ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eluzgtdifelfzo Structured version   GIF version

Theorem eluzgtdifelfzo 8823
Description: Membership of the difference of integers in a half-open range of nonnegative integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
eluzgtdifelfzo ((A B ℤ) → ((𝑁 (ℤA) B < A) → (𝑁A) (0..^(𝑁B))))

Proof of Theorem eluzgtdifelfzo
StepHypRef Expression
1 simpl 102 . . . . 5 ((𝑁 (ℤA) B < A) → 𝑁 (ℤA))
21adantl 262 . . . 4 (((A B ℤ) (𝑁 (ℤA) B < A)) → 𝑁 (ℤA))
3 simpl 102 . . . . . 6 ((A B ℤ) → A ℤ)
43adantr 261 . . . . 5 (((A B ℤ) (𝑁 (ℤA) B < A)) → A ℤ)
5 eluzelz 8258 . . . . . . . 8 (𝑁 (ℤA) → 𝑁 ℤ)
65ad2antrr 457 . . . . . . 7 (((𝑁 (ℤA) B < A) (A B ℤ)) → 𝑁 ℤ)
7 simprr 484 . . . . . . 7 (((𝑁 (ℤA) B < A) (A B ℤ)) → B ℤ)
86, 7zsubcld 8141 . . . . . 6 (((𝑁 (ℤA) B < A) (A B ℤ)) → (𝑁B) ℤ)
98ancoms 255 . . . . 5 (((A B ℤ) (𝑁 (ℤA) B < A)) → (𝑁B) ℤ)
104, 9zaddcld 8140 . . . 4 (((A B ℤ) (𝑁 (ℤA) B < A)) → (A + (𝑁B)) ℤ)
11 zre 8025 . . . . . . . . 9 (B ℤ → B ℝ)
12 zre 8025 . . . . . . . . 9 (A ℤ → A ℝ)
13 posdif 7245 . . . . . . . . . 10 ((B A ℝ) → (B < A ↔ 0 < (AB)))
1413biimpd 132 . . . . . . . . 9 ((B A ℝ) → (B < A → 0 < (AB)))
1511, 12, 14syl2anr 274 . . . . . . . 8 ((A B ℤ) → (B < A → 0 < (AB)))
1615adantld 263 . . . . . . 7 ((A B ℤ) → ((𝑁 (ℤA) B < A) → 0 < (AB)))
1716imp 115 . . . . . 6 (((A B ℤ) (𝑁 (ℤA) B < A)) → 0 < (AB))
18 resubcl 7071 . . . . . . . . 9 ((A B ℝ) → (AB) ℝ)
1912, 11, 18syl2an 273 . . . . . . . 8 ((A B ℤ) → (AB) ℝ)
2019adantr 261 . . . . . . 7 (((A B ℤ) (𝑁 (ℤA) B < A)) → (AB) ℝ)
21 eluzelre 8259 . . . . . . . 8 (𝑁 (ℤA) → 𝑁 ℝ)
2221ad2antrl 459 . . . . . . 7 (((A B ℤ) (𝑁 (ℤA) B < A)) → 𝑁 ℝ)
2320, 22ltaddposd 7315 . . . . . 6 (((A B ℤ) (𝑁 (ℤA) B < A)) → (0 < (AB) ↔ 𝑁 < (𝑁 + (AB))))
2417, 23mpbid 135 . . . . 5 (((A B ℤ) (𝑁 (ℤA) B < A)) → 𝑁 < (𝑁 + (AB)))
25 zcn 8026 . . . . . . 7 (A ℤ → A ℂ)
2625ad2antrr 457 . . . . . 6 (((A B ℤ) (𝑁 (ℤA) B < A)) → A ℂ)
27 eluzelcn 8260 . . . . . . 7 (𝑁 (ℤA) → 𝑁 ℂ)
2827ad2antrl 459 . . . . . 6 (((A B ℤ) (𝑁 (ℤA) B < A)) → 𝑁 ℂ)
29 zcn 8026 . . . . . . . 8 (B ℤ → B ℂ)
3029adantl 262 . . . . . . 7 ((A B ℤ) → B ℂ)
3130adantr 261 . . . . . 6 (((A B ℤ) (𝑁 (ℤA) B < A)) → B ℂ)
32 addsub12 7021 . . . . . . 7 ((A 𝑁 B ℂ) → (A + (𝑁B)) = (𝑁 + (AB)))
3332breq2d 3767 . . . . . 6 ((A 𝑁 B ℂ) → (𝑁 < (A + (𝑁B)) ↔ 𝑁 < (𝑁 + (AB))))
3426, 28, 31, 33syl3anc 1134 . . . . 5 (((A B ℤ) (𝑁 (ℤA) B < A)) → (𝑁 < (A + (𝑁B)) ↔ 𝑁 < (𝑁 + (AB))))
3524, 34mpbird 156 . . . 4 (((A B ℤ) (𝑁 (ℤA) B < A)) → 𝑁 < (A + (𝑁B)))
36 elfzo2 8777 . . . 4 (𝑁 (A..^(A + (𝑁B))) ↔ (𝑁 (ℤA) (A + (𝑁B)) 𝑁 < (A + (𝑁B))))
372, 10, 35, 36syl3anbrc 1087 . . 3 (((A B ℤ) (𝑁 (ℤA) B < A)) → 𝑁 (A..^(A + (𝑁B))))
38 fzosubel3 8822 . . 3 ((𝑁 (A..^(A + (𝑁B))) (𝑁B) ℤ) → (𝑁A) (0..^(𝑁B)))
3937, 9, 38syl2anc 391 . 2 (((A B ℤ) (𝑁 (ℤA) B < A)) → (𝑁A) (0..^(𝑁B)))
4039ex 108 1 ((A B ℤ) → ((𝑁 (ℤA) B < A) → (𝑁A) (0..^(𝑁B))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   w3a 884   wcel 1390   class class class wbr 3755  cfv 4845  (class class class)co 5455  cc 6709  cr 6710  0cc0 6711   + caddc 6714   < clt 6857  cmin 6979  cz 8021  cuz 8249  ..^cfzo 8769
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-addcom 6783  ax-addass 6785  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-ltadd 6799
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-inn 7696  df-n0 7958  df-z 8022  df-uz 8250  df-fz 8645  df-fzo 8770
This theorem is referenced by:  ige2m2fzo  8824
  Copyright terms: Public domain W3C validator