ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frecuzrdgrom Structured version   GIF version

Theorem frecuzrdgrom 8837
Description: The function 𝑅 (used in the definition of the recursive definition generator on upper integers) is a function defined for all natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 26-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
frec2uz.1 (φ𝐶 ℤ)
frec2uz.2 𝐺 = frec((x ℤ ↦ (x + 1)), 𝐶)
uzrdg.s (φ𝑆 𝑉)
uzrdg.a (φA 𝑆)
uzrdg.f ((φ (x (ℤ𝐶) y 𝑆)) → (x𝐹y) 𝑆)
uzrdg.2 𝑅 = frec((x (ℤ𝐶), y 𝑆 ↦ ⟨(x + 1), (x𝐹y)⟩), ⟨𝐶, A⟩)
Assertion
Ref Expression
frecuzrdgrom (φ𝑅 Fn 𝜔)
Distinct variable groups:   y,A   x,𝐶,y   y,𝐺   x,𝐹,y   x,𝑆,y   φ,x,y
Allowed substitution hints:   A(x)   𝑅(x,y)   𝐺(x)   𝑉(x,y)

Proof of Theorem frecuzrdgrom
Dummy variable z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zex 7990 . . . . . . 7 V
2 uzssz 8228 . . . . . . 7 (ℤ𝐶) ⊆ ℤ
31, 2ssexi 3886 . . . . . 6 (ℤ𝐶) V
4 uzrdg.s . . . . . 6 (φ𝑆 𝑉)
5 mpt2exga 5777 . . . . . 6 (((ℤ𝐶) V 𝑆 𝑉) → (x (ℤ𝐶), y 𝑆 ↦ ⟨(x + 1), (x𝐹y)⟩) V)
63, 4, 5sylancr 393 . . . . 5 (φ → (x (ℤ𝐶), y 𝑆 ↦ ⟨(x + 1), (x𝐹y)⟩) V)
7 vex 2554 . . . . 5 z V
8 fvexg 5137 . . . . 5 (((x (ℤ𝐶), y 𝑆 ↦ ⟨(x + 1), (x𝐹y)⟩) V z V) → ((x (ℤ𝐶), y 𝑆 ↦ ⟨(x + 1), (x𝐹y)⟩)‘z) V)
96, 7, 8sylancl 392 . . . 4 (φ → ((x (ℤ𝐶), y 𝑆 ↦ ⟨(x + 1), (x𝐹y)⟩)‘z) V)
109alrimiv 1751 . . 3 (φz((x (ℤ𝐶), y 𝑆 ↦ ⟨(x + 1), (x𝐹y)⟩)‘z) V)
11 frec2uz.1 . . . . 5 (φ𝐶 ℤ)
12 uzid 8223 . . . . 5 (𝐶 ℤ → 𝐶 (ℤ𝐶))
1311, 12syl 14 . . . 4 (φ𝐶 (ℤ𝐶))
14 uzrdg.a . . . 4 (φA 𝑆)
15 opelxp 4317 . . . 4 (⟨𝐶, A ((ℤ𝐶) × 𝑆) ↔ (𝐶 (ℤ𝐶) A 𝑆))
1613, 14, 15sylanbrc 394 . . 3 (φ → ⟨𝐶, A ((ℤ𝐶) × 𝑆))
17 frecfnom 5925 . . 3 ((z((x (ℤ𝐶), y 𝑆 ↦ ⟨(x + 1), (x𝐹y)⟩)‘z) V 𝐶, A ((ℤ𝐶) × 𝑆)) → frec((x (ℤ𝐶), y 𝑆 ↦ ⟨(x + 1), (x𝐹y)⟩), ⟨𝐶, A⟩) Fn 𝜔)
1810, 16, 17syl2anc 391 . 2 (φ → frec((x (ℤ𝐶), y 𝑆 ↦ ⟨(x + 1), (x𝐹y)⟩), ⟨𝐶, A⟩) Fn 𝜔)
19 uzrdg.2 . . 3 𝑅 = frec((x (ℤ𝐶), y 𝑆 ↦ ⟨(x + 1), (x𝐹y)⟩), ⟨𝐶, A⟩)
2019fneq1i 4936 . 2 (𝑅 Fn 𝜔 ↔ frec((x (ℤ𝐶), y 𝑆 ↦ ⟨(x + 1), (x𝐹y)⟩), ⟨𝐶, A⟩) Fn 𝜔)
2118, 20sylibr 137 1 (φ𝑅 Fn 𝜔)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wal 1240   = wceq 1242   wcel 1390  Vcvv 2551  cop 3370  cmpt 3809  𝜔com 4256   × cxp 4286   Fn wfn 4840  cfv 4845  (class class class)co 5455  cmpt2 5457  freccfrec 5917  1c1 6672   + caddc 6674  cz 7981  cuz 8209
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6734  ax-resscn 6735  ax-pre-ltirr 6755
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-frec 5918  df-pnf 6819  df-mnf 6820  df-xr 6821  df-ltxr 6822  df-le 6823  df-neg 6942  df-z 7982  df-uz 8210
This theorem is referenced by:  frecuzrdglem  8838  frecuzrdgfn  8839  frecuzrdg0  8841
  Copyright terms: Public domain W3C validator