Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fz0fzdiffz0 Structured version   GIF version

Theorem fz0fzdiffz0 8737
 Description: The difference of an integer in a finite set of sequential nonnegative integers and and an integer of a finite set of sequential integers with the same upper bound and the nonnegative integer as lower bound is a member of the finite set of sequential nonnegative integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
fz0fzdiffz0 ((𝑀 (0...𝑁) 𝐾 (𝑀...𝑁)) → (𝐾𝑀) (0...𝑁))

Proof of Theorem fz0fzdiffz0
StepHypRef Expression
1 fz0fzelfz0 8734 . . 3 ((𝑀 (0...𝑁) 𝐾 (𝑀...𝑁)) → 𝐾 (0...𝑁))
2 elfzle1 8641 . . . . . . 7 (𝐾 (𝑀...𝑁) → 𝑀𝐾)
32adantl 262 . . . . . 6 ((𝑀 (0...𝑁) 𝐾 (𝑀...𝑁)) → 𝑀𝐾)
43adantl 262 . . . . 5 ((𝐾 (0...𝑁) (𝑀 (0...𝑁) 𝐾 (𝑀...𝑁))) → 𝑀𝐾)
5 elfznn0 8725 . . . . . . 7 (𝑀 (0...𝑁) → 𝑀 0)
65adantr 261 . . . . . 6 ((𝑀 (0...𝑁) 𝐾 (𝑀...𝑁)) → 𝑀 0)
7 elfznn0 8725 . . . . . 6 (𝐾 (0...𝑁) → 𝐾 0)
8 nn0sub 8066 . . . . . 6 ((𝑀 0 𝐾 0) → (𝑀𝐾 ↔ (𝐾𝑀) 0))
96, 7, 8syl2anr 274 . . . . 5 ((𝐾 (0...𝑁) (𝑀 (0...𝑁) 𝐾 (𝑀...𝑁))) → (𝑀𝐾 ↔ (𝐾𝑀) 0))
104, 9mpbid 135 . . . 4 ((𝐾 (0...𝑁) (𝑀 (0...𝑁) 𝐾 (𝑀...𝑁))) → (𝐾𝑀) 0)
11 elfz3nn0 8726 . . . . 5 (𝐾 (0...𝑁) → 𝑁 0)
1211adantr 261 . . . 4 ((𝐾 (0...𝑁) (𝑀 (0...𝑁) 𝐾 (𝑀...𝑁))) → 𝑁 0)
13 elfz2nn0 8723 . . . . . . 7 (𝑀 (0...𝑁) ↔ (𝑀 0 𝑁 0 𝑀𝑁))
14 elfz2 8631 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 𝑁 𝐾 ℤ) (𝑀𝐾 𝐾𝑁)))
15 zsubcl 8042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐾 𝑀 ℤ) → (𝐾𝑀) ℤ)
1615zred 8116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐾 𝑀 ℤ) → (𝐾𝑀) ℝ)
1716ancoms 255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑀 𝐾 ℤ) → (𝐾𝑀) ℝ)
18173adant2 922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑀 𝑁 𝐾 ℤ) → (𝐾𝑀) ℝ)
19 zre 8005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐾 ℤ → 𝐾 ℝ)
20193ad2ant3 926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑀 𝑁 𝐾 ℤ) → 𝐾 ℝ)
21 zre 8005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ℤ → 𝑁 ℝ)
22213ad2ant2 925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑀 𝑁 𝐾 ℤ) → 𝑁 ℝ)
2318, 20, 223jca 1083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑀 𝑁 𝐾 ℤ) → ((𝐾𝑀) 𝐾 𝑁 ℝ))
2423adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 𝑁 𝐾 ℤ) 𝑀 0) → ((𝐾𝑀) 𝐾 𝑁 ℝ))
2524adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑀 𝑁 𝐾 ℤ) 𝑀 0) 𝐾𝑁) → ((𝐾𝑀) 𝐾 𝑁 ℝ))
26 nn0ge0 7963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑀 0 → 0 ≤ 𝑀)
2726adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 𝑁 𝐾 ℤ) 𝑀 0) → 0 ≤ 𝑀)
28 nn0re 7946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑀 0𝑀 ℝ)
29 subge02 7248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐾 𝑀 ℝ) → (0 ≤ 𝑀 ↔ (𝐾𝑀) ≤ 𝐾))
3020, 28, 29syl2an 273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 𝑁 𝐾 ℤ) 𝑀 0) → (0 ≤ 𝑀 ↔ (𝐾𝑀) ≤ 𝐾))
3127, 30mpbid 135 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 𝑁 𝐾 ℤ) 𝑀 0) → (𝐾𝑀) ≤ 𝐾)
3231anim1i 323 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑀 𝑁 𝐾 ℤ) 𝑀 0) 𝐾𝑁) → ((𝐾𝑀) ≤ 𝐾 𝐾𝑁))
33 letr 6878 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾𝑀) 𝐾 𝑁 ℝ) → (((𝐾𝑀) ≤ 𝐾 𝐾𝑁) → (𝐾𝑀) ≤ 𝑁))
3425, 32, 33sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑀 𝑁 𝐾 ℤ) 𝑀 0) 𝐾𝑁) → (𝐾𝑀) ≤ 𝑁)
3534exp31 346 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 𝑁 𝐾 ℤ) → (𝑀 0 → (𝐾𝑁 → (𝐾𝑀) ≤ 𝑁)))
3635a1i 9 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 0 → ((𝑀 𝑁 𝐾 ℤ) → (𝑀 0 → (𝐾𝑁 → (𝐾𝑀) ≤ 𝑁))))
3736com14 82 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾𝑁 → ((𝑀 𝑁 𝐾 ℤ) → (𝑀 0 → (𝑁 0 → (𝐾𝑀) ≤ 𝑁))))
3837adantl 262 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀𝐾 𝐾𝑁) → ((𝑀 𝑁 𝐾 ℤ) → (𝑀 0 → (𝑁 0 → (𝐾𝑀) ≤ 𝑁))))
3938impcom 116 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 𝑁 𝐾 ℤ) (𝑀𝐾 𝐾𝑁)) → (𝑀 0 → (𝑁 0 → (𝐾𝑀) ≤ 𝑁)))
4014, 39sylbi 114 . . . . . . . . . 10 (𝐾 (𝑀...𝑁) → (𝑀 0 → (𝑁 0 → (𝐾𝑀) ≤ 𝑁)))
4140com13 74 . . . . . . . . 9 (𝑁 0 → (𝑀 0 → (𝐾 (𝑀...𝑁) → (𝐾𝑀) ≤ 𝑁)))
4241impcom 116 . . . . . . . 8 ((𝑀 0 𝑁 0) → (𝐾 (𝑀...𝑁) → (𝐾𝑀) ≤ 𝑁))
43423adant3 923 . . . . . . 7 ((𝑀 0 𝑁 0 𝑀𝑁) → (𝐾 (𝑀...𝑁) → (𝐾𝑀) ≤ 𝑁))
4413, 43sylbi 114 . . . . . 6 (𝑀 (0...𝑁) → (𝐾 (𝑀...𝑁) → (𝐾𝑀) ≤ 𝑁))
4544imp 115 . . . . 5 ((𝑀 (0...𝑁) 𝐾 (𝑀...𝑁)) → (𝐾𝑀) ≤ 𝑁)
4645adantl 262 . . . 4 ((𝐾 (0...𝑁) (𝑀 (0...𝑁) 𝐾 (𝑀...𝑁))) → (𝐾𝑀) ≤ 𝑁)
4710, 12, 463jca 1083 . . 3 ((𝐾 (0...𝑁) (𝑀 (0...𝑁) 𝐾 (𝑀...𝑁))) → ((𝐾𝑀) 0 𝑁 0 (𝐾𝑀) ≤ 𝑁))
481, 47mpancom 399 . 2 ((𝑀 (0...𝑁) 𝐾 (𝑀...𝑁)) → ((𝐾𝑀) 0 𝑁 0 (𝐾𝑀) ≤ 𝑁))
49 elfz2nn0 8723 . 2 ((𝐾𝑀) (0...𝑁) ↔ ((𝐾𝑀) 0 𝑁 0 (𝐾𝑀) ≤ 𝑁))
5048, 49sylibr 137 1 ((𝑀 (0...𝑁) 𝐾 (𝑀...𝑁)) → (𝐾𝑀) (0...𝑁))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∧ w3a 884   ∈ wcel 1390   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  ℝcr 6690  0cc0 6691   ≤ cle 6838   − cmin 6959  ℕ0cn0 7937  ℤcz 8001  ...cfz 8624 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6754  ax-resscn 6755  ax-1cn 6756  ax-1re 6757  ax-icn 6758  ax-addcl 6759  ax-addrcl 6760  ax-mulcl 6761  ax-addcom 6763  ax-addass 6765  ax-distr 6767  ax-i2m1 6768  ax-0id 6771  ax-rnegex 6772  ax-cnre 6774  ax-pre-ltirr 6775  ax-pre-ltwlin 6776  ax-pre-lttrn 6777  ax-pre-ltadd 6779 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-iplp 6450  df-iltp 6452  df-enr 6634  df-nr 6635  df-ltr 6638  df-0r 6639  df-1r 6640  df-0 6698  df-1 6699  df-r 6701  df-lt 6704  df-pnf 6839  df-mnf 6840  df-xr 6841  df-ltxr 6842  df-le 6843  df-sub 6961  df-neg 6962  df-inn 7676  df-n0 7938  df-z 8002  df-uz 8230  df-fz 8625 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator