ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  zletric Structured version   GIF version

Theorem zletric 8015
Description: Trichotomy law. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Mar-2020.)
Assertion
Ref Expression
zletric ((A B ℤ) → (AB BA))

Proof of Theorem zletric
StepHypRef Expression
1 zre 7975 . . 3 (A ℤ → A ℝ)
2 zre 7975 . . 3 (B ℤ → B ℝ)
31, 2anim12i 321 . 2 ((A B ℤ) → (A B ℝ))
4 ztri3or 8014 . 2 ((A B ℤ) → (A < B A = B B < A))
5 ltle 6854 . . . 4 ((A B ℝ) → (A < BAB))
6 orc 632 . . . 4 (AB → (AB BA))
75, 6syl6 29 . . 3 ((A B ℝ) → (A < B → (AB BA)))
8 eqle 6858 . . . . . 6 ((A A = B) → AB)
98ex 108 . . . . 5 (A ℝ → (A = BAB))
109adantr 261 . . . 4 ((A B ℝ) → (A = BAB))
1110, 6syl6 29 . . 3 ((A B ℝ) → (A = B → (AB BA)))
12 ltle 6854 . . . . 5 ((B A ℝ) → (B < ABA))
1312ancoms 255 . . . 4 ((A B ℝ) → (B < ABA))
14 olc 631 . . . 4 (BA → (AB BA))
1513, 14syl6 29 . . 3 ((A B ℝ) → (B < A → (AB BA)))
167, 11, 153jaod 1198 . 2 ((A B ℝ) → ((A < B A = B B < A) → (AB BA)))
173, 4, 16sylc 56 1 ((A B ℤ) → (AB BA))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   wo 628   w3o 883   = wceq 1242   wcel 1390   class class class wbr 3754  cr 6662   < clt 6809  cle 6810  cz 7971
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3862  ax-sep 3865  ax-nul 3873  ax-pow 3917  ax-pr 3934  ax-un 4135  ax-setind 4219  ax-iinf 4253  ax-cnex 6726  ax-resscn 6727  ax-1cn 6728  ax-1re 6729  ax-icn 6730  ax-addcl 6731  ax-addrcl 6732  ax-mulcl 6733  ax-addcom 6735  ax-addass 6737  ax-distr 6739  ax-i2m1 6740  ax-0id 6743  ax-rnegex 6744  ax-cnre 6746  ax-pre-ltirr 6747  ax-pre-ltwlin 6748  ax-pre-lttrn 6749  ax-pre-ltadd 6751
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3352  df-sn 3372  df-pr 3373  df-op 3375  df-uni 3571  df-int 3606  df-iun 3649  df-br 3755  df-opab 3809  df-mpt 3810  df-tr 3845  df-eprel 4016  df-id 4020  df-po 4023  df-iso 4024  df-iord 4068  df-on 4070  df-suc 4073  df-iom 4256  df-xp 4293  df-rel 4294  df-cnv 4295  df-co 4296  df-dm 4297  df-rn 4298  df-res 4299  df-ima 4300  df-iota 4809  df-fun 4846  df-fn 4847  df-f 4848  df-f1 4849  df-fo 4850  df-f1o 4851  df-fv 4852  df-riota 5409  df-ov 5455  df-oprab 5456  df-mpt2 5457  df-1st 5706  df-2nd 5707  df-recs 5858  df-irdg 5894  df-1o 5933  df-2o 5934  df-oadd 5937  df-omul 5938  df-er 6035  df-ec 6037  df-qs 6041  df-ni 6281  df-pli 6282  df-mi 6283  df-lti 6284  df-plpq 6321  df-mpq 6322  df-enq 6324  df-nqqs 6325  df-plqqs 6326  df-mqqs 6327  df-1nqqs 6328  df-rq 6329  df-ltnqqs 6330  df-enq0 6399  df-nq0 6400  df-0nq0 6401  df-plq0 6402  df-mq0 6403  df-inp 6441  df-i1p 6442  df-iplp 6443  df-iltp 6445  df-enr 6606  df-nr 6607  df-ltr 6610  df-0r 6611  df-1r 6612  df-0 6670  df-1 6671  df-r 6673  df-lt 6676  df-pnf 6811  df-mnf 6812  df-xr 6813  df-ltxr 6814  df-le 6815  df-sub 6933  df-neg 6934  df-inn 7647  df-n0 7908  df-z 7972
This theorem is referenced by:  elz2  8038  uztric  8219  z2ge  8457
  Copyright terms: Public domain W3C validator