ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elfz2 Structured version   GIF version

Theorem elfz2 8611
Description: Membership in a finite set of sequential integers. We use the fact that an operation's value is empty outside of its domain to show 𝑀 and 𝑁 . (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfz2 (𝐾 (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 𝑁 𝐾 ℤ) (𝑀𝐾 𝐾𝑁)))

Proof of Theorem elfz2
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 anass 381 . 2 ((((𝑀 𝑁 ℤ) 𝐾 ℤ) (𝑀𝐾 𝐾𝑁)) ↔ ((𝑀 𝑁 ℤ) (𝐾 (𝑀𝐾 𝐾𝑁))))
2 df-3an 886 . . 3 ((𝑀 𝑁 𝐾 ℤ) ↔ ((𝑀 𝑁 ℤ) 𝐾 ℤ))
32anbi1i 431 . 2 (((𝑀 𝑁 𝐾 ℤ) (𝑀𝐾 𝐾𝑁)) ↔ (((𝑀 𝑁 ℤ) 𝐾 ℤ) (𝑀𝐾 𝐾𝑁)))
4 df-fz 8605 . . . 4 ... = (x ℤ, y ℤ ↦ {z ℤ ∣ (xz zy)})
54elmpt2cl 5640 . . 3 (𝐾 (𝑀...𝑁) → (𝑀 𝑁 ℤ))
6 simpl 102 . . 3 (((𝑀 𝑁 ℤ) (𝐾 (𝑀𝐾 𝐾𝑁))) → (𝑀 𝑁 ℤ))
7 elfz1 8609 . . . 4 ((𝑀 𝑁 ℤ) → (𝐾 (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 𝑀𝐾 𝐾𝑁)))
8 3anass 888 . . . . 5 ((𝐾 𝑀𝐾 𝐾𝑁) ↔ (𝐾 (𝑀𝐾 𝐾𝑁)))
9 ibar 285 . . . . 5 ((𝑀 𝑁 ℤ) → ((𝐾 (𝑀𝐾 𝐾𝑁)) ↔ ((𝑀 𝑁 ℤ) (𝐾 (𝑀𝐾 𝐾𝑁)))))
108, 9syl5bb 181 . . . 4 ((𝑀 𝑁 ℤ) → ((𝐾 𝑀𝐾 𝐾𝑁) ↔ ((𝑀 𝑁 ℤ) (𝐾 (𝑀𝐾 𝐾𝑁)))))
117, 10bitrd 177 . . 3 ((𝑀 𝑁 ℤ) → (𝐾 (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 𝑁 ℤ) (𝐾 (𝑀𝐾 𝐾𝑁)))))
125, 6, 11pm5.21nii 619 . 2 (𝐾 (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 𝑁 ℤ) (𝐾 (𝑀𝐾 𝐾𝑁))))
131, 3, 123bitr4ri 202 1 (𝐾 (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 𝑁 𝐾 ℤ) (𝑀𝐾 𝐾𝑁)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wa 97  wb 98   w3a 884   wcel 1390  {crab 2304   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  cle 6818  cz 7981  ...cfz 8604
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-setind 4220  ax-cnex 6734  ax-resscn 6735
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-neg 6942  df-z 7982  df-fz 8605
This theorem is referenced by:  elfz4  8613  elfzuzb  8614  uzsubsubfz  8641  fzmmmeqm  8651  fzpreddisj  8663  elfz1b  8682  fzp1nel  8696  elfz0ubfz0  8712  elfz0fzfz0  8713  fz0fzelfz0  8714  fz0fzdiffz0  8717  elfzmlbmOLD  8719  elfzmlbp  8720  fzind2  8825
  Copyright terms: Public domain W3C validator