ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frecuzrdglem Structured version   GIF version

Theorem frecuzrdglem 8838
Description: A helper lemma for the value of a recursive definition generator on upper integers. (Contributed by Jim Kingdon, 26-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
frec2uz.1 (φ𝐶 ℤ)
frec2uz.2 𝐺 = frec((x ℤ ↦ (x + 1)), 𝐶)
uzrdg.s (φ𝑆 𝑉)
uzrdg.a (φA 𝑆)
uzrdg.f ((φ (x (ℤ𝐶) y 𝑆)) → (x𝐹y) 𝑆)
uzrdg.2 𝑅 = frec((x (ℤ𝐶), y 𝑆 ↦ ⟨(x + 1), (x𝐹y)⟩), ⟨𝐶, A⟩)
frecuzrdglem.b (φB (ℤ𝐶))
Assertion
Ref Expression
frecuzrdglem (φ → ⟨B, (2nd ‘(𝑅‘(𝐺B)))⟩ ran 𝑅)
Distinct variable groups:   y,A   x,𝐶,y   y,𝐺   x,𝐹,y   x,𝑆,y   φ,x,y   x,B,y
Allowed substitution hints:   A(x)   𝑅(x,y)   𝐺(x)   𝑉(x,y)

Proof of Theorem frecuzrdglem
StepHypRef Expression
1 frec2uz.1 . . . 4 (φ𝐶 ℤ)
2 frec2uz.2 . . . 4 𝐺 = frec((x ℤ ↦ (x + 1)), 𝐶)
3 uzrdg.s . . . 4 (φ𝑆 𝑉)
4 uzrdg.a . . . 4 (φA 𝑆)
5 uzrdg.f . . . 4 ((φ (x (ℤ𝐶) y 𝑆)) → (x𝐹y) 𝑆)
6 uzrdg.2 . . . 4 𝑅 = frec((x (ℤ𝐶), y 𝑆 ↦ ⟨(x + 1), (x𝐹y)⟩), ⟨𝐶, A⟩)
71, 2frec2uzf1od 8833 . . . . 5 (φ𝐺:𝜔–1-1-onto→(ℤ𝐶))
8 frecuzrdglem.b . . . . 5 (φB (ℤ𝐶))
9 f1ocnvdm 5364 . . . . 5 ((𝐺:𝜔–1-1-onto→(ℤ𝐶) B (ℤ𝐶)) → (𝐺B) 𝜔)
107, 8, 9syl2anc 391 . . . 4 (φ → (𝐺B) 𝜔)
111, 2, 3, 4, 5, 6, 10frec2uzrdg 8836 . . 3 (φ → (𝑅‘(𝐺B)) = ⟨(𝐺‘(𝐺B)), (2nd ‘(𝑅‘(𝐺B)))⟩)
12 f1ocnvfv2 5361 . . . . 5 ((𝐺:𝜔–1-1-onto→(ℤ𝐶) B (ℤ𝐶)) → (𝐺‘(𝐺B)) = B)
137, 8, 12syl2anc 391 . . . 4 (φ → (𝐺‘(𝐺B)) = B)
1413opeq1d 3546 . . 3 (φ → ⟨(𝐺‘(𝐺B)), (2nd ‘(𝑅‘(𝐺B)))⟩ = ⟨B, (2nd ‘(𝑅‘(𝐺B)))⟩)
1511, 14eqtrd 2069 . 2 (φ → (𝑅‘(𝐺B)) = ⟨B, (2nd ‘(𝑅‘(𝐺B)))⟩)
161, 2, 3, 4, 5, 6frecuzrdgrom 8837 . . 3 (φ𝑅 Fn 𝜔)
17 fnfvelrn 5242 . . 3 ((𝑅 Fn 𝜔 (𝐺B) 𝜔) → (𝑅‘(𝐺B)) ran 𝑅)
1816, 10, 17syl2anc 391 . 2 (φ → (𝑅‘(𝐺B)) ran 𝑅)
1915, 18eqeltrrd 2112 1 (φ → ⟨B, (2nd ‘(𝑅‘(𝐺B)))⟩ ran 𝑅)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   = wceq 1242   wcel 1390  cop 3370  cmpt 3809  𝜔com 4256  ccnv 4287  ran crn 4289   Fn wfn 4840  1-1-ontowf1o 4844  cfv 4845  (class class class)co 5455  cmpt2 5457  2nd c2nd 5708  freccfrec 5917  1c1 6672   + caddc 6674  cz 7981  cuz 8209
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6734  ax-resscn 6735  ax-1cn 6736  ax-1re 6737  ax-icn 6738  ax-addcl 6739  ax-addrcl 6740  ax-mulcl 6741  ax-addcom 6743  ax-addass 6745  ax-distr 6747  ax-i2m1 6748  ax-0id 6751  ax-rnegex 6752  ax-cnre 6754  ax-pre-ltirr 6755  ax-pre-ltwlin 6756  ax-pre-lttrn 6757  ax-pre-ltadd 6759
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-frec 5918  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-iplp 6450  df-iltp 6452  df-enr 6614  df-nr 6615  df-ltr 6618  df-0r 6619  df-1r 6620  df-0 6678  df-1 6679  df-r 6681  df-lt 6684  df-pnf 6819  df-mnf 6820  df-xr 6821  df-ltxr 6822  df-le 6823  df-sub 6941  df-neg 6942  df-inn 7656  df-n0 7918  df-z 7982  df-uz 8210
This theorem is referenced by:  frecuzrdgfn  8839  frecuzrdgcl  8840  frecuzrdgsuc  8842
  Copyright terms: Public domain W3C validator