ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  letr Structured version   GIF version

Theorem letr 6858
Description: Transitive law. (Contributed by NM, 12-Nov-1999.)
Assertion
Ref Expression
letr ((A B 𝐶 ℝ) → ((AB B𝐶) → A𝐶))

Proof of Theorem letr
StepHypRef Expression
1 axltwlin 6844 . . . . 5 ((𝐶 A B ℝ) → (𝐶 < A → (𝐶 < B B < A)))
213coml 1110 . . . 4 ((A B 𝐶 ℝ) → (𝐶 < A → (𝐶 < B B < A)))
3 orcom 646 . . . 4 ((𝐶 < B B < A) ↔ (B < A 𝐶 < B))
42, 3syl6ib 150 . . 3 ((A B 𝐶 ℝ) → (𝐶 < A → (B < A 𝐶 < B)))
54con3d 560 . 2 ((A B 𝐶 ℝ) → (¬ (B < A 𝐶 < B) → ¬ 𝐶 < A))
6 lenlt 6851 . . . . 5 ((A B ℝ) → (AB ↔ ¬ B < A))
763adant3 923 . . . 4 ((A B 𝐶 ℝ) → (AB ↔ ¬ B < A))
8 lenlt 6851 . . . . 5 ((B 𝐶 ℝ) → (B𝐶 ↔ ¬ 𝐶 < B))
983adant1 921 . . . 4 ((A B 𝐶 ℝ) → (B𝐶 ↔ ¬ 𝐶 < B))
107, 9anbi12d 442 . . 3 ((A B 𝐶 ℝ) → ((AB B𝐶) ↔ (¬ B < A ¬ 𝐶 < B)))
11 ioran 668 . . 3 (¬ (B < A 𝐶 < B) ↔ (¬ B < A ¬ 𝐶 < B))
1210, 11syl6bbr 187 . 2 ((A B 𝐶 ℝ) → ((AB B𝐶) ↔ ¬ (B < A 𝐶 < B)))
13 lenlt 6851 . . 3 ((A 𝐶 ℝ) → (A𝐶 ↔ ¬ 𝐶 < A))
14133adant2 922 . 2 ((A B 𝐶 ℝ) → (A𝐶 ↔ ¬ 𝐶 < A))
155, 12, 143imtr4d 192 1 ((A B 𝐶 ℝ) → ((AB B𝐶) → A𝐶))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   wa 97  wb 98   wo 628   w3a 884   wcel 1390   class class class wbr 3755  cr 6670   < clt 6817  cle 6818
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-cnex 6734  ax-resscn 6735  ax-pre-ltwlin 6756
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-xp 4294  df-cnv 4296  df-pnf 6819  df-mnf 6820  df-xr 6821  df-ltxr 6822  df-le 6823
This theorem is referenced by:  letri  6882  letrd  6895  le2add  7194  le2sub  7211  p1le  7556  lemul12b  7568  lemul12a  7569  zletr  8030  peano2uz2  8081  fznlem  8635  elfz1b  8682  elfz0fzfz0  8713  fz0fzelfz0  8714  fz0fzdiffz0  8717  elfzmlbmOLD  8719  elfzmlbp  8720  difelfznle  8723  ssfzo12bi  8811  leexp2r  8922  expubnd  8925  le2sq2  8942
  Copyright terms: Public domain W3C validator