ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  uzind2 Structured version   GIF version

Theorem uzind2 8075
Description: Induction on the upper integers that start after an integer 𝑀. The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. (Contributed by NM, 25-Jul-2005.)
Hypotheses
Ref Expression
uzind2.1 (𝑗 = (𝑀 + 1) → (φψ))
uzind2.2 (𝑗 = 𝑘 → (φχ))
uzind2.3 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (φθ))
uzind2.4 (𝑗 = 𝑁 → (φτ))
uzind2.5 (𝑀 ℤ → ψ)
uzind2.6 ((𝑀 𝑘 𝑀 < 𝑘) → (χθ))
Assertion
Ref Expression
uzind2 ((𝑀 𝑁 𝑀 < 𝑁) → τ)
Distinct variable groups:   𝑗,𝑁   ψ,𝑗   χ,𝑗   θ,𝑗   τ,𝑗   φ,𝑘   𝑗,𝑘,𝑀
Allowed substitution hints:   φ(𝑗)   ψ(𝑘)   χ(𝑘)   θ(𝑘)   τ(𝑘)   𝑁(𝑘)

Proof of Theorem uzind2
StepHypRef Expression
1 zltp1le 8024 . . 3 ((𝑀 𝑁 ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
2 peano2z 8007 . . . . . . 7 (𝑀 ℤ → (𝑀 + 1) ℤ)
3 uzind2.1 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = (𝑀 + 1) → (φψ))
43imbi2d 219 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (𝑀 + 1) → ((𝑀 ℤ → φ) ↔ (𝑀 ℤ → ψ)))
5 uzind2.2 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑘 → (φχ))
65imbi2d 219 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑀 ℤ → φ) ↔ (𝑀 ℤ → χ)))
7 uzind2.3 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (φθ))
87imbi2d 219 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑀 ℤ → φ) ↔ (𝑀 ℤ → θ)))
9 uzind2.4 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑁 → (φτ))
109imbi2d 219 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑁 → ((𝑀 ℤ → φ) ↔ (𝑀 ℤ → τ)))
11 uzind2.5 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ℤ → ψ)
1211a1i 9 . . . . . . . . 9 ((𝑀 + 1) ℤ → (𝑀 ℤ → ψ))
13 zltp1le 8024 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 𝑘 ℤ) → (𝑀 < 𝑘 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑘))
14 uzind2.6 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 𝑘 𝑀 < 𝑘) → (χθ))
15143expia 1105 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 𝑘 ℤ) → (𝑀 < 𝑘 → (χθ)))
1613, 15sylbird 159 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 𝑘 ℤ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑘 → (χθ)))
1716ex 108 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ℤ → (𝑘 ℤ → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑘 → (χθ))))
1817com3l 75 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ℤ → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑘 → (𝑀 ℤ → (χθ))))
1918imp 115 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 (𝑀 + 1) ≤ 𝑘) → (𝑀 ℤ → (χθ)))
20193adant1 921 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 + 1) 𝑘 (𝑀 + 1) ≤ 𝑘) → (𝑀 ℤ → (χθ)))
2120a2d 23 . . . . . . . . 9 (((𝑀 + 1) 𝑘 (𝑀 + 1) ≤ 𝑘) → ((𝑀 ℤ → χ) → (𝑀 ℤ → θ)))
224, 6, 8, 10, 12, 21uzind 8074 . . . . . . . 8 (((𝑀 + 1) 𝑁 (𝑀 + 1) ≤ 𝑁) → (𝑀 ℤ → τ))
23223exp 1102 . . . . . . 7 ((𝑀 + 1) ℤ → (𝑁 ℤ → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁 → (𝑀 ℤ → τ))))
242, 23syl 14 . . . . . 6 (𝑀 ℤ → (𝑁 ℤ → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁 → (𝑀 ℤ → τ))))
2524com34 77 . . . . 5 (𝑀 ℤ → (𝑁 ℤ → (𝑀 ℤ → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁τ))))
2625pm2.43a 45 . . . 4 (𝑀 ℤ → (𝑁 ℤ → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁τ)))
2726imp 115 . . 3 ((𝑀 𝑁 ℤ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁τ))
281, 27sylbid 139 . 2 ((𝑀 𝑁 ℤ) → (𝑀 < 𝑁τ))
29283impia 1100 1 ((𝑀 𝑁 𝑀 < 𝑁) → τ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   w3a 884   = wceq 1242   wcel 1390   class class class wbr 3754  (class class class)co 5452  1c1 6664   + caddc 6666   < clt 6809  cle 6810  cz 7971
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3862  ax-sep 3865  ax-nul 3873  ax-pow 3917  ax-pr 3934  ax-un 4135  ax-setind 4219  ax-iinf 4253  ax-cnex 6726  ax-resscn 6727  ax-1cn 6728  ax-1re 6729  ax-icn 6730  ax-addcl 6731  ax-addrcl 6732  ax-mulcl 6733  ax-addcom 6735  ax-addass 6737  ax-distr 6739  ax-i2m1 6740  ax-0id 6743  ax-rnegex 6744  ax-cnre 6746  ax-pre-ltirr 6747  ax-pre-ltwlin 6748  ax-pre-lttrn 6749  ax-pre-ltadd 6751
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3352  df-sn 3372  df-pr 3373  df-op 3375  df-uni 3571  df-int 3606  df-iun 3649  df-br 3755  df-opab 3809  df-mpt 3810  df-tr 3845  df-eprel 4016  df-id 4020  df-po 4023  df-iso 4024  df-iord 4068  df-on 4070  df-suc 4073  df-iom 4256  df-xp 4293  df-rel 4294  df-cnv 4295  df-co 4296  df-dm 4297  df-rn 4298  df-res 4299  df-ima 4300  df-iota 4809  df-fun 4846  df-fn 4847  df-f 4848  df-f1 4849  df-fo 4850  df-f1o 4851  df-fv 4852  df-riota 5409  df-ov 5455  df-oprab 5456  df-mpt2 5457  df-1st 5706  df-2nd 5707  df-recs 5858  df-irdg 5894  df-1o 5933  df-2o 5934  df-oadd 5937  df-omul 5938  df-er 6035  df-ec 6037  df-qs 6041  df-ni 6281  df-pli 6282  df-mi 6283  df-lti 6284  df-plpq 6321  df-mpq 6322  df-enq 6324  df-nqqs 6325  df-plqqs 6326  df-mqqs 6327  df-1nqqs 6328  df-rq 6329  df-ltnqqs 6330  df-enq0 6399  df-nq0 6400  df-0nq0 6401  df-plq0 6402  df-mq0 6403  df-inp 6441  df-i1p 6442  df-iplp 6443  df-iltp 6445  df-enr 6606  df-nr 6607  df-ltr 6610  df-0r 6611  df-1r 6612  df-0 6670  df-1 6671  df-r 6673  df-lt 6676  df-pnf 6811  df-mnf 6812  df-xr 6813  df-ltxr 6814  df-le 6815  df-sub 6933  df-neg 6934  df-inn 7647  df-n0 7908  df-z 7972
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator