ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addcmpblnr Structured version   GIF version

Theorem addcmpblnr 6667
Description: Lemma showing compatibility of addition. (Contributed by NM, 3-Sep-1995.)
Assertion
Ref Expression
addcmpblnr ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → (((A +P 𝐷) = (B +P 𝐶) (𝐹 +P 𝑆) = (𝐺 +P 𝑅)) → ⟨(A +P 𝐹), (B +P 𝐺)⟩ ~R ⟨(𝐶 +P 𝑅), (𝐷 +P 𝑆)⟩))

Proof of Theorem addcmpblnr
StepHypRef Expression
1 oveq12 5464 . 2 (((A +P 𝐷) = (B +P 𝐶) (𝐹 +P 𝑆) = (𝐺 +P 𝑅)) → ((A +P 𝐷) +P (𝐹 +P 𝑆)) = ((B +P 𝐶) +P (𝐺 +P 𝑅)))
2 addclpr 6520 . . . . . . . 8 ((A P 𝐹 P) → (A +P 𝐹) P)
3 addclpr 6520 . . . . . . . 8 ((B P 𝐺 P) → (B +P 𝐺) P)
42, 3anim12i 321 . . . . . . 7 (((A P 𝐹 P) (B P 𝐺 P)) → ((A +P 𝐹) P (B +P 𝐺) P))
54an4s 522 . . . . . 6 (((A P B P) (𝐹 P 𝐺 P)) → ((A +P 𝐹) P (B +P 𝐺) P))
6 addclpr 6520 . . . . . . . 8 ((𝐶 P 𝑅 P) → (𝐶 +P 𝑅) P)
7 addclpr 6520 . . . . . . . 8 ((𝐷 P 𝑆 P) → (𝐷 +P 𝑆) P)
86, 7anim12i 321 . . . . . . 7 (((𝐶 P 𝑅 P) (𝐷 P 𝑆 P)) → ((𝐶 +P 𝑅) P (𝐷 +P 𝑆) P))
98an4s 522 . . . . . 6 (((𝐶 P 𝐷 P) (𝑅 P 𝑆 P)) → ((𝐶 +P 𝑅) P (𝐷 +P 𝑆) P))
105, 9anim12i 321 . . . . 5 ((((A P B P) (𝐹 P 𝐺 P)) ((𝐶 P 𝐷 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → (((A +P 𝐹) P (B +P 𝐺) P) ((𝐶 +P 𝑅) P (𝐷 +P 𝑆) P)))
1110an4s 522 . . . 4 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → (((A +P 𝐹) P (B +P 𝐺) P) ((𝐶 +P 𝑅) P (𝐷 +P 𝑆) P)))
12 enrbreq 6662 . . . 4 ((((A +P 𝐹) P (B +P 𝐺) P) ((𝐶 +P 𝑅) P (𝐷 +P 𝑆) P)) → (⟨(A +P 𝐹), (B +P 𝐺)⟩ ~R ⟨(𝐶 +P 𝑅), (𝐷 +P 𝑆)⟩ ↔ ((A +P 𝐹) +P (𝐷 +P 𝑆)) = ((B +P 𝐺) +P (𝐶 +P 𝑅))))
1311, 12syl 14 . . 3 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → (⟨(A +P 𝐹), (B +P 𝐺)⟩ ~R ⟨(𝐶 +P 𝑅), (𝐷 +P 𝑆)⟩ ↔ ((A +P 𝐹) +P (𝐷 +P 𝑆)) = ((B +P 𝐺) +P (𝐶 +P 𝑅))))
14 simprll 489 . . . . . . . . 9 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → 𝐹 P)
15 simplrr 488 . . . . . . . . 9 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → 𝐷 P)
16 addcomprg 6554 . . . . . . . . 9 ((𝐹 P 𝐷 P) → (𝐹 +P 𝐷) = (𝐷 +P 𝐹))
1714, 15, 16syl2anc 391 . . . . . . . 8 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → (𝐹 +P 𝐷) = (𝐷 +P 𝐹))
1817oveq1d 5470 . . . . . . 7 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → ((𝐹 +P 𝐷) +P 𝑆) = ((𝐷 +P 𝐹) +P 𝑆))
19 simprrr 492 . . . . . . . 8 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → 𝑆 P)
20 addassprg 6555 . . . . . . . 8 ((𝐹 P 𝐷 P 𝑆 P) → ((𝐹 +P 𝐷) +P 𝑆) = (𝐹 +P (𝐷 +P 𝑆)))
2114, 15, 19, 20syl3anc 1134 . . . . . . 7 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → ((𝐹 +P 𝐷) +P 𝑆) = (𝐹 +P (𝐷 +P 𝑆)))
22 addassprg 6555 . . . . . . . 8 ((𝐷 P 𝐹 P 𝑆 P) → ((𝐷 +P 𝐹) +P 𝑆) = (𝐷 +P (𝐹 +P 𝑆)))
2315, 14, 19, 22syl3anc 1134 . . . . . . 7 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → ((𝐷 +P 𝐹) +P 𝑆) = (𝐷 +P (𝐹 +P 𝑆)))
2418, 21, 233eqtr3d 2077 . . . . . 6 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → (𝐹 +P (𝐷 +P 𝑆)) = (𝐷 +P (𝐹 +P 𝑆)))
2524oveq2d 5471 . . . . 5 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → (A +P (𝐹 +P (𝐷 +P 𝑆))) = (A +P (𝐷 +P (𝐹 +P 𝑆))))
26 simplll 485 . . . . . 6 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → A P)
2715, 19, 7syl2anc 391 . . . . . 6 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → (𝐷 +P 𝑆) P)
28 addassprg 6555 . . . . . 6 ((A P 𝐹 P (𝐷 +P 𝑆) P) → ((A +P 𝐹) +P (𝐷 +P 𝑆)) = (A +P (𝐹 +P (𝐷 +P 𝑆))))
2926, 14, 27, 28syl3anc 1134 . . . . 5 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → ((A +P 𝐹) +P (𝐷 +P 𝑆)) = (A +P (𝐹 +P (𝐷 +P 𝑆))))
30 addclpr 6520 . . . . . . 7 ((𝐹 P 𝑆 P) → (𝐹 +P 𝑆) P)
3114, 19, 30syl2anc 391 . . . . . 6 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → (𝐹 +P 𝑆) P)
32 addassprg 6555 . . . . . 6 ((A P 𝐷 P (𝐹 +P 𝑆) P) → ((A +P 𝐷) +P (𝐹 +P 𝑆)) = (A +P (𝐷 +P (𝐹 +P 𝑆))))
3326, 15, 31, 32syl3anc 1134 . . . . 5 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → ((A +P 𝐷) +P (𝐹 +P 𝑆)) = (A +P (𝐷 +P (𝐹 +P 𝑆))))
3425, 29, 333eqtr4d 2079 . . . 4 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → ((A +P 𝐹) +P (𝐷 +P 𝑆)) = ((A +P 𝐷) +P (𝐹 +P 𝑆)))
35 simprlr 490 . . . . . . . . 9 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → 𝐺 P)
36 simplrl 487 . . . . . . . . 9 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → 𝐶 P)
37 addcomprg 6554 . . . . . . . . 9 ((𝐺 P 𝐶 P) → (𝐺 +P 𝐶) = (𝐶 +P 𝐺))
3835, 36, 37syl2anc 391 . . . . . . . 8 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → (𝐺 +P 𝐶) = (𝐶 +P 𝐺))
3938oveq1d 5470 . . . . . . 7 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → ((𝐺 +P 𝐶) +P 𝑅) = ((𝐶 +P 𝐺) +P 𝑅))
40 simprrl 491 . . . . . . . 8 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → 𝑅 P)
41 addassprg 6555 . . . . . . . 8 ((𝐺 P 𝐶 P 𝑅 P) → ((𝐺 +P 𝐶) +P 𝑅) = (𝐺 +P (𝐶 +P 𝑅)))
4235, 36, 40, 41syl3anc 1134 . . . . . . 7 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → ((𝐺 +P 𝐶) +P 𝑅) = (𝐺 +P (𝐶 +P 𝑅)))
43 addassprg 6555 . . . . . . . 8 ((𝐶 P 𝐺 P 𝑅 P) → ((𝐶 +P 𝐺) +P 𝑅) = (𝐶 +P (𝐺 +P 𝑅)))
4436, 35, 40, 43syl3anc 1134 . . . . . . 7 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → ((𝐶 +P 𝐺) +P 𝑅) = (𝐶 +P (𝐺 +P 𝑅)))
4539, 42, 443eqtr3d 2077 . . . . . 6 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → (𝐺 +P (𝐶 +P 𝑅)) = (𝐶 +P (𝐺 +P 𝑅)))
4645oveq2d 5471 . . . . 5 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → (B +P (𝐺 +P (𝐶 +P 𝑅))) = (B +P (𝐶 +P (𝐺 +P 𝑅))))
47 simpllr 486 . . . . . 6 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → B P)
4836, 40, 6syl2anc 391 . . . . . 6 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → (𝐶 +P 𝑅) P)
49 addassprg 6555 . . . . . 6 ((B P 𝐺 P (𝐶 +P 𝑅) P) → ((B +P 𝐺) +P (𝐶 +P 𝑅)) = (B +P (𝐺 +P (𝐶 +P 𝑅))))
5047, 35, 48, 49syl3anc 1134 . . . . 5 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → ((B +P 𝐺) +P (𝐶 +P 𝑅)) = (B +P (𝐺 +P (𝐶 +P 𝑅))))
51 addclpr 6520 . . . . . . 7 ((𝐺 P 𝑅 P) → (𝐺 +P 𝑅) P)
5235, 40, 51syl2anc 391 . . . . . 6 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → (𝐺 +P 𝑅) P)
53 addassprg 6555 . . . . . 6 ((B P 𝐶 P (𝐺 +P 𝑅) P) → ((B +P 𝐶) +P (𝐺 +P 𝑅)) = (B +P (𝐶 +P (𝐺 +P 𝑅))))
5447, 36, 52, 53syl3anc 1134 . . . . 5 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → ((B +P 𝐶) +P (𝐺 +P 𝑅)) = (B +P (𝐶 +P (𝐺 +P 𝑅))))
5546, 50, 543eqtr4d 2079 . . . 4 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → ((B +P 𝐺) +P (𝐶 +P 𝑅)) = ((B +P 𝐶) +P (𝐺 +P 𝑅)))
5634, 55eqeq12d 2051 . . 3 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → (((A +P 𝐹) +P (𝐷 +P 𝑆)) = ((B +P 𝐺) +P (𝐶 +P 𝑅)) ↔ ((A +P 𝐷) +P (𝐹 +P 𝑆)) = ((B +P 𝐶) +P (𝐺 +P 𝑅))))
5713, 56bitrd 177 . 2 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → (⟨(A +P 𝐹), (B +P 𝐺)⟩ ~R ⟨(𝐶 +P 𝑅), (𝐷 +P 𝑆)⟩ ↔ ((A +P 𝐷) +P (𝐹 +P 𝑆)) = ((B +P 𝐶) +P (𝐺 +P 𝑅))))
581, 57syl5ibr 145 1 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → (((A +P 𝐷) = (B +P 𝐶) (𝐹 +P 𝑆) = (𝐺 +P 𝑅)) → ⟨(A +P 𝐹), (B +P 𝐺)⟩ ~R ⟨(𝐶 +P 𝑅), (𝐷 +P 𝑆)⟩))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   = wceq 1242   wcel 1390  cop 3370   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  Pcnp 6275   +P cpp 6277   ~R cer 6280
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-iplp 6451  df-enr 6654
This theorem is referenced by:  addsrmo  6671
  Copyright terms: Public domain W3C validator