Theorem uzind 8349

Description: Induction on the upper integers that start at 𝑀. The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. (Contributed by NM, 5-Jul-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
uzind.1	⊢ (𝑗 = 𝑀 → (𝜑 ↔ 𝜓))
uzind.2	⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝜑 ↔ 𝜒))
uzind.3	⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜃))
uzind.4	⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝜑 ↔ 𝜏))
uzind.5	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝜓)
uzind.6	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘) → (𝜒 → 𝜃))

Assertion

Ref	Expression
uzind	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝜏)

Distinct variable groups:   𝑗,𝑁   𝜓,𝑗   𝜒,𝑗   𝜃,𝑗   𝜏,𝑗   𝜑,𝑘   𝑗,𝑘,𝑀

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝜓(𝑘)   𝜒(𝑘)   𝜃(𝑘)   𝜏(𝑘)   𝑁(𝑘)

Proof of Theorem uzind

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 8249	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
2	1	leidd 7506	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ≤ 𝑀)
3		uzind.5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝜓)
4	2, 3	jca 290	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ≤ 𝑀 ∧ 𝜓))
5	4	ancli 306	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑀 ∧ 𝜓)))
6		breq2 3768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → (𝑀 ≤ 𝑗 ↔ 𝑀 ≤ 𝑀))
7		uzind.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → (𝜑 ↔ 𝜓))
8	6, 7	anbi12d 442	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → ((𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝜑) ↔ (𝑀 ≤ 𝑀 ∧ 𝜓)))
9	8	elrab 2698	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝜑)} ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑀 ∧ 𝜓)))
10	5, 9	sylibr 137	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝜑)})
11		peano2z 8281	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
12	11	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 + 1) ∈ ℤ))
13	12	adantrd 264	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝜒)) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ))
14		zre 8249	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℝ)
15		ltp1 7810	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → 𝑘 < (𝑘 + 1))
16	15	adantl 262	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → 𝑘 < (𝑘 + 1))
17		peano2re 7149	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
18	17	ancli 306	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → (𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ))
19		lelttr 7106	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ) → ((𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 < (𝑘 + 1)) → 𝑀 < (𝑘 + 1)))
20	19	3expb 1105	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ)) → ((𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 < (𝑘 + 1)) → 𝑀 < (𝑘 + 1)))
21	18, 20	sylan2 270	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ((𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 < (𝑘 + 1)) → 𝑀 < (𝑘 + 1)))
22	16, 21	mpan2d 404	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝑀 ≤ 𝑘 → 𝑀 < (𝑘 + 1)))
23		ltle 7105	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ) → (𝑀 < (𝑘 + 1) → 𝑀 ≤ (𝑘 + 1)))
24	17, 23	sylan2 270	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝑀 < (𝑘 + 1) → 𝑀 ≤ (𝑘 + 1)))
25	22, 24	syld 40	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝑀 ≤ 𝑘 → 𝑀 ≤ (𝑘 + 1)))
26	1, 14, 25	syl2an 273	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑘 → 𝑀 ≤ (𝑘 + 1)))
27	26	adantrd 264	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝜒) → 𝑀 ≤ (𝑘 + 1)))
28	27	expimpd 345	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝜒)) → 𝑀 ≤ (𝑘 + 1)))
29		uzind.6	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘) → (𝜒 → 𝜃))
30	29	3exp 1103	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ ℤ → (𝑀 ≤ 𝑘 → (𝜒 → 𝜃))))
31	30	imp4d 334	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝜒)) → 𝜃))
32	28, 31	jcad 291	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝜒)) → (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) ∧ 𝜃)))
33	13, 32	jcad 291	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝜒)) → ((𝑘 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) ∧ 𝜃))))
34		breq2 3768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑀 ≤ 𝑗 ↔ 𝑀 ≤ 𝑘))
35		uzind.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝜑 ↔ 𝜒))
36	34, 35	anbi12d 442	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝜑) ↔ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝜒)))
37	36	elrab 2698	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝜑)} ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝜒)))
38		breq2 3768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑀 ≤ 𝑗 ↔ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1)))
39		uzind.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜃))
40	38, 39	anbi12d 442	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝜑) ↔ (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) ∧ 𝜃)))
41	40	elrab 2698	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 + 1) ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝜑)} ↔ ((𝑘 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) ∧ 𝜃)))
42	33, 37, 41	3imtr4g 194	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝜑)} → (𝑘 + 1) ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝜑)}))
43	42	ralrimiv 2391	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝜑)} (𝑘 + 1) ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝜑)})
44		peano5uzti 8346	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝜑)} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝜑)} (𝑘 + 1) ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝜑)}) → {𝑤 ∈ ℤ ∣ 𝑀 ≤ 𝑤} ⊆ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝜑)}))
45	10, 43, 44	mp2and 409	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → {𝑤 ∈ ℤ ∣ 𝑀 ≤ 𝑤} ⊆ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝜑)})
46	45	sseld 2944	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ {𝑤 ∈ ℤ ∣ 𝑀 ≤ 𝑤} → 𝑁 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝜑)}))
47		breq2 3768	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → (𝑀 ≤ 𝑤 ↔ 𝑀 ≤ 𝑁))
48	47	elrab 2698	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑤 ∈ ℤ ∣ 𝑀 ≤ 𝑤} ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
49		breq2 3768	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝑀 ≤ 𝑗 ↔ 𝑀 ≤ 𝑁))
50		uzind.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝜑 ↔ 𝜏))
51	49, 50	anbi12d 442	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝜑) ↔ (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝜏)))
52	51	elrab 2698	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝜑)} ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝜏)))
53	46, 48, 52	3imtr3g 193	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝜏))))
54	53	3impib 1102	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝜏)))
55	54	simprd 107	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝜏))
56	55	simprd 107	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝜏)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∧ w3a 885   = wceq 1243   ∈ wcel 1393  ∀wral 2306  {crab 2310   ⊆ wss 2917   class class class wbr 3764  (class class class)co 5512  ℝcr 6888  1c1 6890   + caddc 6892   < clt 7060   ≤ cle 7061  ℤcz 8245

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-addcom 6984  ax-addass 6986  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-ltadd 7000

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-inn 7915  df-n0 8182  df-z 8246

This theorem is referenced by:  uzind2  8350  uzind3  8351  nn0ind  8352  fzind  8353  resqrexlemdecn  9610  ialgcvga  9890