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Theorem elfz2 8651
Description: Membership in a finite set of sequential integers. We use the fact that an operation's value is empty outside of its domain to show  M  ZZ and  N  ZZ. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfz2  K  M ... N  M  ZZ  N  ZZ  K  ZZ  M  <_  K  K  <_  N

Proof of Theorem elfz2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 anass 381 . 2  M  ZZ  N  ZZ  K  ZZ  M  <_  K  K  <_  N  M  ZZ  N  ZZ  K  ZZ  M  <_  K  K  <_  N
2 df-3an 886 . . 3  M  ZZ  N  ZZ  K  ZZ  M  ZZ  N  ZZ  K  ZZ
32anbi1i 431 . 2  M  ZZ  N  ZZ  K  ZZ  M  <_  K  K  <_  N  M  ZZ  N  ZZ  K  ZZ  M  <_  K  K  <_  N
4 df-fz 8645 . . . 4  ...  ZZ ,  ZZ  |->  {  ZZ  |  <_  <_  }
54elmpt2cl 5640 . . 3  K  M ... N  M  ZZ  N  ZZ
6 simpl 102 . . 3  M  ZZ  N  ZZ  K  ZZ  M  <_  K  K  <_  N  M  ZZ  N  ZZ
7 elfz1 8649 . . . 4  M  ZZ  N  ZZ  K  M ... N  K  ZZ  M  <_  K  K  <_  N
8 3anass 888 . . . . 5  K  ZZ  M  <_  K  K  <_  N  K  ZZ  M  <_  K  K  <_  N
9 ibar 285 . . . . 5  M  ZZ  N  ZZ  K  ZZ  M  <_  K  K  <_  N  M  ZZ  N  ZZ  K  ZZ  M  <_  K  K  <_  N
108, 9syl5bb 181 . . . 4  M  ZZ  N  ZZ  K  ZZ  M  <_  K  K  <_  N  M  ZZ  N  ZZ  K  ZZ  M  <_  K  K  <_  N
117, 10bitrd 177 . . 3  M  ZZ  N  ZZ  K  M ... N  M  ZZ  N  ZZ  K  ZZ  M  <_  K  K  <_  N
125, 6, 11pm5.21nii 619 . 2  K  M ... N  M  ZZ  N  ZZ  K  ZZ  M  <_  K  K  <_  N
131, 3, 123bitr4ri 202 1  K  M ... N  M  ZZ  N  ZZ  K  ZZ  M  <_  K  K  <_  N
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wa 97   wb 98   w3a 884   wcel 1390   {crab 2304   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455    <_ cle 6858   ZZcz 8021   ...cfz 8644
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-setind 4220  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-neg 6982  df-z 8022  df-fz 8645
This theorem is referenced by:  elfz4  8653  elfzuzb  8654  uzsubsubfz  8681  fzmmmeqm  8691  fzpreddisj  8703  elfz1b  8722  fzp1nel  8736  elfz0ubfz0  8752  elfz0fzfz0  8753  fz0fzelfz0  8754  fz0fzdiffz0  8757  elfzmlbmOLD  8759  elfzmlbp  8760  fzind2  8865
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