Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  axrnegex GIF version

Theorem axrnegex 6953
 Description: Existence of negative of real number. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-rnegex 6993. (Contributed by NM, 15-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axrnegex (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem axrnegex
StepHypRef Expression
1 elreal2 6907 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ ↔ ((1st𝐴) ∈ R𝐴 = ⟨(1st𝐴), 0R⟩))
21simplbi 259 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (1st𝐴) ∈ R)
3 m1r 6837 . . . 4 -1RR
4 mulclsr 6839 . . . 4 (((1st𝐴) ∈ R ∧ -1RR) → ((1st𝐴) ·R -1R) ∈ R)
52, 3, 4sylancl 392 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ((1st𝐴) ·R -1R) ∈ R)
6 opelreal 6904 . . 3 (⟨((1st𝐴) ·R -1R), 0R⟩ ∈ ℝ ↔ ((1st𝐴) ·R -1R) ∈ R)
75, 6sylibr 137 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ⟨((1st𝐴) ·R -1R), 0R⟩ ∈ ℝ)
81simprbi 260 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 = ⟨(1st𝐴), 0R⟩)
98oveq1d 5527 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + ⟨((1st𝐴) ·R -1R), 0R⟩) = (⟨(1st𝐴), 0R⟩ + ⟨((1st𝐴) ·R -1R), 0R⟩))
10 addresr 6913 . . . 4 (((1st𝐴) ∈ R ∧ ((1st𝐴) ·R -1R) ∈ R) → (⟨(1st𝐴), 0R⟩ + ⟨((1st𝐴) ·R -1R), 0R⟩) = ⟨((1st𝐴) +R ((1st𝐴) ·R -1R)), 0R⟩)
112, 5, 10syl2anc 391 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (⟨(1st𝐴), 0R⟩ + ⟨((1st𝐴) ·R -1R), 0R⟩) = ⟨((1st𝐴) +R ((1st𝐴) ·R -1R)), 0R⟩)
12 pn0sr 6856 . . . . . 6 ((1st𝐴) ∈ R → ((1st𝐴) +R ((1st𝐴) ·R -1R)) = 0R)
1312opeq1d 3555 . . . . 5 ((1st𝐴) ∈ R → ⟨((1st𝐴) +R ((1st𝐴) ·R -1R)), 0R⟩ = ⟨0R, 0R⟩)
14 df-0 6896 . . . . 5 0 = ⟨0R, 0R
1513, 14syl6eqr 2090 . . . 4 ((1st𝐴) ∈ R → ⟨((1st𝐴) +R ((1st𝐴) ·R -1R)), 0R⟩ = 0)
162, 15syl 14 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ⟨((1st𝐴) +R ((1st𝐴) ·R -1R)), 0R⟩ = 0)
179, 11, 163eqtrd 2076 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + ⟨((1st𝐴) ·R -1R), 0R⟩) = 0)
18 oveq2 5520 . . . 4 (𝑥 = ⟨((1st𝐴) ·R -1R), 0R⟩ → (𝐴 + 𝑥) = (𝐴 + ⟨((1st𝐴) ·R -1R), 0R⟩))
1918eqeq1d 2048 . . 3 (𝑥 = ⟨((1st𝐴) ·R -1R), 0R⟩ → ((𝐴 + 𝑥) = 0 ↔ (𝐴 + ⟨((1st𝐴) ·R -1R), 0R⟩) = 0))
2019rspcev 2656 . 2 ((⟨((1st𝐴) ·R -1R), 0R⟩ ∈ ℝ ∧ (𝐴 + ⟨((1st𝐴) ·R -1R), 0R⟩) = 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0)
217, 17, 20syl2anc 391 1 (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1243   ∈ wcel 1393  ∃wrex 2307  ⟨cop 3378  ‘cfv 4902  (class class class)co 5512  1st c1st 5765  Rcnr 6395  0Rc0r 6396  -1Rcm1r 6398   +R cplr 6399   ·R cmr 6400  ℝcr 6888  0cc0 6889   + caddc 6892 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-imp 6567  df-enr 6811  df-nr 6812  df-plr 6813  df-mr 6814  df-0r 6816  df-1r 6817  df-m1r 6818  df-c 6895  df-0 6896  df-r 6899  df-add 6900 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator