Theorem fzmmmeqm 8921

Description: Subtracting the difference of a member of a finite range of integers and the lower bound of the range from the difference of the upper bound and the lower bound of the range results in the difference of the upper bound of the range and the member. (Contributed by Alexander van der Vekens, 27-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fzmmmeqm	⊢ (𝑀 ∈ (𝐿...𝑁) → ((𝑁 − 𝐿) − (𝑀 − 𝐿)) = (𝑁 − 𝑀))

Proof of Theorem fzmmmeqm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2 8881	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (𝐿...𝑁) ↔ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
2		zcn 8250	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
3		zcn 8250	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
4		zcn 8250	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℂ)
5	2, 3, 4	3anim123i 1089	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ))
6	5	3comr 1112	. . . 4 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ))
7	6	adantr 261	. . 3 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ))
8	1, 7	sylbi 114	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ (𝐿...𝑁) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ))
9		nnncan2 7248	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 𝐿) − (𝑀 − 𝐿)) = (𝑁 − 𝑀))
10	8, 9	syl 14	1 ⊢ (𝑀 ∈ (𝐿...𝑁) → ((𝑁 − 𝐿) − (𝑀 − 𝐿)) = (𝑁 − 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ∧ w3a 885   = wceq 1243   ∈ wcel 1393   class class class wbr 3764  (class class class)co 5512  ℂcc 6887   ≤ cle 7061   − cmin 7182  ℤcz 8245  ...cfz 8874

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-setind 4262  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-addcom 6984  ax-addass 6986  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-cnre 6995

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-sub 7184  df-neg 7185  df-z 8246  df-fz 8875

This theorem is referenced by: (None)