Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  uzind2 Structured version   GIF version

Theorem uzind2 8106
 Description: Induction on the upper integers that start after an integer 𝑀. The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. (Contributed by NM, 25-Jul-2005.)
Hypotheses
Ref Expression
uzind2.1 (𝑗 = (𝑀 + 1) → (φψ))
uzind2.2 (𝑗 = 𝑘 → (φχ))
uzind2.3 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (φθ))
uzind2.4 (𝑗 = 𝑁 → (φτ))
uzind2.5 (𝑀 ℤ → ψ)
uzind2.6 ((𝑀 𝑘 𝑀 < 𝑘) → (χθ))
Assertion
Ref Expression
uzind2 ((𝑀 𝑁 𝑀 < 𝑁) → τ)
Distinct variable groups:   𝑗,𝑁   ψ,𝑗   χ,𝑗   θ,𝑗   τ,𝑗   φ,𝑘   𝑗,𝑘,𝑀
Allowed substitution hints:   φ(𝑗)   ψ(𝑘)   χ(𝑘)   θ(𝑘)   τ(𝑘)   𝑁(𝑘)

Proof of Theorem uzind2
StepHypRef Expression
1 zltp1le 8054 . . 3 ((𝑀 𝑁 ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
2 peano2z 8037 . . . . . . 7 (𝑀 ℤ → (𝑀 + 1) ℤ)
3 uzind2.1 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = (𝑀 + 1) → (φψ))
43imbi2d 219 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (𝑀 + 1) → ((𝑀 ℤ → φ) ↔ (𝑀 ℤ → ψ)))
5 uzind2.2 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑘 → (φχ))
65imbi2d 219 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑀 ℤ → φ) ↔ (𝑀 ℤ → χ)))
7 uzind2.3 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (φθ))
87imbi2d 219 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑀 ℤ → φ) ↔ (𝑀 ℤ → θ)))
9 uzind2.4 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑁 → (φτ))
109imbi2d 219 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑁 → ((𝑀 ℤ → φ) ↔ (𝑀 ℤ → τ)))
11 uzind2.5 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ℤ → ψ)
1211a1i 9 . . . . . . . . 9 ((𝑀 + 1) ℤ → (𝑀 ℤ → ψ))
13 zltp1le 8054 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 𝑘 ℤ) → (𝑀 < 𝑘 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑘))
14 uzind2.6 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 𝑘 𝑀 < 𝑘) → (χθ))
15143expia 1105 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 𝑘 ℤ) → (𝑀 < 𝑘 → (χθ)))
1613, 15sylbird 159 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 𝑘 ℤ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑘 → (χθ)))
1716ex 108 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ℤ → (𝑘 ℤ → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑘 → (χθ))))
1817com3l 75 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ℤ → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑘 → (𝑀 ℤ → (χθ))))
1918imp 115 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 (𝑀 + 1) ≤ 𝑘) → (𝑀 ℤ → (χθ)))
20193adant1 921 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 + 1) 𝑘 (𝑀 + 1) ≤ 𝑘) → (𝑀 ℤ → (χθ)))
2120a2d 23 . . . . . . . . 9 (((𝑀 + 1) 𝑘 (𝑀 + 1) ≤ 𝑘) → ((𝑀 ℤ → χ) → (𝑀 ℤ → θ)))
224, 6, 8, 10, 12, 21uzind 8105 . . . . . . . 8 (((𝑀 + 1) 𝑁 (𝑀 + 1) ≤ 𝑁) → (𝑀 ℤ → τ))
23223exp 1102 . . . . . . 7 ((𝑀 + 1) ℤ → (𝑁 ℤ → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁 → (𝑀 ℤ → τ))))
242, 23syl 14 . . . . . 6 (𝑀 ℤ → (𝑁 ℤ → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁 → (𝑀 ℤ → τ))))
2524com34 77 . . . . 5 (𝑀 ℤ → (𝑁 ℤ → (𝑀 ℤ → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁τ))))
2625pm2.43a 45 . . . 4 (𝑀 ℤ → (𝑁 ℤ → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁τ)))
2726imp 115 . . 3 ((𝑀 𝑁 ℤ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁τ))
281, 27sylbid 139 . 2 ((𝑀 𝑁 ℤ) → (𝑀 < 𝑁τ))
29283impia 1100 1 ((𝑀 𝑁 𝑀 < 𝑁) → τ)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∧ w3a 884   = wceq 1242   ∈ wcel 1390   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  1c1 6692   + caddc 6694   < clt 6837   ≤ cle 6838  ℤcz 8001 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6754  ax-resscn 6755  ax-1cn 6756  ax-1re 6757  ax-icn 6758  ax-addcl 6759  ax-addrcl 6760  ax-mulcl 6761  ax-addcom 6763  ax-addass 6765  ax-distr 6767  ax-i2m1 6768  ax-0id 6771  ax-rnegex 6772  ax-cnre 6774  ax-pre-ltirr 6775  ax-pre-ltwlin 6776  ax-pre-lttrn 6777  ax-pre-ltadd 6779 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-iplp 6450  df-iltp 6452  df-enr 6634  df-nr 6635  df-ltr 6638  df-0r 6639  df-1r 6640  df-0 6698  df-1 6699  df-r 6701  df-lt 6704  df-pnf 6839  df-mnf 6840  df-xr 6841  df-ltxr 6842  df-le 6843  df-sub 6961  df-neg 6962  df-inn 7676  df-n0 7938  df-z 8002 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator