Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elreal2 GIF version

Theorem elreal2 6728
 Description: Ordered pair membership in the class of complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
elreal2 (A ℝ ↔ ((1stA) R A = ⟨(1stA), 0R⟩))

Proof of Theorem elreal2
StepHypRef Expression
1 df-r 6721 . . 3 ℝ = (R × {0R})
21eleq2i 2101 . 2 (A ℝ ↔ A (R × {0R}))
3 xp1st 5734 . . . 4 (A (R × {0R}) → (1stA) R)
4 1st2nd2 5743 . . . . 5 (A (R × {0R}) → A = ⟨(1stA), (2ndA)⟩)
5 xp2nd 5735 . . . . . . 7 (A (R × {0R}) → (2ndA) {0R})
6 elsni 3391 . . . . . . 7 ((2ndA) {0R} → (2ndA) = 0R)
75, 6syl 14 . . . . . 6 (A (R × {0R}) → (2ndA) = 0R)
87opeq2d 3547 . . . . 5 (A (R × {0R}) → ⟨(1stA), (2ndA)⟩ = ⟨(1stA), 0R⟩)
94, 8eqtrd 2069 . . . 4 (A (R × {0R}) → A = ⟨(1stA), 0R⟩)
103, 9jca 290 . . 3 (A (R × {0R}) → ((1stA) R A = ⟨(1stA), 0R⟩))
11 eleq1 2097 . . . . 5 (A = ⟨(1stA), 0R⟩ → (A (R × {0R}) ↔ ⟨(1stA), 0R (R × {0R})))
12 0r 6678 . . . . . . . 8 0R R
1312elexi 2561 . . . . . . 7 0R V
1413snid 3394 . . . . . 6 0R {0R}
15 opelxp 4317 . . . . . 6 (⟨(1stA), 0R (R × {0R}) ↔ ((1stA) R 0R {0R}))
1614, 15mpbiran2 847 . . . . 5 (⟨(1stA), 0R (R × {0R}) ↔ (1stA) R)
1711, 16syl6bb 185 . . . 4 (A = ⟨(1stA), 0R⟩ → (A (R × {0R}) ↔ (1stA) R))
1817biimparc 283 . . 3 (((1stA) R A = ⟨(1stA), 0R⟩) → A (R × {0R}))
1910, 18impbii 117 . 2 (A (R × {0R}) ↔ ((1stA) R A = ⟨(1stA), 0R⟩))
202, 19bitri 173 1 (A ℝ ↔ ((1stA) R A = ⟨(1stA), 0R⟩))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   ∧ wa 97   ↔ wb 98   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  {csn 3367  ⟨cop 3370   × cxp 4286  ‘cfv 4845  1st c1st 5707  2nd c2nd 5708  Rcnr 6281  0Rc0r 6282  ℝcr 6710 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-enr 6654  df-nr 6655  df-0r 6659  df-r 6721 This theorem is referenced by:  ltresr2  6737  axrnegex  6763
 Copyright terms: Public domain W3C validator