ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  uzind Structured version   GIF version

Theorem uzind 8105
Description: Induction on the upper integers that start at 𝑀. The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. (Contributed by NM, 5-Jul-2005.)
Hypotheses
Ref Expression
uzind.1 (𝑗 = 𝑀 → (φψ))
uzind.2 (𝑗 = 𝑘 → (φχ))
uzind.3 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (φθ))
uzind.4 (𝑗 = 𝑁 → (φτ))
uzind.5 (𝑀 ℤ → ψ)
uzind.6 ((𝑀 𝑘 𝑀𝑘) → (χθ))
Assertion
Ref Expression
uzind ((𝑀 𝑁 𝑀𝑁) → τ)
Distinct variable groups:   𝑗,𝑁   ψ,𝑗   χ,𝑗   θ,𝑗   τ,𝑗   φ,𝑘   𝑗,𝑘,𝑀
Allowed substitution hints:   φ(𝑗)   ψ(𝑘)   χ(𝑘)   θ(𝑘)   τ(𝑘)   𝑁(𝑘)

Proof of Theorem uzind
Dummy variable w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zre 8005 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ℤ → 𝑀 ℝ)
21leidd 7281 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ℤ → 𝑀𝑀)
3 uzind.5 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ℤ → ψ)
42, 3jca 290 . . . . . . . . 9 (𝑀 ℤ → (𝑀𝑀 ψ))
54ancli 306 . . . . . . . 8 (𝑀 ℤ → (𝑀 (𝑀𝑀 ψ)))
6 breq2 3759 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑀 → (𝑀𝑗𝑀𝑀))
7 uzind.1 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑀 → (φψ))
86, 7anbi12d 442 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑀 → ((𝑀𝑗 φ) ↔ (𝑀𝑀 ψ)))
98elrab 2692 . . . . . . . 8 (𝑀 {𝑗 ℤ ∣ (𝑀𝑗 φ)} ↔ (𝑀 (𝑀𝑀 ψ)))
105, 9sylibr 137 . . . . . . 7 (𝑀 ℤ → 𝑀 {𝑗 ℤ ∣ (𝑀𝑗 φ)})
11 peano2z 8037 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ℤ → (𝑘 + 1) ℤ)
1211a1i 9 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ℤ → (𝑘 ℤ → (𝑘 + 1) ℤ))
1312adantrd 264 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ℤ → ((𝑘 (𝑀𝑘 χ)) → (𝑘 + 1) ℤ))
14 zre 8005 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ℤ → 𝑘 ℝ)
15 ltp1 7571 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ℝ → 𝑘 < (𝑘 + 1))
1615adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 𝑘 ℝ) → 𝑘 < (𝑘 + 1))
17 peano2re 6926 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ℝ → (𝑘 + 1) ℝ)
1817ancli 306 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ℝ → (𝑘 (𝑘 + 1) ℝ))
19 lelttr 6883 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀 𝑘 (𝑘 + 1) ℝ) → ((𝑀𝑘 𝑘 < (𝑘 + 1)) → 𝑀 < (𝑘 + 1)))
20193expb 1104 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 (𝑘 (𝑘 + 1) ℝ)) → ((𝑀𝑘 𝑘 < (𝑘 + 1)) → 𝑀 < (𝑘 + 1)))
2118, 20sylan2 270 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 𝑘 ℝ) → ((𝑀𝑘 𝑘 < (𝑘 + 1)) → 𝑀 < (𝑘 + 1)))
2216, 21mpan2d 404 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 𝑘 ℝ) → (𝑀𝑘𝑀 < (𝑘 + 1)))
23 ltle 6882 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 (𝑘 + 1) ℝ) → (𝑀 < (𝑘 + 1) → 𝑀 ≤ (𝑘 + 1)))
2417, 23sylan2 270 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 𝑘 ℝ) → (𝑀 < (𝑘 + 1) → 𝑀 ≤ (𝑘 + 1)))
2522, 24syld 40 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 𝑘 ℝ) → (𝑀𝑘𝑀 ≤ (𝑘 + 1)))
261, 14, 25syl2an 273 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 𝑘 ℤ) → (𝑀𝑘𝑀 ≤ (𝑘 + 1)))
2726adantrd 264 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 𝑘 ℤ) → ((𝑀𝑘 χ) → 𝑀 ≤ (𝑘 + 1)))
2827expimpd 345 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ℤ → ((𝑘 (𝑀𝑘 χ)) → 𝑀 ≤ (𝑘 + 1)))
29 uzind.6 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 𝑘 𝑀𝑘) → (χθ))
30293exp 1102 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ℤ → (𝑘 ℤ → (𝑀𝑘 → (χθ))))
3130imp4d 334 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ℤ → ((𝑘 (𝑀𝑘 χ)) → θ))
3228, 31jcad 291 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ℤ → ((𝑘 (𝑀𝑘 χ)) → (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) θ)))
3313, 32jcad 291 . . . . . . . . 9 (𝑀 ℤ → ((𝑘 (𝑀𝑘 χ)) → ((𝑘 + 1) (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) θ))))
34 breq2 3759 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑘 → (𝑀𝑗𝑀𝑘))
35 uzind.2 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑘 → (φχ))
3634, 35anbi12d 442 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑀𝑗 φ) ↔ (𝑀𝑘 χ)))
3736elrab 2692 . . . . . . . . 9 (𝑘 {𝑗 ℤ ∣ (𝑀𝑗 φ)} ↔ (𝑘 (𝑀𝑘 χ)))
38 breq2 3759 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑀𝑗𝑀 ≤ (𝑘 + 1)))
39 uzind.3 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (φθ))
4038, 39anbi12d 442 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑀𝑗 φ) ↔ (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) θ)))
4140elrab 2692 . . . . . . . . 9 ((𝑘 + 1) {𝑗 ℤ ∣ (𝑀𝑗 φ)} ↔ ((𝑘 + 1) (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) θ)))
4233, 37, 413imtr4g 194 . . . . . . . 8 (𝑀 ℤ → (𝑘 {𝑗 ℤ ∣ (𝑀𝑗 φ)} → (𝑘 + 1) {𝑗 ℤ ∣ (𝑀𝑗 φ)}))
4342ralrimiv 2385 . . . . . . 7 (𝑀 ℤ → 𝑘 {𝑗 ℤ ∣ (𝑀𝑗 φ)} (𝑘 + 1) {𝑗 ℤ ∣ (𝑀𝑗 φ)})
44 peano5uzti 8102 . . . . . . 7 (𝑀 ℤ → ((𝑀 {𝑗 ℤ ∣ (𝑀𝑗 φ)} 𝑘 {𝑗 ℤ ∣ (𝑀𝑗 φ)} (𝑘 + 1) {𝑗 ℤ ∣ (𝑀𝑗 φ)}) → {w ℤ ∣ 𝑀w} ⊆ {𝑗 ℤ ∣ (𝑀𝑗 φ)}))
4510, 43, 44mp2and 409 . . . . . 6 (𝑀 ℤ → {w ℤ ∣ 𝑀w} ⊆ {𝑗 ℤ ∣ (𝑀𝑗 φ)})
4645sseld 2938 . . . . 5 (𝑀 ℤ → (𝑁 {w ℤ ∣ 𝑀w} → 𝑁 {𝑗 ℤ ∣ (𝑀𝑗 φ)}))
47 breq2 3759 . . . . . 6 (w = 𝑁 → (𝑀w𝑀𝑁))
4847elrab 2692 . . . . 5 (𝑁 {w ℤ ∣ 𝑀w} ↔ (𝑁 𝑀𝑁))
49 breq2 3759 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑁 → (𝑀𝑗𝑀𝑁))
50 uzind.4 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑁 → (φτ))
5149, 50anbi12d 442 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑁 → ((𝑀𝑗 φ) ↔ (𝑀𝑁 τ)))
5251elrab 2692 . . . . 5 (𝑁 {𝑗 ℤ ∣ (𝑀𝑗 φ)} ↔ (𝑁 (𝑀𝑁 τ)))
5346, 48, 523imtr3g 193 . . . 4 (𝑀 ℤ → ((𝑁 𝑀𝑁) → (𝑁 (𝑀𝑁 τ))))
54533impib 1101 . . 3 ((𝑀 𝑁 𝑀𝑁) → (𝑁 (𝑀𝑁 τ)))
5554simprd 107 . 2 ((𝑀 𝑁 𝑀𝑁) → (𝑀𝑁 τ))
5655simprd 107 1 ((𝑀 𝑁 𝑀𝑁) → τ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   w3a 884   = wceq 1242   wcel 1390  wral 2300  {crab 2304  wss 2911   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  cr 6690  1c1 6692   + caddc 6694   < clt 6837  cle 6838  cz 8001
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6754  ax-resscn 6755  ax-1cn 6756  ax-1re 6757  ax-icn 6758  ax-addcl 6759  ax-addrcl 6760  ax-mulcl 6761  ax-addcom 6763  ax-addass 6765  ax-distr 6767  ax-i2m1 6768  ax-0id 6771  ax-rnegex 6772  ax-cnre 6774  ax-pre-ltirr 6775  ax-pre-ltwlin 6776  ax-pre-lttrn 6777  ax-pre-ltadd 6779
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-iplp 6450  df-iltp 6452  df-enr 6634  df-nr 6635  df-ltr 6638  df-0r 6639  df-1r 6640  df-0 6698  df-1 6699  df-r 6701  df-lt 6704  df-pnf 6839  df-mnf 6840  df-xr 6841  df-ltxr 6842  df-le 6843  df-sub 6961  df-neg 6962  df-inn 7676  df-n0 7938  df-z 8002
This theorem is referenced by:  uzind2  8106  uzind3  8107  nn0ind  8108  fzind  8109
  Copyright terms: Public domain W3C validator