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Theorem frecuzrdgfn 9198
 Description: The recursive definition generator on upper integers is a function. See comment in frec2uz0d 9185 for the description of 𝐺 as the mapping from ω to (ℤ≥‘𝐶). (Contributed by Jim Kingdon, 26-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
frec2uz.1 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
frec2uz.2 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
uzrdg.s (𝜑𝑆𝑉)
uzrdg.a (𝜑𝐴𝑆)
uzrdg.f ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ𝐶) ∧ 𝑦𝑆)) → (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝑆)
uzrdg.2 𝑅 = frec((𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑆 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩)
frecuzrdgfn.3 (𝜑𝑇 = ran 𝑅)
Assertion
Ref Expression
frecuzrdgfn (𝜑𝑇 Fn (ℤ𝐶))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑥,𝐶,𝑦   𝑦,𝐺   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝑅(𝑥,𝑦)   𝑇(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥)   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem frecuzrdgfn
Dummy variables 𝑤 𝑧 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frecuzrdgfn.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 = ran 𝑅)
21eleq2d 2107 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑧𝑇𝑧 ∈ ran 𝑅))
3 frec2uz.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
4 frec2uz.2 . . . . . . . . . 10 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
5 uzrdg.s . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆𝑉)
6 uzrdg.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴𝑆)
7 uzrdg.f . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ𝐶) ∧ 𝑦𝑆)) → (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝑆)
8 uzrdg.2 . . . . . . . . . 10 𝑅 = frec((𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑆 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩)
93, 4, 5, 6, 7, 8frecuzrdgrom 9196 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 Fn ω)
10 fvelrnb 5221 . . . . . . . . 9 (𝑅 Fn ω → (𝑧 ∈ ran 𝑅 ↔ ∃𝑤 ∈ ω (𝑅𝑤) = 𝑧))
119, 10syl 14 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑧 ∈ ran 𝑅 ↔ ∃𝑤 ∈ ω (𝑅𝑤) = 𝑧))
122, 11bitrd 177 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑧𝑇 ↔ ∃𝑤 ∈ ω (𝑅𝑤) = 𝑧))
133, 4, 5, 6, 7, 8frecuzrdgrrn 9194 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑤 ∈ ω) → (𝑅𝑤) ∈ ((ℤ𝐶) × 𝑆))
14 eleq1 2100 . . . . . . . . 9 ((𝑅𝑤) = 𝑧 → ((𝑅𝑤) ∈ ((ℤ𝐶) × 𝑆) ↔ 𝑧 ∈ ((ℤ𝐶) × 𝑆)))
1513, 14syl5ibcom 144 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤 ∈ ω) → ((𝑅𝑤) = 𝑧𝑧 ∈ ((ℤ𝐶) × 𝑆)))
1615rexlimdva 2433 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑤 ∈ ω (𝑅𝑤) = 𝑧𝑧 ∈ ((ℤ𝐶) × 𝑆)))
1712, 16sylbid 139 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑧𝑇𝑧 ∈ ((ℤ𝐶) × 𝑆)))
1817ssrdv 2951 . . . . 5 (𝜑𝑇 ⊆ ((ℤ𝐶) × 𝑆))
19 xpss 4446 . . . . 5 ((ℤ𝐶) × 𝑆) ⊆ (V × V)
2018, 19syl6ss 2957 . . . 4 (𝜑𝑇 ⊆ (V × V))
21 df-rel 4352 . . . 4 (Rel 𝑇𝑇 ⊆ (V × V))
2220, 21sylibr 137 . . 3 (𝜑 → Rel 𝑇)
233, 4frec2uzf1od 9192 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ𝐶))
24 f1ocnvdm 5421 . . . . . . . . . 10 ((𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ𝐶) ∧ 𝑣 ∈ (ℤ𝐶)) → (𝐺𝑣) ∈ ω)
2523, 24sylan 267 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑣 ∈ (ℤ𝐶)) → (𝐺𝑣) ∈ ω)
263, 4, 5, 6, 7, 8frecuzrdgrrn 9194 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐺𝑣) ∈ ω) → (𝑅‘(𝐺𝑣)) ∈ ((ℤ𝐶) × 𝑆))
2725, 26syldan 266 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑣 ∈ (ℤ𝐶)) → (𝑅‘(𝐺𝑣)) ∈ ((ℤ𝐶) × 𝑆))
28 xp2nd 5793 . . . . . . . 8 ((𝑅‘(𝐺𝑣)) ∈ ((ℤ𝐶) × 𝑆) → (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝑣))) ∈ 𝑆)
2927, 28syl 14 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣 ∈ (ℤ𝐶)) → (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝑣))) ∈ 𝑆)
301eleq2d 2107 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (⟨𝑣, 𝑧⟩ ∈ 𝑇 ↔ ⟨𝑣, 𝑧⟩ ∈ ran 𝑅))
31 fvelrnb 5221 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 Fn ω → (⟨𝑣, 𝑧⟩ ∈ ran 𝑅 ↔ ∃𝑤 ∈ ω (𝑅𝑤) = ⟨𝑣, 𝑧⟩))
329, 31syl 14 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (⟨𝑣, 𝑧⟩ ∈ ran 𝑅 ↔ ∃𝑤 ∈ ω (𝑅𝑤) = ⟨𝑣, 𝑧⟩))
3330, 32bitrd 177 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (⟨𝑣, 𝑧⟩ ∈ 𝑇 ↔ ∃𝑤 ∈ ω (𝑅𝑤) = ⟨𝑣, 𝑧⟩))
343adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑤 ∈ ω) → 𝐶 ∈ ℤ)
355adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑤 ∈ ω) → 𝑆𝑉)
366adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑤 ∈ ω) → 𝐴𝑆)
377adantlr 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑤 ∈ ω) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ𝐶) ∧ 𝑦𝑆)) → (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝑆)
38 simpr 103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑤 ∈ ω) → 𝑤 ∈ ω)
3934, 4, 35, 36, 37, 8, 38frec2uzrdg 9195 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑤 ∈ ω) → (𝑅𝑤) = ⟨(𝐺𝑤), (2nd ‘(𝑅𝑤))⟩)
4039eqeq1d 2048 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑤 ∈ ω) → ((𝑅𝑤) = ⟨𝑣, 𝑧⟩ ↔ ⟨(𝐺𝑤), (2nd ‘(𝑅𝑤))⟩ = ⟨𝑣, 𝑧⟩))
41 vex 2560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑣 ∈ V
42 vex 2560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑧 ∈ V
4341, 42opth2 3977 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (⟨(𝐺𝑤), (2nd ‘(𝑅𝑤))⟩ = ⟨𝑣, 𝑧⟩ ↔ ((𝐺𝑤) = 𝑣 ∧ (2nd ‘(𝑅𝑤)) = 𝑧))
4443simplbi 259 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (⟨(𝐺𝑤), (2nd ‘(𝑅𝑤))⟩ = ⟨𝑣, 𝑧⟩ → (𝐺𝑤) = 𝑣)
4540, 44syl6bi 152 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑤 ∈ ω) → ((𝑅𝑤) = ⟨𝑣, 𝑧⟩ → (𝐺𝑤) = 𝑣))
46 f1ocnvfv 5419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ𝐶) ∧ 𝑤 ∈ ω) → ((𝐺𝑤) = 𝑣 → (𝐺𝑣) = 𝑤))
4723, 46sylan 267 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑤 ∈ ω) → ((𝐺𝑤) = 𝑣 → (𝐺𝑣) = 𝑤))
4845, 47syld 40 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑤 ∈ ω) → ((𝑅𝑤) = ⟨𝑣, 𝑧⟩ → (𝐺𝑣) = 𝑤))
49 fveq2 5178 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺𝑣) = 𝑤 → (𝑅‘(𝐺𝑣)) = (𝑅𝑤))
5049fveq2d 5182 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺𝑣) = 𝑤 → (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝑣))) = (2nd ‘(𝑅𝑤)))
5148, 50syl6 29 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑤 ∈ ω) → ((𝑅𝑤) = ⟨𝑣, 𝑧⟩ → (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝑣))) = (2nd ‘(𝑅𝑤))))
5251imp 115 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑤 ∈ ω) ∧ (𝑅𝑤) = ⟨𝑣, 𝑧⟩) → (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝑣))) = (2nd ‘(𝑅𝑤)))
5341, 42op2ndd 5776 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅𝑤) = ⟨𝑣, 𝑧⟩ → (2nd ‘(𝑅𝑤)) = 𝑧)
5453adantl 262 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑤 ∈ ω) ∧ (𝑅𝑤) = ⟨𝑣, 𝑧⟩) → (2nd ‘(𝑅𝑤)) = 𝑧)
5552, 54eqtr2d 2073 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑤 ∈ ω) ∧ (𝑅𝑤) = ⟨𝑣, 𝑧⟩) → 𝑧 = (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝑣))))
5655ex 108 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑤 ∈ ω) → ((𝑅𝑤) = ⟨𝑣, 𝑧⟩ → 𝑧 = (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝑣)))))
5756rexlimdva 2433 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (∃𝑤 ∈ ω (𝑅𝑤) = ⟨𝑣, 𝑧⟩ → 𝑧 = (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝑣)))))
5833, 57sylbid 139 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⟨𝑣, 𝑧⟩ ∈ 𝑇𝑧 = (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝑣)))))
5958alrimiv 1754 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑧(⟨𝑣, 𝑧⟩ ∈ 𝑇𝑧 = (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝑣)))))
6059adantr 261 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣 ∈ (ℤ𝐶)) → ∀𝑧(⟨𝑣, 𝑧⟩ ∈ 𝑇𝑧 = (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝑣)))))
61 eqeq2 2049 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝑣))) → (𝑧 = 𝑤𝑧 = (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝑣)))))
6261imbi2d 219 . . . . . . . . 9 (𝑤 = (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝑣))) → ((⟨𝑣, 𝑧⟩ ∈ 𝑇𝑧 = 𝑤) ↔ (⟨𝑣, 𝑧⟩ ∈ 𝑇𝑧 = (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝑣))))))
6362albidv 1705 . . . . . . . 8 (𝑤 = (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝑣))) → (∀𝑧(⟨𝑣, 𝑧⟩ ∈ 𝑇𝑧 = 𝑤) ↔ ∀𝑧(⟨𝑣, 𝑧⟩ ∈ 𝑇𝑧 = (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝑣))))))
6463spcegv 2641 . . . . . . 7 ((2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝑣))) ∈ 𝑆 → (∀𝑧(⟨𝑣, 𝑧⟩ ∈ 𝑇𝑧 = (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝑣)))) → ∃𝑤𝑧(⟨𝑣, 𝑧⟩ ∈ 𝑇𝑧 = 𝑤)))
6529, 60, 64sylc 56 . . . . . 6 ((𝜑𝑣 ∈ (ℤ𝐶)) → ∃𝑤𝑧(⟨𝑣, 𝑧⟩ ∈ 𝑇𝑧 = 𝑤))
66 nfv 1421 . . . . . . 7 𝑤𝑣, 𝑧⟩ ∈ 𝑇
6766mo2r 1952 . . . . . 6 (∃𝑤𝑧(⟨𝑣, 𝑧⟩ ∈ 𝑇𝑧 = 𝑤) → ∃*𝑧𝑣, 𝑧⟩ ∈ 𝑇)
6865, 67syl 14 . . . . 5 ((𝜑𝑣 ∈ (ℤ𝐶)) → ∃*𝑧𝑣, 𝑧⟩ ∈ 𝑇)
69 dmss 4534 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ⊆ ((ℤ𝐶) × 𝑆) → dom 𝑇 ⊆ dom ((ℤ𝐶) × 𝑆))
7018, 69syl 14 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom 𝑇 ⊆ dom ((ℤ𝐶) × 𝑆))
71 dmxpss 4753 . . . . . . . . 9 dom ((ℤ𝐶) × 𝑆) ⊆ (ℤ𝐶)
7270, 71syl6ss 2957 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom 𝑇 ⊆ (ℤ𝐶))
733adantr 261 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑣 ∈ (ℤ𝐶)) → 𝐶 ∈ ℤ)
745adantr 261 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑣 ∈ (ℤ𝐶)) → 𝑆𝑉)
756adantr 261 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑣 ∈ (ℤ𝐶)) → 𝐴𝑆)
767adantlr 446 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑣 ∈ (ℤ𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ𝐶) ∧ 𝑦𝑆)) → (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝑆)
77 simpr 103 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑣 ∈ (ℤ𝐶)) → 𝑣 ∈ (ℤ𝐶))
7873, 4, 74, 75, 76, 8, 77frecuzrdglem 9197 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑣 ∈ (ℤ𝐶)) → ⟨𝑣, (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝑣)))⟩ ∈ ran 𝑅)
791eleq2d 2107 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (⟨𝑣, (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝑣)))⟩ ∈ 𝑇 ↔ ⟨𝑣, (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝑣)))⟩ ∈ ran 𝑅))
8079adantr 261 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑣 ∈ (ℤ𝐶)) → (⟨𝑣, (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝑣)))⟩ ∈ 𝑇 ↔ ⟨𝑣, (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝑣)))⟩ ∈ ran 𝑅))
8178, 80mpbird 156 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑣 ∈ (ℤ𝐶)) → ⟨𝑣, (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝑣)))⟩ ∈ 𝑇)
82 opeldmg 4540 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑣 ∈ V ∧ (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝑣))) ∈ 𝑆) → (⟨𝑣, (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝑣)))⟩ ∈ 𝑇𝑣 ∈ dom 𝑇))
8341, 82mpan 400 . . . . . . . . . . 11 ((2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝑣))) ∈ 𝑆 → (⟨𝑣, (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝑣)))⟩ ∈ 𝑇𝑣 ∈ dom 𝑇))
8429, 81, 83sylc 56 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑣 ∈ (ℤ𝐶)) → 𝑣 ∈ dom 𝑇)
8584ex 108 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑣 ∈ (ℤ𝐶) → 𝑣 ∈ dom 𝑇))
8685ssrdv 2951 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℤ𝐶) ⊆ dom 𝑇)
8772, 86eqssd 2962 . . . . . . 7 (𝜑 → dom 𝑇 = (ℤ𝐶))
8887eleq2d 2107 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑣 ∈ dom 𝑇𝑣 ∈ (ℤ𝐶)))
8988pm5.32i 427 . . . . 5 ((𝜑𝑣 ∈ dom 𝑇) ↔ (𝜑𝑣 ∈ (ℤ𝐶)))
90 df-br 3765 . . . . . 6 (𝑣𝑇𝑧 ↔ ⟨𝑣, 𝑧⟩ ∈ 𝑇)
9190mobii 1937 . . . . 5 (∃*𝑧 𝑣𝑇𝑧 ↔ ∃*𝑧𝑣, 𝑧⟩ ∈ 𝑇)
9268, 89, 913imtr4i 190 . . . 4 ((𝜑𝑣 ∈ dom 𝑇) → ∃*𝑧 𝑣𝑇𝑧)
9392ralrimiva 2392 . . 3 (𝜑 → ∀𝑣 ∈ dom 𝑇∃*𝑧 𝑣𝑇𝑧)
94 dffun7 4928 . . 3 (Fun 𝑇 ↔ (Rel 𝑇 ∧ ∀𝑣 ∈ dom 𝑇∃*𝑧 𝑣𝑇𝑧))
9522, 93, 94sylanbrc 394 . 2 (𝜑 → Fun 𝑇)
96 df-fn 4905 . 2 (𝑇 Fn (ℤ𝐶) ↔ (Fun 𝑇 ∧ dom 𝑇 = (ℤ𝐶)))
9795, 87, 96sylanbrc 394 1 (𝜑𝑇 Fn (ℤ𝐶))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98  ∀wal 1241   = wceq 1243  ∃wex 1381   ∈ wcel 1393  ∃*wmo 1901  ∀wral 2306  ∃wrex 2307  Vcvv 2557   ⊆ wss 2917  ⟨cop 3378   class class class wbr 3764   ↦ cmpt 3818  ωcom 4313   × cxp 4343  ◡ccnv 4344  dom cdm 4345  ran crn 4346  Rel wrel 4350  Fun wfun 4896   Fn wfn 4897  –1-1-onto→wf1o 4901  ‘cfv 4902  (class class class)co 5512   ↦ cmpt2 5514  2nd c2nd 5766  freccfrec 5977  1c1 6890   + caddc 6892  ℤcz 8245  ℤ≥cuz 8473 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-addcom 6984  ax-addass 6986  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-ltadd 7000 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-frec 5978  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-inn 7915  df-n0 8182  df-z 8246  df-uz 8474 This theorem is referenced by:  frecuzrdgcl  9199  frecuzrdg0  9200  frecuzrdgsuc  9201  iseqfn  9221
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