ( ( L  -  1 )  e.  ( K..^ L
)  ->  ( K  e.  ( K..^ L )  ->  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  < 
L )  ->  (
( K..^ L ) 
C_  ( M..^ N
)  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) ) ) )
253, 24mpcom 32 . 2  |-  ( K  e.  ( K..^ L
)  ->  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  < 
L )  ->  (
( K..^ L ) 
C_  ( M..^ N
)  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) ) )
262, 25mpcom 32 1  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <  L )  ->  (
( K..^ L ) 
C_  ( M..^ N
)  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 97    <-> wb 98    /\ w3a 885    e. wcel 1393    C_ wss 2917   class class class wbr 3764  (class class class)co 5512   1c1 6890    < clt 7060    <_ cle 7061    - cmin 7182   ZZcz 8245  ..^cfzo 8999
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-addcom 6984  ax-addass 6986  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-ltadd 7000
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-inn 7915  df-n0 8182  df-z 8246  df-uz 8474  df-fz 8875  df-fzo 9000
This theorem is referenced by:  ssfzo12bi  9081
  Copyright terms: Public domain W3C validator