ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  letr GIF version

Theorem letr 7099
Description: Transitive law. (Contributed by NM, 12-Nov-1999.)
Assertion
Ref Expression
letr ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶))

Proof of Theorem letr
StepHypRef Expression
1 axltwlin 7085 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 < 𝐴 → (𝐶 < 𝐵𝐵 < 𝐴)))
213coml 1111 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 < 𝐴 → (𝐶 < 𝐵𝐵 < 𝐴)))
3 orcom 647 . . . 4 ((𝐶 < 𝐵𝐵 < 𝐴) ↔ (𝐵 < 𝐴𝐶 < 𝐵))
42, 3syl6ib 150 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 < 𝐴 → (𝐵 < 𝐴𝐶 < 𝐵)))
54con3d 561 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (¬ (𝐵 < 𝐴𝐶 < 𝐵) → ¬ 𝐶 < 𝐴))
6 lenlt 7092 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
763adant3 924 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
8 lenlt 7092 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵𝐶 ↔ ¬ 𝐶 < 𝐵))
983adant1 922 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵𝐶 ↔ ¬ 𝐶 < 𝐵))
107, 9anbi12d 442 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴𝐵𝐵𝐶) ↔ (¬ 𝐵 < 𝐴 ∧ ¬ 𝐶 < 𝐵)))
11 ioran 669 . . 3 (¬ (𝐵 < 𝐴𝐶 < 𝐵) ↔ (¬ 𝐵 < 𝐴 ∧ ¬ 𝐶 < 𝐵))
1210, 11syl6bbr 187 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴𝐵𝐵𝐶) ↔ ¬ (𝐵 < 𝐴𝐶 < 𝐵)))
13 lenlt 7092 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴𝐶 ↔ ¬ 𝐶 < 𝐴))
14133adant2 923 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴𝐶 ↔ ¬ 𝐶 < 𝐴))
155, 12, 143imtr4d 192 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 97  wb 98  wo 629  w3a 885  wcel 1393   class class class wbr 3764  cr 6886   < clt 7058  cle 7059
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-cnex 6973  ax-resscn 6974  ax-pre-ltwlin 6995
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-rab 2315  df-v 2559  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-xp 4351  df-cnv 4353  df-pnf 7060  df-mnf 7061  df-xr 7062  df-ltxr 7063  df-le 7064
This theorem is referenced by:  letri  7123  letrd  7136  le2add  7437  le2sub  7454  p1le  7813  lemul12b  7825  lemul12a  7826  zletr  8292  peano2uz2  8343  ledivge1le  8650  fznlem  8903  elfz1b  8950  elfz0fzfz0  8981  fz0fzelfz0  8982  fz0fzdiffz0  8985  elfzmlbmOLD  8987  elfzmlbp  8988  difelfznle  8991  ssfzo12bi  9079  flqge  9122  fldiv4p1lem1div2  9145  monoord  9209  leexp2r  9282  expubnd  9285  le2sq2  9303  ialgcvga  9864
  Copyright terms: Public domain W3C validator