ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  axrnegex Structured version   GIF version

Theorem axrnegex 6723
Description: Existence of negative of real number. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-rnegex 6752. (Contributed by NM, 15-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axrnegex (A ℝ → x ℝ (A + x) = 0)
Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem axrnegex
StepHypRef Expression
1 elreal2 6688 . . . . 5 (A ℝ ↔ ((1stA) R A = ⟨(1stA), 0R⟩))
21simplbi 259 . . . 4 (A ℝ → (1stA) R)
3 m1r 6640 . . . 4 -1R R
4 mulclsr 6642 . . . 4 (((1stA) R -1R R) → ((1stA) ·R -1R) R)
52, 3, 4sylancl 392 . . 3 (A ℝ → ((1stA) ·R -1R) R)
6 opelreal 6686 . . 3 (⟨((1stA) ·R -1R), 0R ℝ ↔ ((1stA) ·R -1R) R)
75, 6sylibr 137 . 2 (A ℝ → ⟨((1stA) ·R -1R), 0R ℝ)
81simprbi 260 . . . 4 (A ℝ → A = ⟨(1stA), 0R⟩)
98oveq1d 5470 . . 3 (A ℝ → (A + ⟨((1stA) ·R -1R), 0R⟩) = (⟨(1stA), 0R⟩ + ⟨((1stA) ·R -1R), 0R⟩))
10 addresr 6694 . . . 4 (((1stA) R ((1stA) ·R -1R) R) → (⟨(1stA), 0R⟩ + ⟨((1stA) ·R -1R), 0R⟩) = ⟨((1stA) +R ((1stA) ·R -1R)), 0R⟩)
112, 5, 10syl2anc 391 . . 3 (A ℝ → (⟨(1stA), 0R⟩ + ⟨((1stA) ·R -1R), 0R⟩) = ⟨((1stA) +R ((1stA) ·R -1R)), 0R⟩)
12 pn0sr 6659 . . . . . 6 ((1stA) R → ((1stA) +R ((1stA) ·R -1R)) = 0R)
1312opeq1d 3546 . . . . 5 ((1stA) R → ⟨((1stA) +R ((1stA) ·R -1R)), 0R⟩ = ⟨0R, 0R⟩)
14 df-0 6678 . . . . 5 0 = ⟨0R, 0R
1513, 14syl6eqr 2087 . . . 4 ((1stA) R → ⟨((1stA) +R ((1stA) ·R -1R)), 0R⟩ = 0)
162, 15syl 14 . . 3 (A ℝ → ⟨((1stA) +R ((1stA) ·R -1R)), 0R⟩ = 0)
179, 11, 163eqtrd 2073 . 2 (A ℝ → (A + ⟨((1stA) ·R -1R), 0R⟩) = 0)
18 oveq2 5463 . . . 4 (x = ⟨((1stA) ·R -1R), 0R⟩ → (A + x) = (A + ⟨((1stA) ·R -1R), 0R⟩))
1918eqeq1d 2045 . . 3 (x = ⟨((1stA) ·R -1R), 0R⟩ → ((A + x) = 0 ↔ (A + ⟨((1stA) ·R -1R), 0R⟩) = 0))
2019rspcev 2650 . 2 ((⟨((1stA) ·R -1R), 0R (A + ⟨((1stA) ·R -1R), 0R⟩) = 0) → x ℝ (A + x) = 0)
217, 17, 20syl2anc 391 1 (A ℝ → x ℝ (A + x) = 0)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1242   wcel 1390  wrex 2301  cop 3370  cfv 4845  (class class class)co 5455  1st c1st 5707  Rcnr 6281  0Rc0r 6282  -1Rcm1r 6284   +R cplr 6285   ·R cmr 6286  cr 6670  0cc0 6671   + caddc 6674
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-iplp 6450  df-imp 6451  df-enr 6614  df-nr 6615  df-plr 6616  df-mr 6617  df-0r 6619  df-1r 6620  df-m1r 6621  df-c 6677  df-0 6678  df-r 6681  df-add 6682
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator