ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulcmpblnrlemg Structured version   GIF version

Theorem mulcmpblnrlemg 6620
Description: Lemma used in lemma showing compatibility of multiplication. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
mulcmpblnrlemg ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → (((A +P 𝐷) = (B +P 𝐶) (𝐹 +P 𝑆) = (𝐺 +P 𝑅)) → ((𝐷 ·P 𝐹) +P (((A ·P 𝐹) +P (B ·P 𝐺)) +P ((𝐶 ·P 𝑆) +P (𝐷 ·P 𝑅)))) = ((𝐷 ·P 𝐹) +P (((A ·P 𝐺) +P (B ·P 𝐹)) +P ((𝐶 ·P 𝑅) +P (𝐷 ·P 𝑆))))))

Proof of Theorem mulcmpblnrlemg
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpllr 486 . . . . . . . . 9 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → B P)
2 simprlr 490 . . . . . . . . 9 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → 𝐺 P)
3 mulclpr 6543 . . . . . . . . 9 ((B P 𝐺 P) → (B ·P 𝐺) P)
41, 2, 3syl2anc 391 . . . . . . . 8 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → (B ·P 𝐺) P)
5 simplrr 488 . . . . . . . . 9 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → 𝐷 P)
6 simprrl 491 . . . . . . . . 9 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → 𝑅 P)
7 mulclpr 6543 . . . . . . . . 9 ((𝐷 P 𝑅 P) → (𝐷 ·P 𝑅) P)
85, 6, 7syl2anc 391 . . . . . . . 8 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → (𝐷 ·P 𝑅) P)
9 addclpr 6513 . . . . . . . 8 (((B ·P 𝐺) P (𝐷 ·P 𝑅) P) → ((B ·P 𝐺) +P (𝐷 ·P 𝑅)) P)
104, 8, 9syl2anc 391 . . . . . . 7 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → ((B ·P 𝐺) +P (𝐷 ·P 𝑅)) P)
11 simplrl 487 . . . . . . . 8 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → 𝐶 P)
12 mulclpr 6543 . . . . . . . 8 ((𝐶 P 𝐺 P) → (𝐶 ·P 𝐺) P)
1311, 2, 12syl2anc 391 . . . . . . 7 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → (𝐶 ·P 𝐺) P)
14 simprll 489 . . . . . . . . 9 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → 𝐹 P)
15 mulclpr 6543 . . . . . . . . 9 ((B P 𝐹 P) → (B ·P 𝐹) P)
161, 14, 15syl2anc 391 . . . . . . . 8 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → (B ·P 𝐹) P)
17 mulclpr 6543 . . . . . . . . 9 ((𝐶 P 𝑅 P) → (𝐶 ·P 𝑅) P)
1811, 6, 17syl2anc 391 . . . . . . . 8 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → (𝐶 ·P 𝑅) P)
19 addclpr 6513 . . . . . . . 8 (((B ·P 𝐹) P (𝐶 ·P 𝑅) P) → ((B ·P 𝐹) +P (𝐶 ·P 𝑅)) P)
2016, 18, 19syl2anc 391 . . . . . . 7 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → ((B ·P 𝐹) +P (𝐶 ·P 𝑅)) P)
21 addassprg 6545 . . . . . . 7 ((((B ·P 𝐺) +P (𝐷 ·P 𝑅)) P (𝐶 ·P 𝐺) P ((B ·P 𝐹) +P (𝐶 ·P 𝑅)) P) → ((((B ·P 𝐺) +P (𝐷 ·P 𝑅)) +P (𝐶 ·P 𝐺)) +P ((B ·P 𝐹) +P (𝐶 ·P 𝑅))) = (((B ·P 𝐺) +P (𝐷 ·P 𝑅)) +P ((𝐶 ·P 𝐺) +P ((B ·P 𝐹) +P (𝐶 ·P 𝑅)))))
2210, 13, 20, 21syl3anc 1134 . . . . . 6 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → ((((B ·P 𝐺) +P (𝐷 ·P 𝑅)) +P (𝐶 ·P 𝐺)) +P ((B ·P 𝐹) +P (𝐶 ·P 𝑅))) = (((B ·P 𝐺) +P (𝐷 ·P 𝑅)) +P ((𝐶 ·P 𝐺) +P ((B ·P 𝐹) +P (𝐶 ·P 𝑅)))))
2322adantr 261 . . . . 5 (((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) ((A +P 𝐷) = (B +P 𝐶) (𝐹 +P 𝑆) = (𝐺 +P 𝑅))) → ((((B ·P 𝐺) +P (𝐷 ·P 𝑅)) +P (𝐶 ·P 𝐺)) +P ((B ·P 𝐹) +P (𝐶 ·P 𝑅))) = (((B ·P 𝐺) +P (𝐷 ·P 𝑅)) +P ((𝐶 ·P 𝐺) +P ((B ·P 𝐹) +P (𝐶 ·P 𝑅)))))
24 oveq2 5460 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 +P 𝑆) = (𝐺 +P 𝑅) → (𝐷 ·P (𝐹 +P 𝑆)) = (𝐷 ·P (𝐺 +P 𝑅)))
2524ad2antll 460 . . . . . . . . . 10 (((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) ((A +P 𝐷) = (B +P 𝐶) (𝐹 +P 𝑆) = (𝐺 +P 𝑅))) → (𝐷 ·P (𝐹 +P 𝑆)) = (𝐷 ·P (𝐺 +P 𝑅)))
26 simprrr 492 . . . . . . . . . . . 12 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → 𝑆 P)
27 distrprg 6554 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 P 𝐹 P 𝑆 P) → (𝐷 ·P (𝐹 +P 𝑆)) = ((𝐷 ·P 𝐹) +P (𝐷 ·P 𝑆)))
285, 14, 26, 27syl3anc 1134 . . . . . . . . . . 11 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → (𝐷 ·P (𝐹 +P 𝑆)) = ((𝐷 ·P 𝐹) +P (𝐷 ·P 𝑆)))
2928adantr 261 . . . . . . . . . 10 (((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) ((A +P 𝐷) = (B +P 𝐶) (𝐹 +P 𝑆) = (𝐺 +P 𝑅))) → (𝐷 ·P (𝐹 +P 𝑆)) = ((𝐷 ·P 𝐹) +P (𝐷 ·P 𝑆)))
30 distrprg 6554 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 P 𝐺 P 𝑅 P) → (𝐷 ·P (𝐺 +P 𝑅)) = ((𝐷 ·P 𝐺) +P (𝐷 ·P 𝑅)))
315, 2, 6, 30syl3anc 1134 . . . . . . . . . . 11 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → (𝐷 ·P (𝐺 +P 𝑅)) = ((𝐷 ·P 𝐺) +P (𝐷 ·P 𝑅)))
3231adantr 261 . . . . . . . . . 10 (((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) ((A +P 𝐷) = (B +P 𝐶) (𝐹 +P 𝑆) = (𝐺 +P 𝑅))) → (𝐷 ·P (𝐺 +P 𝑅)) = ((𝐷 ·P 𝐺) +P (𝐷 ·P 𝑅)))
3325, 29, 323eqtr3d 2077 . . . . . . . . 9 (((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) ((A +P 𝐷) = (B +P 𝐶) (𝐹 +P 𝑆) = (𝐺 +P 𝑅))) → ((𝐷 ·P 𝐹) +P (𝐷 ·P 𝑆)) = ((𝐷 ·P 𝐺) +P (𝐷 ·P 𝑅)))
3433oveq2d 5468 . . . . . . . 8 (((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) ((A +P 𝐷) = (B +P 𝐶) (𝐹 +P 𝑆) = (𝐺 +P 𝑅))) → ((A ·P 𝐺) +P ((𝐷 ·P 𝐹) +P (𝐷 ·P 𝑆))) = ((A ·P 𝐺) +P ((𝐷 ·P 𝐺) +P (𝐷 ·P 𝑅))))
35 simplll 485 . . . . . . . . . . 11 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → A P)
36 mulclpr 6543 . . . . . . . . . . 11 ((A P 𝐺 P) → (A ·P 𝐺) P)
3735, 2, 36syl2anc 391 . . . . . . . . . 10 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → (A ·P 𝐺) P)
38 mulclpr 6543 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 P 𝐺 P) → (𝐷 ·P 𝐺) P)
395, 2, 38syl2anc 391 . . . . . . . . . 10 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → (𝐷 ·P 𝐺) P)
40 addassprg 6545 . . . . . . . . . 10 (((A ·P 𝐺) P (𝐷 ·P 𝐺) P (𝐷 ·P 𝑅) P) → (((A ·P 𝐺) +P (𝐷 ·P 𝐺)) +P (𝐷 ·P 𝑅)) = ((A ·P 𝐺) +P ((𝐷 ·P 𝐺) +P (𝐷 ·P 𝑅))))
4137, 39, 8, 40syl3anc 1134 . . . . . . . . 9 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → (((A ·P 𝐺) +P (𝐷 ·P 𝐺)) +P (𝐷 ·P 𝑅)) = ((A ·P 𝐺) +P ((𝐷 ·P 𝐺) +P (𝐷 ·P 𝑅))))
4241adantr 261 . . . . . . . 8 (((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) ((A +P 𝐷) = (B +P 𝐶) (𝐹 +P 𝑆) = (𝐺 +P 𝑅))) → (((A ·P 𝐺) +P (𝐷 ·P 𝐺)) +P (𝐷 ·P 𝑅)) = ((A ·P 𝐺) +P ((𝐷 ·P 𝐺) +P (𝐷 ·P 𝑅))))
43 oveq1 5459 . . . . . . . . . . 11 ((A +P 𝐷) = (B +P 𝐶) → ((A +P 𝐷) ·P 𝐺) = ((B +P 𝐶) ·P 𝐺))
4443ad2antrl 459 . . . . . . . . . 10 (((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) ((A +P 𝐷) = (B +P 𝐶) (𝐹 +P 𝑆) = (𝐺 +P 𝑅))) → ((A +P 𝐷) ·P 𝐺) = ((B +P 𝐶) ·P 𝐺))
45 distrprg 6554 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 P A P 𝐷 P) → (𝐺 ·P (A +P 𝐷)) = ((𝐺 ·P A) +P (𝐺 ·P 𝐷)))
462, 35, 5, 45syl3anc 1134 . . . . . . . . . . . 12 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → (𝐺 ·P (A +P 𝐷)) = ((𝐺 ·P A) +P (𝐺 ·P 𝐷)))
47 addclpr 6513 . . . . . . . . . . . . . 14 ((A P 𝐷 P) → (A +P 𝐷) P)
4835, 5, 47syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . 13 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → (A +P 𝐷) P)
49 mulcomprg 6546 . . . . . . . . . . . . 13 (((A +P 𝐷) P 𝐺 P) → ((A +P 𝐷) ·P 𝐺) = (𝐺 ·P (A +P 𝐷)))
5048, 2, 49syl2anc 391 . . . . . . . . . . . 12 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → ((A +P 𝐷) ·P 𝐺) = (𝐺 ·P (A +P 𝐷)))
51 mulcomprg 6546 . . . . . . . . . . . . . 14 ((A P 𝐺 P) → (A ·P 𝐺) = (𝐺 ·P A))
5235, 2, 51syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . 13 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → (A ·P 𝐺) = (𝐺 ·P A))
53 mulcomprg 6546 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 P 𝐺 P) → (𝐷 ·P 𝐺) = (𝐺 ·P 𝐷))
545, 2, 53syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . 13 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → (𝐷 ·P 𝐺) = (𝐺 ·P 𝐷))
5552, 54oveq12d 5470 . . . . . . . . . . . 12 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → ((A ·P 𝐺) +P (𝐷 ·P 𝐺)) = ((𝐺 ·P A) +P (𝐺 ·P 𝐷)))
5646, 50, 553eqtr4d 2079 . . . . . . . . . . 11 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → ((A +P 𝐷) ·P 𝐺) = ((A ·P 𝐺) +P (𝐷 ·P 𝐺)))
5756adantr 261 . . . . . . . . . 10 (((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) ((A +P 𝐷) = (B +P 𝐶) (𝐹 +P 𝑆) = (𝐺 +P 𝑅))) → ((A +P 𝐷) ·P 𝐺) = ((A ·P 𝐺) +P (𝐷 ·P 𝐺)))
58 distrprg 6554 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 P B P 𝐶 P) → (𝐺 ·P (B +P 𝐶)) = ((𝐺 ·P B) +P (𝐺 ·P 𝐶)))
592, 1, 11, 58syl3anc 1134 . . . . . . . . . . . 12 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → (𝐺 ·P (B +P 𝐶)) = ((𝐺 ·P B) +P (𝐺 ·P 𝐶)))
60 addclpr 6513 . . . . . . . . . . . . . 14 ((B P 𝐶 P) → (B +P 𝐶) P)
611, 11, 60syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . 13 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → (B +P 𝐶) P)
62 mulcomprg 6546 . . . . . . . . . . . . 13 (((B +P 𝐶) P 𝐺 P) → ((B +P 𝐶) ·P 𝐺) = (𝐺 ·P (B +P 𝐶)))
6361, 2, 62syl2anc 391 . . . . . . . . . . . 12 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → ((B +P 𝐶) ·P 𝐺) = (𝐺 ·P (B +P 𝐶)))
64 mulcomprg 6546 . . . . . . . . . . . . . 14 ((B P 𝐺 P) → (B ·P 𝐺) = (𝐺 ·P B))
651, 2, 64syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . 13 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → (B ·P 𝐺) = (𝐺 ·P B))
66 mulcomprg 6546 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐶 P 𝐺 P) → (𝐶 ·P 𝐺) = (𝐺 ·P 𝐶))
6711, 2, 66syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . 13 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → (𝐶 ·P 𝐺) = (𝐺 ·P 𝐶))
6865, 67oveq12d 5470 . . . . . . . . . . . 12 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → ((B ·P 𝐺) +P (𝐶 ·P 𝐺)) = ((𝐺 ·P B) +P (𝐺 ·P 𝐶)))
6959, 63, 683eqtr4d 2079 . . . . . . . . . . 11 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → ((B +P 𝐶) ·P 𝐺) = ((B ·P 𝐺) +P (𝐶 ·P 𝐺)))
7069adantr 261 . . . . . . . . . 10 (((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) ((A +P 𝐷) = (B +P 𝐶) (𝐹 +P 𝑆) = (𝐺 +P 𝑅))) → ((B +P 𝐶) ·P 𝐺) = ((B ·P 𝐺) +P (𝐶 ·P 𝐺)))
7144, 57, 703eqtr3d 2077 . . . . . . . . 9 (((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) ((A +P 𝐷) = (B +P 𝐶) (𝐹 +P 𝑆) = (𝐺 +P 𝑅))) → ((A ·P 𝐺) +P (𝐷 ·P 𝐺)) = ((B ·P 𝐺) +P (𝐶 ·P 𝐺)))
7271oveq1d 5467 . . . . . . . 8 (((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) ((A +P 𝐷) = (B +P 𝐶) (𝐹 +P 𝑆) = (𝐺 +P 𝑅))) → (((A ·P 𝐺) +P (𝐷 ·P 𝐺)) +P (𝐷 ·P 𝑅)) = (((B ·P 𝐺) +P (𝐶 ·P 𝐺)) +P (𝐷 ·P 𝑅)))
7334, 42, 723eqtr2d 2075 . . . . . . 7 (((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) ((A +P 𝐷) = (B +P 𝐶) (𝐹 +P 𝑆) = (𝐺 +P 𝑅))) → ((A ·P 𝐺) +P ((𝐷 ·P 𝐹) +P (𝐷 ·P 𝑆))) = (((B ·P 𝐺) +P (𝐶 ·P 𝐺)) +P (𝐷 ·P 𝑅)))
74 mulclpr 6543 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 P 𝐹 P) → (𝐷 ·P 𝐹) P)
755, 14, 74syl2anc 391 . . . . . . . . 9 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → (𝐷 ·P 𝐹) P)
76 mulclpr 6543 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 P 𝑆 P) → (𝐷 ·P 𝑆) P)
775, 26, 76syl2anc 391 . . . . . . . . 9 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → (𝐷 ·P 𝑆) P)
78 addcomprg 6544 . . . . . . . . . 10 ((x P y P) → (x +P y) = (y +P x))
7978adantl 262 . . . . . . . . 9 (((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) (x P y P)) → (x +P y) = (y +P x))
80 addassprg 6545 . . . . . . . . . 10 ((x P y P z P) → ((x +P y) +P z) = (x +P (y +P z)))
8180adantl 262 . . . . . . . . 9 (((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) (x P y P z P)) → ((x +P y) +P z) = (x +P (y +P z)))
8237, 75, 77, 79, 81caov12d 5621 . . . . . . . 8 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → ((A ·P 𝐺) +P ((𝐷 ·P 𝐹) +P (𝐷 ·P 𝑆))) = ((𝐷 ·P 𝐹) +P ((A ·P 𝐺) +P (𝐷 ·P 𝑆))))
8382adantr 261 . . . . . . 7 (((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) ((A +P 𝐷) = (B +P 𝐶) (𝐹 +P 𝑆) = (𝐺 +P 𝑅))) → ((A ·P 𝐺) +P ((𝐷 ·P 𝐹) +P (𝐷 ·P 𝑆))) = ((𝐷 ·P 𝐹) +P ((A ·P 𝐺) +P (𝐷 ·P 𝑆))))
844, 13, 8, 79, 81caov32d 5620 . . . . . . . 8 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → (((B ·P 𝐺) +P (𝐶 ·P 𝐺)) +P (𝐷 ·P 𝑅)) = (((B ·P 𝐺) +P (𝐷 ·P 𝑅)) +P (𝐶 ·P 𝐺)))
8584adantr 261 . . . . . . 7 (((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) ((A +P 𝐷) = (B +P 𝐶) (𝐹 +P 𝑆) = (𝐺 +P 𝑅))) → (((B ·P 𝐺) +P (𝐶 ·P 𝐺)) +P (𝐷 ·P 𝑅)) = (((B ·P 𝐺) +P (𝐷 ·P 𝑅)) +P (𝐶 ·P 𝐺)))
8673, 83, 853eqtr3d 2077 . . . . . 6 (((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) ((A +P 𝐷) = (B +P 𝐶) (𝐹 +P 𝑆) = (𝐺 +P 𝑅))) → ((𝐷 ·P 𝐹) +P ((A ·P 𝐺) +P (𝐷 ·P 𝑆))) = (((B ·P 𝐺) +P (𝐷 ·P 𝑅)) +P (𝐶 ·P 𝐺)))
8786oveq1d 5467 . . . . 5 (((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) ((A +P 𝐷) = (B +P 𝐶) (𝐹 +P 𝑆) = (𝐺 +P 𝑅))) → (((𝐷 ·P 𝐹) +P ((A ·P 𝐺) +P (𝐷 ·P 𝑆))) +P ((B ·P 𝐹) +P (𝐶 ·P 𝑅))) = ((((B ·P 𝐺) +P (𝐷 ·P 𝑅)) +P (𝐶 ·P 𝐺)) +P ((B ·P 𝐹) +P (𝐶 ·P 𝑅))))
88 oveq1 5459 . . . . . . . . . . . 12 ((A +P 𝐷) = (B +P 𝐶) → ((A +P 𝐷) ·P 𝐹) = ((B +P 𝐶) ·P 𝐹))
8988adantl 262 . . . . . . . . . . 11 (((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) (A +P 𝐷) = (B +P 𝐶)) → ((A +P 𝐷) ·P 𝐹) = ((B +P 𝐶) ·P 𝐹))
90 distrprg 6554 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 P A P 𝐷 P) → (𝐹 ·P (A +P 𝐷)) = ((𝐹 ·P A) +P (𝐹 ·P 𝐷)))
9114, 35, 5, 90syl3anc 1134 . . . . . . . . . . . . 13 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → (𝐹 ·P (A +P 𝐷)) = ((𝐹 ·P A) +P (𝐹 ·P 𝐷)))
92 mulcomprg 6546 . . . . . . . . . . . . . 14 (((A +P 𝐷) P 𝐹 P) → ((A +P 𝐷) ·P 𝐹) = (𝐹 ·P (A +P 𝐷)))
9348, 14, 92syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . 13 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → ((A +P 𝐷) ·P 𝐹) = (𝐹 ·P (A +P 𝐷)))
94 mulcomprg 6546 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((A P 𝐹 P) → (A ·P 𝐹) = (𝐹 ·P A))
9535, 14, 94syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → (A ·P 𝐹) = (𝐹 ·P A))
96 mulcomprg 6546 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷 P 𝐹 P) → (𝐷 ·P 𝐹) = (𝐹 ·P 𝐷))
975, 14, 96syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → (𝐷 ·P 𝐹) = (𝐹 ·P 𝐷))
9895, 97oveq12d 5470 . . . . . . . . . . . . 13 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → ((A ·P 𝐹) +P (𝐷 ·P 𝐹)) = ((𝐹 ·P A) +P (𝐹 ·P 𝐷)))
9991, 93, 983eqtr4d 2079 . . . . . . . . . . . 12 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → ((A +P 𝐷) ·P 𝐹) = ((A ·P 𝐹) +P (𝐷 ·P 𝐹)))
10099adantr 261 . . . . . . . . . . 11 (((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) (A +P 𝐷) = (B +P 𝐶)) → ((A +P 𝐷) ·P 𝐹) = ((A ·P 𝐹) +P (𝐷 ·P 𝐹)))
101 distrprg 6554 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 P B P 𝐶 P) → (𝐹 ·P (B +P 𝐶)) = ((𝐹 ·P B) +P (𝐹 ·P 𝐶)))
10214, 1, 11, 101syl3anc 1134 . . . . . . . . . . . . 13 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → (𝐹 ·P (B +P 𝐶)) = ((𝐹 ·P B) +P (𝐹 ·P 𝐶)))
103 mulcomprg 6546 . . . . . . . . . . . . . 14 (((B +P 𝐶) P 𝐹 P) → ((B +P 𝐶) ·P 𝐹) = (𝐹 ·P (B +P 𝐶)))
10461, 14, 103syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . 13 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → ((B +P 𝐶) ·P 𝐹) = (𝐹 ·P (B +P 𝐶)))
105 mulcomprg 6546 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((B P 𝐹 P) → (B ·P 𝐹) = (𝐹 ·P B))
1061, 14, 105syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → (B ·P 𝐹) = (𝐹 ·P B))
107 mulcomprg 6546 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐶 P 𝐹 P) → (𝐶 ·P 𝐹) = (𝐹 ·P 𝐶))
10811, 14, 107syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → (𝐶 ·P 𝐹) = (𝐹 ·P 𝐶))
109106, 108oveq12d 5470 . . . . . . . . . . . . 13 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → ((B ·P 𝐹) +P (𝐶 ·P 𝐹)) = ((𝐹 ·P B) +P (𝐹 ·P 𝐶)))
110102, 104, 1093eqtr4d 2079 . . . . . . . . . . . 12 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → ((B +P 𝐶) ·P 𝐹) = ((B ·P 𝐹) +P (𝐶 ·P 𝐹)))
111110adantr 261 . . . . . . . . . . 11 (((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) (A +P 𝐷) = (B +P 𝐶)) → ((B +P 𝐶) ·P 𝐹) = ((B ·P 𝐹) +P (𝐶 ·P 𝐹)))
11289, 100, 1113eqtr3d 2077 . . . . . . . . . 10 (((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) (A +P 𝐷) = (B +P 𝐶)) → ((A ·P 𝐹) +P (𝐷 ·P 𝐹)) = ((B ·P 𝐹) +P (𝐶 ·P 𝐹)))
113112oveq1d 5467 . . . . . . . . 9 (((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) (A +P 𝐷) = (B +P 𝐶)) → (((A ·P 𝐹) +P (𝐷 ·P 𝐹)) +P (𝐶 ·P 𝑆)) = (((B ·P 𝐹) +P (𝐶 ·P 𝐹)) +P (𝐶 ·P 𝑆)))
114113adantrr 448 . . . . . . . 8 (((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) ((A +P 𝐷) = (B +P 𝐶) (𝐹 +P 𝑆) = (𝐺 +P 𝑅))) → (((A ·P 𝐹) +P (𝐷 ·P 𝐹)) +P (𝐶 ·P 𝑆)) = (((B ·P 𝐹) +P (𝐶 ·P 𝐹)) +P (𝐶 ·P 𝑆)))
115 mulclpr 6543 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐶 P 𝐹 P) → (𝐶 ·P 𝐹) P)
11611, 14, 115syl2anc 391 . . . . . . . . . . . 12 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → (𝐶 ·P 𝐹) P)
117 mulclpr 6543 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐶 P 𝑆 P) → (𝐶 ·P 𝑆) P)
11811, 26, 117syl2anc 391 . . . . . . . . . . . 12 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → (𝐶 ·P 𝑆) P)
119 addassprg 6545 . . . . . . . . . . . 12 (((B ·P 𝐹) P (𝐶 ·P 𝐹) P (𝐶 ·P 𝑆) P) → (((B ·P 𝐹) +P (𝐶 ·P 𝐹)) +P (𝐶 ·P 𝑆)) = ((B ·P 𝐹) +P ((𝐶 ·P 𝐹) +P (𝐶 ·P 𝑆))))
12016, 116, 118, 119syl3anc 1134 . . . . . . . . . . 11 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → (((B ·P 𝐹) +P (𝐶 ·P 𝐹)) +P (𝐶 ·P 𝑆)) = ((B ·P 𝐹) +P ((𝐶 ·P 𝐹) +P (𝐶 ·P 𝑆))))
121120adantr 261 . . . . . . . . . 10 (((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) (𝐹 +P 𝑆) = (𝐺 +P 𝑅)) → (((B ·P 𝐹) +P (𝐶 ·P 𝐹)) +P (𝐶 ·P 𝑆)) = ((B ·P 𝐹) +P ((𝐶 ·P 𝐹) +P (𝐶 ·P 𝑆))))
122 oveq2 5460 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 +P 𝑆) = (𝐺 +P 𝑅) → (𝐶 ·P (𝐹 +P 𝑆)) = (𝐶 ·P (𝐺 +P 𝑅)))
123122adantl 262 . . . . . . . . . . . 12 (((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) (𝐹 +P 𝑆) = (𝐺 +P 𝑅)) → (𝐶 ·P (𝐹 +P 𝑆)) = (𝐶 ·P (𝐺 +P 𝑅)))
124 distrprg 6554 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐶 P 𝐹 P 𝑆 P) → (𝐶 ·P (𝐹 +P 𝑆)) = ((𝐶 ·P 𝐹) +P (𝐶 ·P 𝑆)))
12511, 14, 26, 124syl3anc 1134 . . . . . . . . . . . . 13 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → (𝐶 ·P (𝐹 +P 𝑆)) = ((𝐶 ·P 𝐹) +P (𝐶 ·P 𝑆)))
126125adantr 261 . . . . . . . . . . . 12 (((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) (𝐹 +P 𝑆) = (𝐺 +P 𝑅)) → (𝐶 ·P (𝐹 +P 𝑆)) = ((𝐶 ·P 𝐹) +P (𝐶 ·P 𝑆)))
127 distrprg 6554 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐶 P 𝐺 P 𝑅 P) → (𝐶 ·P (𝐺 +P 𝑅)) = ((𝐶 ·P 𝐺) +P (𝐶 ·P 𝑅)))
12811, 2, 6, 127syl3anc 1134 . . . . . . . . . . . . 13 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → (𝐶 ·P (𝐺 +P 𝑅)) = ((𝐶 ·P 𝐺) +P (𝐶 ·P 𝑅)))
129128adantr 261 . . . . . . . . . . . 12 (((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) (𝐹 +P 𝑆) = (𝐺 +P 𝑅)) → (𝐶 ·P (𝐺 +P 𝑅)) = ((𝐶 ·P 𝐺) +P (𝐶 ·P 𝑅)))
130123, 126, 1293eqtr3d 2077 . . . . . . . . . . 11 (((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) (𝐹 +P 𝑆) = (𝐺 +P 𝑅)) → ((𝐶 ·P 𝐹) +P (𝐶 ·P 𝑆)) = ((𝐶 ·P 𝐺) +P (𝐶 ·P 𝑅)))
131130oveq2d 5468 . . . . . . . . . 10 (((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) (𝐹 +P 𝑆) = (𝐺 +P 𝑅)) → ((B ·P 𝐹) +P ((𝐶 ·P 𝐹) +P (𝐶 ·P 𝑆))) = ((B ·P 𝐹) +P ((𝐶 ·P 𝐺) +P (𝐶 ·P 𝑅))))
132121, 131eqtrd 2069 . . . . . . . . 9 (((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) (𝐹 +P 𝑆) = (𝐺 +P 𝑅)) → (((B ·P 𝐹) +P (𝐶 ·P 𝐹)) +P (𝐶 ·P 𝑆)) = ((B ·P 𝐹) +P ((𝐶 ·P 𝐺) +P (𝐶 ·P 𝑅))))
133132adantrl 447 . . . . . . . 8 (((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) ((A +P 𝐷) = (B +P 𝐶) (𝐹 +P 𝑆) = (𝐺 +P 𝑅))) → (((B ·P 𝐹) +P (𝐶 ·P 𝐹)) +P (𝐶 ·P 𝑆)) = ((B ·P 𝐹) +P ((𝐶 ·P 𝐺) +P (𝐶 ·P 𝑅))))
134114, 133eqtrd 2069 . . . . . . 7 (((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) ((A +P 𝐷) = (B +P 𝐶) (𝐹 +P 𝑆) = (𝐺 +P 𝑅))) → (((A ·P 𝐹) +P (𝐷 ·P 𝐹)) +P (𝐶 ·P 𝑆)) = ((B ·P 𝐹) +P ((𝐶 ·P 𝐺) +P (𝐶 ·P 𝑅))))
135 mulclpr 6543 . . . . . . . . . 10 ((A P 𝐹 P) → (A ·P 𝐹) P)
13635, 14, 135syl2anc 391 . . . . . . . . 9 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → (A ·P 𝐹) P)
137136, 75, 118, 79, 81caov32d 5620 . . . . . . . 8 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → (((A ·P 𝐹) +P (𝐷 ·P 𝐹)) +P (𝐶 ·P 𝑆)) = (((A ·P 𝐹) +P (𝐶 ·P 𝑆)) +P (𝐷 ·P 𝐹)))
138137adantr 261 . . . . . . 7 (((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) ((A +P 𝐷) = (B +P 𝐶) (𝐹 +P 𝑆) = (𝐺 +P 𝑅))) → (((A ·P 𝐹) +P (𝐷 ·P 𝐹)) +P (𝐶 ·P 𝑆)) = (((A ·P 𝐹) +P (𝐶 ·P 𝑆)) +P (𝐷 ·P 𝐹)))
13916, 13, 18, 79, 81caov12d 5621 . . . . . . . 8 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → ((B ·P 𝐹) +P ((𝐶 ·P 𝐺) +P (𝐶 ·P 𝑅))) = ((𝐶 ·P 𝐺) +P ((B ·P 𝐹) +P (𝐶 ·P 𝑅))))
140139adantr 261 . . . . . . 7 (((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) ((A +P 𝐷) = (B +P 𝐶) (𝐹 +P 𝑆) = (𝐺 +P 𝑅))) → ((B ·P 𝐹) +P ((𝐶 ·P 𝐺) +P (𝐶 ·P 𝑅))) = ((𝐶 ·P 𝐺) +P ((B ·P 𝐹) +P (𝐶 ·P 𝑅))))
141134, 138, 1403eqtr3d 2077 . . . . . 6 (((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) ((A +P 𝐷) = (B +P 𝐶) (𝐹 +P 𝑆) = (𝐺 +P 𝑅))) → (((A ·P 𝐹) +P (𝐶 ·P 𝑆)) +P (𝐷 ·P 𝐹)) = ((𝐶 ·P 𝐺) +P ((B ·P 𝐹) +P (𝐶 ·P 𝑅))))
142141oveq2d 5468 . . . . 5 (((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) ((A +P 𝐷) = (B +P 𝐶) (𝐹 +P 𝑆) = (𝐺 +P 𝑅))) → (((B ·P 𝐺) +P (𝐷 ·P 𝑅)) +P (((A ·P 𝐹) +P (𝐶 ·P 𝑆)) +P (𝐷 ·P 𝐹))) = (((B ·P 𝐺) +P (𝐷 ·P 𝑅)) +P ((𝐶 ·P 𝐺) +P ((B ·P 𝐹) +P (𝐶 ·P 𝑅)))))
14323, 87, 1423eqtr4rd 2080 . . . 4 (((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) ((A +P 𝐷) = (B +P 𝐶) (𝐹 +P 𝑆) = (𝐺 +P 𝑅))) → (((B ·P 𝐺) +P (𝐷 ·P 𝑅)) +P (((A ·P 𝐹) +P (𝐶 ·P 𝑆)) +P (𝐷 ·P 𝐹))) = (((𝐷 ·P 𝐹) +P ((A ·P 𝐺) +P (𝐷 ·P 𝑆))) +P ((B ·P 𝐹) +P (𝐶 ·P 𝑅))))
144 addclpr 6513 . . . . . . 7 (((A ·P 𝐹) P (𝐶 ·P 𝑆) P) → ((A ·P 𝐹) +P (𝐶 ·P 𝑆)) P)
145136, 118, 144syl2anc 391 . . . . . 6 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → ((A ·P 𝐹) +P (𝐶 ·P 𝑆)) P)
14610, 145, 75, 79, 81caov13d 5623 . . . . 5 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → (((B ·P 𝐺) +P (𝐷 ·P 𝑅)) +P (((A ·P 𝐹) +P (𝐶 ·P 𝑆)) +P (𝐷 ·P 𝐹))) = ((𝐷 ·P 𝐹) +P (((A ·P 𝐹) +P (𝐶 ·P 𝑆)) +P ((B ·P 𝐺) +P (𝐷 ·P 𝑅)))))
147146adantr 261 . . . 4 (((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) ((A +P 𝐷) = (B +P 𝐶) (𝐹 +P 𝑆) = (𝐺 +P 𝑅))) → (((B ·P 𝐺) +P (𝐷 ·P 𝑅)) +P (((A ·P 𝐹) +P (𝐶 ·P 𝑆)) +P (𝐷 ·P 𝐹))) = ((𝐷 ·P 𝐹) +P (((A ·P 𝐹) +P (𝐶 ·P 𝑆)) +P ((B ·P 𝐺) +P (𝐷 ·P 𝑅)))))
148 addclpr 6513 . . . . . . 7 (((A ·P 𝐺) P (𝐷 ·P 𝑆) P) → ((A ·P 𝐺) +P (𝐷 ·P 𝑆)) P)
14937, 77, 148syl2anc 391 . . . . . 6 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → ((A ·P 𝐺) +P (𝐷 ·P 𝑆)) P)
150 addassprg 6545 . . . . . 6 (((𝐷 ·P 𝐹) P ((A ·P 𝐺) +P (𝐷 ·P 𝑆)) P ((B ·P 𝐹) +P (𝐶 ·P 𝑅)) P) → (((𝐷 ·P 𝐹) +P ((A ·P 𝐺) +P (𝐷 ·P 𝑆))) +P ((B ·P 𝐹) +P (𝐶 ·P 𝑅))) = ((𝐷 ·P 𝐹) +P (((A ·P 𝐺) +P (𝐷 ·P 𝑆)) +P ((B ·P 𝐹) +P (𝐶 ·P 𝑅)))))
15175, 149, 20, 150syl3anc 1134 . . . . 5 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → (((𝐷 ·P 𝐹) +P ((A ·P 𝐺) +P (𝐷 ·P 𝑆))) +P ((B ·P 𝐹) +P (𝐶 ·P 𝑅))) = ((𝐷 ·P 𝐹) +P (((A ·P 𝐺) +P (𝐷 ·P 𝑆)) +P ((B ·P 𝐹) +P (𝐶 ·P 𝑅)))))
152151adantr 261 . . . 4 (((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) ((A +P 𝐷) = (B +P 𝐶) (𝐹 +P 𝑆) = (𝐺 +P 𝑅))) → (((𝐷 ·P 𝐹) +P ((A ·P 𝐺) +P (𝐷 ·P 𝑆))) +P ((B ·P 𝐹) +P (𝐶 ·P 𝑅))) = ((𝐷 ·P 𝐹) +P (((A ·P 𝐺) +P (𝐷 ·P 𝑆)) +P ((B ·P 𝐹) +P (𝐶 ·P 𝑅)))))
153143, 147, 1523eqtr3d 2077 . . 3 (((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) ((A +P 𝐷) = (B +P 𝐶) (𝐹 +P 𝑆) = (𝐺 +P 𝑅))) → ((𝐷 ·P 𝐹) +P (((A ·P 𝐹) +P (𝐶 ·P 𝑆)) +P ((B ·P 𝐺) +P (𝐷 ·P 𝑅)))) = ((𝐷 ·P 𝐹) +P (((A ·P 𝐺) +P (𝐷 ·P 𝑆)) +P ((B ·P 𝐹) +P (𝐶 ·P 𝑅)))))
154 addclpr 6513 . . . . . . 7 ((x P y P) → (x +P y) P)
155154adantl 262 . . . . . 6 (((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) (x P y P)) → (x +P y) P)
156136, 118, 4, 79, 81, 8, 155caov4d 5624 . . . . 5 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → (((A ·P 𝐹) +P (𝐶 ·P 𝑆)) +P ((B ·P 𝐺) +P (𝐷 ·P 𝑅))) = (((A ·P 𝐹) +P (B ·P 𝐺)) +P ((𝐶 ·P 𝑆) +P (𝐷 ·P 𝑅))))
157156oveq2d 5468 . . . 4 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → ((𝐷 ·P 𝐹) +P (((A ·P 𝐹) +P (𝐶 ·P 𝑆)) +P ((B ·P 𝐺) +P (𝐷 ·P 𝑅)))) = ((𝐷 ·P 𝐹) +P (((A ·P 𝐹) +P (B ·P 𝐺)) +P ((𝐶 ·P 𝑆) +P (𝐷 ·P 𝑅)))))
158157adantr 261 . . 3 (((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) ((A +P 𝐷) = (B +P 𝐶) (𝐹 +P 𝑆) = (𝐺 +P 𝑅))) → ((𝐷 ·P 𝐹) +P (((A ·P 𝐹) +P (𝐶 ·P 𝑆)) +P ((B ·P 𝐺) +P (𝐷 ·P 𝑅)))) = ((𝐷 ·P 𝐹) +P (((A ·P 𝐹) +P (B ·P 𝐺)) +P ((𝐶 ·P 𝑆) +P (𝐷 ·P 𝑅)))))
15937, 77, 16, 79, 81, 18, 155caov42d 5626 . . . . 5 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → (((A ·P 𝐺) +P (𝐷 ·P 𝑆)) +P ((B ·P 𝐹) +P (𝐶 ·P 𝑅))) = (((A ·P 𝐺) +P (B ·P 𝐹)) +P ((𝐶 ·P 𝑅) +P (𝐷 ·P 𝑆))))
160159oveq2d 5468 . . . 4 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → ((𝐷 ·P 𝐹) +P (((A ·P 𝐺) +P (𝐷 ·P 𝑆)) +P ((B ·P 𝐹) +P (𝐶 ·P 𝑅)))) = ((𝐷 ·P 𝐹) +P (((A ·P 𝐺) +P (B ·P 𝐹)) +P ((𝐶 ·P 𝑅) +P (𝐷 ·P 𝑆)))))
161160adantr 261 . . 3 (((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) ((A +P 𝐷) = (B +P 𝐶) (𝐹 +P 𝑆) = (𝐺 +P 𝑅))) → ((𝐷 ·P 𝐹) +P (((A ·P 𝐺) +P (𝐷 ·P 𝑆)) +P ((B ·P 𝐹) +P (𝐶 ·P 𝑅)))) = ((𝐷 ·P 𝐹) +P (((A ·P 𝐺) +P (B ·P 𝐹)) +P ((𝐶 ·P 𝑅) +P (𝐷 ·P 𝑆)))))
162153, 158, 1613eqtr3d 2077 . 2 (((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) ((A +P 𝐷) = (B +P 𝐶) (𝐹 +P 𝑆) = (𝐺 +P 𝑅))) → ((𝐷 ·P 𝐹) +P (((A ·P 𝐹) +P (B ·P 𝐺)) +P ((𝐶 ·P 𝑆) +P (𝐷 ·P 𝑅)))) = ((𝐷 ·P 𝐹) +P (((A ·P 𝐺) +P (B ·P 𝐹)) +P ((𝐶 ·P 𝑅) +P (𝐷 ·P 𝑆)))))
163162ex 108 1 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → (((A +P 𝐷) = (B +P 𝐶) (𝐹 +P 𝑆) = (𝐺 +P 𝑅)) → ((𝐷 ·P 𝐹) +P (((A ·P 𝐹) +P (B ·P 𝐺)) +P ((𝐶 ·P 𝑆) +P (𝐷 ·P 𝑅)))) = ((𝐷 ·P 𝐹) +P (((A ·P 𝐺) +P (B ·P 𝐹)) +P ((𝐶 ·P 𝑅) +P (𝐷 ·P 𝑆))))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   w3a 884   = wceq 1242   wcel 1390  (class class class)co 5452  Pcnp 6268   +P cpp 6270   ·P cmp 6271
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3862  ax-sep 3865  ax-nul 3873  ax-pow 3917  ax-pr 3934  ax-un 4135  ax-setind 4219  ax-iinf 4253
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3352  df-sn 3372  df-pr 3373  df-op 3375  df-uni 3571  df-int 3606  df-iun 3649  df-br 3755  df-opab 3809  df-mpt 3810  df-tr 3845  df-eprel 4016  df-id 4020  df-po 4023  df-iso 4024  df-iord 4068  df-on 4070  df-suc 4073  df-iom 4256  df-xp 4293  df-rel 4294  df-cnv 4295  df-co 4296  df-dm 4297  df-rn 4298  df-res 4299  df-ima 4300  df-iota 4809  df-fun 4846  df-fn 4847  df-f 4848  df-f1 4849  df-fo 4850  df-f1o 4851  df-fv 4852  df-ov 5455  df-oprab 5456  df-mpt2 5457  df-1st 5706  df-2nd 5707  df-recs 5858  df-irdg 5894  df-1o 5933  df-2o 5934  df-oadd 5937  df-omul 5938  df-er 6035  df-ec 6037  df-qs 6041  df-ni 6281  df-pli 6282  df-mi 6283  df-lti 6284  df-plpq 6321  df-mpq 6322  df-enq 6324  df-nqqs 6325  df-plqqs 6326  df-mqqs 6327  df-1nqqs 6328  df-rq 6329  df-ltnqqs 6330  df-enq0 6399  df-nq0 6400  df-0nq0 6401  df-plq0 6402  df-mq0 6403  df-inp 6441  df-iplp 6443  df-imp 6444
This theorem is referenced by:  mulcmpblnr  6621
  Copyright terms: Public domain W3C validator