ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frecuzrdgrom Unicode version

Theorem frecuzrdgrom 8877
Description: The function  R (used in the definition of the recursive definition generator on upper integers) is a function defined for all natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 26-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
frec2uz.1  C  ZZ
frec2uz.2  G frec  ZZ  |->  +  1 ,  C
uzrdg.s  S  V
uzrdg.a  S
uzrdg.f  ZZ>= `  C  S  F  S
uzrdg.2  R frec 
ZZ>= `  C ,  S  |->  <.  +  1 ,  F >. ,  <. C ,  >.
Assertion
Ref Expression
frecuzrdgrom  R  Fn  om
Distinct variable groups:   ,   , C,   , G   , F,   , S,   ,,
Allowed substitution hints:   ()    R(,)    G()    V(,)

Proof of Theorem frecuzrdgrom
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zex 8030 . . . . . . 7  ZZ  _V
2 uzssz 8268 . . . . . . 7  ZZ>= `  C  C_  ZZ
31, 2ssexi 3886 . . . . . 6  ZZ>= `  C  _V
4 uzrdg.s . . . . . 6  S  V
5 mpt2exga 5777 . . . . . 6  ZZ>= `  C  _V  S  V  ZZ>= `  C ,  S  |->  <.  +  1 ,  F >.  _V
63, 4, 5sylancr 393 . . . . 5 
ZZ>= `  C ,  S  |->  <.  +  1 ,  F >.  _V
7 vex 2554 . . . . 5 
_V
8 fvexg 5137 . . . . 5 
ZZ>= `  C ,  S  |->  <.  +  1 ,  F >.  _V  _V  ZZ>=
`  C ,  S  |->  <.  +  1 ,  F >. `

_V
96, 7, 8sylancl 392 . . . 4  ZZ>= `  C ,  S  |-> 
<.  +  1 ,  F >. `

_V
109alrimiv 1751 . . 3  ZZ>= `  C ,  S  |->  <.  +  1 ,  F >. `  _V
11 frec2uz.1 . . . . 5  C  ZZ
12 uzid 8263 . . . . 5  C  ZZ  C  ZZ>= `  C
1311, 12syl 14 . . . 4  C  ZZ>= `  C
14 uzrdg.a . . . 4  S
15 opelxp 4317 . . . 4  <. C ,  >.  ZZ>= `  C  X.  S  C  ZZ>= `  C  S
1613, 14, 15sylanbrc 394 . . 3  <. C ,  >.  ZZ>= `  C  X.  S
17 frecfnom 5925 . . 3  ZZ>= `  C ,  S  |->  <.  + 
1 ,  F
>. `  _V  <. C ,  >.  ZZ>= `  C  X.  S frec 
ZZ>= `  C ,  S  |->  <.  +  1 ,  F >. ,  <. C ,  >.  Fn  om
1810, 16, 17syl2anc 391 . 2 frec  ZZ>= `  C ,  S  |-> 
<.  +  1 ,  F >. ,  <. C ,  >.  Fn  om
19 uzrdg.2 . . 3  R frec 
ZZ>= `  C ,  S  |->  <.  +  1 ,  F >. ,  <. C ,  >.
2019fneq1i 4936 . 2  R  Fn  om frec  ZZ>= `  C ,  S  |->  <.  +  1 ,  F >. ,  <. C ,  >.  Fn  om
2118, 20sylibr 137 1  R  Fn  om
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97  wal 1240   wceq 1242   wcel 1390   _Vcvv 2551   <.cop 3370    |-> cmpt 3809   omcom 4256    X. cxp 4286    Fn wfn 4840   ` cfv 4845  (class class class)co 5455    |-> cmpt2 5457  freccfrec 5917   1c1 6712    + caddc 6714   ZZcz 8021   ZZ>=cuz 8249
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-pre-ltirr 6795
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-frec 5918  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-neg 6982  df-z 8022  df-uz 8250
This theorem is referenced by:  frecuzrdglem  8878  frecuzrdgfn  8879  frecuzrdg0  8881
  Copyright terms: Public domain W3C validator