ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulcmpblnr Structured version   GIF version

Theorem mulcmpblnr 6629
Description: Lemma showing compatibility of multiplication. (Contributed by NM, 5-Sep-1995.)
Assertion
Ref Expression
mulcmpblnr ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → (((A +P 𝐷) = (B +P 𝐶) (𝐹 +P 𝑆) = (𝐺 +P 𝑅)) → ⟨((A ·P 𝐹) +P (B ·P 𝐺)), ((A ·P 𝐺) +P (B ·P 𝐹))⟩ ~R ⟨((𝐶 ·P 𝑅) +P (𝐷 ·P 𝑆)), ((𝐶 ·P 𝑆) +P (𝐷 ·P 𝑅))⟩))

Proof of Theorem mulcmpblnr
StepHypRef Expression
1 mulcmpblnrlemg 6628 . . 3 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → (((A +P 𝐷) = (B +P 𝐶) (𝐹 +P 𝑆) = (𝐺 +P 𝑅)) → ((𝐷 ·P 𝐹) +P (((A ·P 𝐹) +P (B ·P 𝐺)) +P ((𝐶 ·P 𝑆) +P (𝐷 ·P 𝑅)))) = ((𝐷 ·P 𝐹) +P (((A ·P 𝐺) +P (B ·P 𝐹)) +P ((𝐶 ·P 𝑅) +P (𝐷 ·P 𝑆))))))
2 simplrr 488 . . . . 5 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → 𝐷 P)
3 simprll 489 . . . . 5 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → 𝐹 P)
4 mulclpr 6551 . . . . 5 ((𝐷 P 𝐹 P) → (𝐷 ·P 𝐹) P)
52, 3, 4syl2anc 391 . . . 4 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → (𝐷 ·P 𝐹) P)
6 simplll 485 . . . . . . 7 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → A P)
7 mulclpr 6551 . . . . . . 7 ((A P 𝐹 P) → (A ·P 𝐹) P)
86, 3, 7syl2anc 391 . . . . . 6 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → (A ·P 𝐹) P)
9 simpllr 486 . . . . . . 7 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → B P)
10 simprlr 490 . . . . . . 7 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → 𝐺 P)
11 mulclpr 6551 . . . . . . 7 ((B P 𝐺 P) → (B ·P 𝐺) P)
129, 10, 11syl2anc 391 . . . . . 6 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → (B ·P 𝐺) P)
13 addclpr 6520 . . . . . 6 (((A ·P 𝐹) P (B ·P 𝐺) P) → ((A ·P 𝐹) +P (B ·P 𝐺)) P)
148, 12, 13syl2anc 391 . . . . 5 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → ((A ·P 𝐹) +P (B ·P 𝐺)) P)
15 simplrl 487 . . . . . . 7 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → 𝐶 P)
16 simprrr 492 . . . . . . 7 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → 𝑆 P)
17 mulclpr 6551 . . . . . . 7 ((𝐶 P 𝑆 P) → (𝐶 ·P 𝑆) P)
1815, 16, 17syl2anc 391 . . . . . 6 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → (𝐶 ·P 𝑆) P)
19 simprrl 491 . . . . . . 7 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → 𝑅 P)
20 mulclpr 6551 . . . . . . 7 ((𝐷 P 𝑅 P) → (𝐷 ·P 𝑅) P)
212, 19, 20syl2anc 391 . . . . . 6 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → (𝐷 ·P 𝑅) P)
22 addclpr 6520 . . . . . 6 (((𝐶 ·P 𝑆) P (𝐷 ·P 𝑅) P) → ((𝐶 ·P 𝑆) +P (𝐷 ·P 𝑅)) P)
2318, 21, 22syl2anc 391 . . . . 5 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → ((𝐶 ·P 𝑆) +P (𝐷 ·P 𝑅)) P)
24 addclpr 6520 . . . . 5 ((((A ·P 𝐹) +P (B ·P 𝐺)) P ((𝐶 ·P 𝑆) +P (𝐷 ·P 𝑅)) P) → (((A ·P 𝐹) +P (B ·P 𝐺)) +P ((𝐶 ·P 𝑆) +P (𝐷 ·P 𝑅))) P)
2514, 23, 24syl2anc 391 . . . 4 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → (((A ·P 𝐹) +P (B ·P 𝐺)) +P ((𝐶 ·P 𝑆) +P (𝐷 ·P 𝑅))) P)
26 mulclpr 6551 . . . . . . 7 ((A P 𝐺 P) → (A ·P 𝐺) P)
276, 10, 26syl2anc 391 . . . . . 6 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → (A ·P 𝐺) P)
28 mulclpr 6551 . . . . . . 7 ((B P 𝐹 P) → (B ·P 𝐹) P)
299, 3, 28syl2anc 391 . . . . . 6 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → (B ·P 𝐹) P)
30 addclpr 6520 . . . . . 6 (((A ·P 𝐺) P (B ·P 𝐹) P) → ((A ·P 𝐺) +P (B ·P 𝐹)) P)
3127, 29, 30syl2anc 391 . . . . 5 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → ((A ·P 𝐺) +P (B ·P 𝐹)) P)
32 mulclpr 6551 . . . . . . 7 ((𝐶 P 𝑅 P) → (𝐶 ·P 𝑅) P)
3315, 19, 32syl2anc 391 . . . . . 6 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → (𝐶 ·P 𝑅) P)
34 mulclpr 6551 . . . . . . 7 ((𝐷 P 𝑆 P) → (𝐷 ·P 𝑆) P)
352, 16, 34syl2anc 391 . . . . . 6 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → (𝐷 ·P 𝑆) P)
36 addclpr 6520 . . . . . 6 (((𝐶 ·P 𝑅) P (𝐷 ·P 𝑆) P) → ((𝐶 ·P 𝑅) +P (𝐷 ·P 𝑆)) P)
3733, 35, 36syl2anc 391 . . . . 5 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → ((𝐶 ·P 𝑅) +P (𝐷 ·P 𝑆)) P)
38 addclpr 6520 . . . . 5 ((((A ·P 𝐺) +P (B ·P 𝐹)) P ((𝐶 ·P 𝑅) +P (𝐷 ·P 𝑆)) P) → (((A ·P 𝐺) +P (B ·P 𝐹)) +P ((𝐶 ·P 𝑅) +P (𝐷 ·P 𝑆))) P)
3931, 37, 38syl2anc 391 . . . 4 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → (((A ·P 𝐺) +P (B ·P 𝐹)) +P ((𝐶 ·P 𝑅) +P (𝐷 ·P 𝑆))) P)
40 addcanprg 6588 . . . 4 (((𝐷 ·P 𝐹) P (((A ·P 𝐹) +P (B ·P 𝐺)) +P ((𝐶 ·P 𝑆) +P (𝐷 ·P 𝑅))) P (((A ·P 𝐺) +P (B ·P 𝐹)) +P ((𝐶 ·P 𝑅) +P (𝐷 ·P 𝑆))) P) → (((𝐷 ·P 𝐹) +P (((A ·P 𝐹) +P (B ·P 𝐺)) +P ((𝐶 ·P 𝑆) +P (𝐷 ·P 𝑅)))) = ((𝐷 ·P 𝐹) +P (((A ·P 𝐺) +P (B ·P 𝐹)) +P ((𝐶 ·P 𝑅) +P (𝐷 ·P 𝑆)))) → (((A ·P 𝐹) +P (B ·P 𝐺)) +P ((𝐶 ·P 𝑆) +P (𝐷 ·P 𝑅))) = (((A ·P 𝐺) +P (B ·P 𝐹)) +P ((𝐶 ·P 𝑅) +P (𝐷 ·P 𝑆)))))
415, 25, 39, 40syl3anc 1134 . . 3 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → (((𝐷 ·P 𝐹) +P (((A ·P 𝐹) +P (B ·P 𝐺)) +P ((𝐶 ·P 𝑆) +P (𝐷 ·P 𝑅)))) = ((𝐷 ·P 𝐹) +P (((A ·P 𝐺) +P (B ·P 𝐹)) +P ((𝐶 ·P 𝑅) +P (𝐷 ·P 𝑆)))) → (((A ·P 𝐹) +P (B ·P 𝐺)) +P ((𝐶 ·P 𝑆) +P (𝐷 ·P 𝑅))) = (((A ·P 𝐺) +P (B ·P 𝐹)) +P ((𝐶 ·P 𝑅) +P (𝐷 ·P 𝑆)))))
421, 41syld 40 . 2 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → (((A +P 𝐷) = (B +P 𝐶) (𝐹 +P 𝑆) = (𝐺 +P 𝑅)) → (((A ·P 𝐹) +P (B ·P 𝐺)) +P ((𝐶 ·P 𝑆) +P (𝐷 ·P 𝑅))) = (((A ·P 𝐺) +P (B ·P 𝐹)) +P ((𝐶 ·P 𝑅) +P (𝐷 ·P 𝑆)))))
43 enrbreq 6622 . . 3 (((((A ·P 𝐹) +P (B ·P 𝐺)) P ((A ·P 𝐺) +P (B ·P 𝐹)) P) (((𝐶 ·P 𝑅) +P (𝐷 ·P 𝑆)) P ((𝐶 ·P 𝑆) +P (𝐷 ·P 𝑅)) P)) → (⟨((A ·P 𝐹) +P (B ·P 𝐺)), ((A ·P 𝐺) +P (B ·P 𝐹))⟩ ~R ⟨((𝐶 ·P 𝑅) +P (𝐷 ·P 𝑆)), ((𝐶 ·P 𝑆) +P (𝐷 ·P 𝑅))⟩ ↔ (((A ·P 𝐹) +P (B ·P 𝐺)) +P ((𝐶 ·P 𝑆) +P (𝐷 ·P 𝑅))) = (((A ·P 𝐺) +P (B ·P 𝐹)) +P ((𝐶 ·P 𝑅) +P (𝐷 ·P 𝑆)))))
4414, 31, 37, 23, 43syl22anc 1135 . 2 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → (⟨((A ·P 𝐹) +P (B ·P 𝐺)), ((A ·P 𝐺) +P (B ·P 𝐹))⟩ ~R ⟨((𝐶 ·P 𝑅) +P (𝐷 ·P 𝑆)), ((𝐶 ·P 𝑆) +P (𝐷 ·P 𝑅))⟩ ↔ (((A ·P 𝐹) +P (B ·P 𝐺)) +P ((𝐶 ·P 𝑆) +P (𝐷 ·P 𝑅))) = (((A ·P 𝐺) +P (B ·P 𝐹)) +P ((𝐶 ·P 𝑅) +P (𝐷 ·P 𝑆)))))
4542, 44sylibrd 158 1 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) ((𝐹 P 𝐺 P) (𝑅 P 𝑆 P))) → (((A +P 𝐷) = (B +P 𝐶) (𝐹 +P 𝑆) = (𝐺 +P 𝑅)) → ⟨((A ·P 𝐹) +P (B ·P 𝐺)), ((A ·P 𝐺) +P (B ·P 𝐹))⟩ ~R ⟨((𝐶 ·P 𝑅) +P (𝐷 ·P 𝑆)), ((𝐶 ·P 𝑆) +P (𝐷 ·P 𝑅))⟩))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   = wceq 1242   wcel 1390  cop 3370   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  Pcnp 6275   +P cpp 6277   ·P cmp 6278   ~R cer 6280
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-iplp 6450  df-imp 6451  df-enr 6614
This theorem is referenced by:  mulsrmo  6632
  Copyright terms: Public domain W3C validator