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Theorem axmulcl 6752
Description: Closure law for multiplication of complex numbers. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly, nor should the proven axiom ax-mulcl 6781 be used later. Instead, in most cases use mulcl 6806. (Contributed by NM, 10-Aug-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axmulcl ((A B ℂ) → (A · B) ℂ)

Proof of Theorem axmulcl
Dummy variables w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elxpi 4304 . . . . 5 (A (R × R) → xy(A = ⟨x, y (x R y R)))
2 df-c 6717 . . . . 5 ℂ = (R × R)
31, 2eleq2s 2129 . . . 4 (A ℂ → xy(A = ⟨x, y (x R y R)))
4 elxpi 4304 . . . . 5 (B (R × R) → zw(B = ⟨z, w (z R w R)))
54, 2eleq2s 2129 . . . 4 (B ℂ → zw(B = ⟨z, w (z R w R)))
63, 5anim12i 321 . . 3 ((A B ℂ) → (xy(A = ⟨x, y (x R y R)) zw(B = ⟨z, w (z R w R))))
7 ee4anv 1806 . . 3 (xyzw((A = ⟨x, y (x R y R)) (B = ⟨z, w (z R w R))) ↔ (xy(A = ⟨x, y (x R y R)) zw(B = ⟨z, w (z R w R))))
86, 7sylibr 137 . 2 ((A B ℂ) → xyzw((A = ⟨x, y (x R y R)) (B = ⟨z, w (z R w R))))
9 simpll 481 . . . . . . 7 (((A = ⟨x, y (x R y R)) (B = ⟨z, w (z R w R))) → A = ⟨x, y⟩)
10 simprl 483 . . . . . . 7 (((A = ⟨x, y (x R y R)) (B = ⟨z, w (z R w R))) → B = ⟨z, w⟩)
119, 10oveq12d 5473 . . . . . 6 (((A = ⟨x, y (x R y R)) (B = ⟨z, w (z R w R))) → (A · B) = (⟨x, y⟩ · ⟨z, w⟩))
12 mulcnsr 6732 . . . . . . 7 (((x R y R) (z R w R)) → (⟨x, y⟩ · ⟨z, w⟩) = ⟨((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))), ((y ·R z) +R (x ·R w))⟩)
1312ad2ant2l 477 . . . . . 6 (((A = ⟨x, y (x R y R)) (B = ⟨z, w (z R w R))) → (⟨x, y⟩ · ⟨z, w⟩) = ⟨((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))), ((y ·R z) +R (x ·R w))⟩)
1411, 13eqtrd 2069 . . . . 5 (((A = ⟨x, y (x R y R)) (B = ⟨z, w (z R w R))) → (A · B) = ⟨((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))), ((y ·R z) +R (x ·R w))⟩)
15 simplrl 487 . . . . . . . . 9 (((A = ⟨x, y (x R y R)) (B = ⟨z, w (z R w R))) → x R)
16 simprrl 491 . . . . . . . . 9 (((A = ⟨x, y (x R y R)) (B = ⟨z, w (z R w R))) → z R)
17 mulclsr 6682 . . . . . . . . 9 ((x R z R) → (x ·R z) R)
1815, 16, 17syl2anc 391 . . . . . . . 8 (((A = ⟨x, y (x R y R)) (B = ⟨z, w (z R w R))) → (x ·R z) R)
19 m1r 6680 . . . . . . . . . 10 -1R R
2019a1i 9 . . . . . . . . 9 (((A = ⟨x, y (x R y R)) (B = ⟨z, w (z R w R))) → -1R R)
21 simplrr 488 . . . . . . . . . 10 (((A = ⟨x, y (x R y R)) (B = ⟨z, w (z R w R))) → y R)
22 simprrr 492 . . . . . . . . . 10 (((A = ⟨x, y (x R y R)) (B = ⟨z, w (z R w R))) → w R)
23 mulclsr 6682 . . . . . . . . . 10 ((y R w R) → (y ·R w) R)
2421, 22, 23syl2anc 391 . . . . . . . . 9 (((A = ⟨x, y (x R y R)) (B = ⟨z, w (z R w R))) → (y ·R w) R)
25 mulclsr 6682 . . . . . . . . 9 ((-1R R (y ·R w) R) → (-1R ·R (y ·R w)) R)
2620, 24, 25syl2anc 391 . . . . . . . 8 (((A = ⟨x, y (x R y R)) (B = ⟨z, w (z R w R))) → (-1R ·R (y ·R w)) R)
27 addclsr 6681 . . . . . . . 8 (((x ·R z) R (-1R ·R (y ·R w)) R) → ((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))) R)
2818, 26, 27syl2anc 391 . . . . . . 7 (((A = ⟨x, y (x R y R)) (B = ⟨z, w (z R w R))) → ((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))) R)
29 mulclsr 6682 . . . . . . . . 9 ((y R z R) → (y ·R z) R)
3021, 16, 29syl2anc 391 . . . . . . . 8 (((A = ⟨x, y (x R y R)) (B = ⟨z, w (z R w R))) → (y ·R z) R)
31 mulclsr 6682 . . . . . . . . 9 ((x R w R) → (x ·R w) R)
3215, 22, 31syl2anc 391 . . . . . . . 8 (((A = ⟨x, y (x R y R)) (B = ⟨z, w (z R w R))) → (x ·R w) R)
33 addclsr 6681 . . . . . . . 8 (((y ·R z) R (x ·R w) R) → ((y ·R z) +R (x ·R w)) R)
3430, 32, 33syl2anc 391 . . . . . . 7 (((A = ⟨x, y (x R y R)) (B = ⟨z, w (z R w R))) → ((y ·R z) +R (x ·R w)) R)
35 opelxpi 4319 . . . . . . 7 ((((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))) R ((y ·R z) +R (x ·R w)) R) → ⟨((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))), ((y ·R z) +R (x ·R w))⟩ (R × R))
3628, 34, 35syl2anc 391 . . . . . 6 (((A = ⟨x, y (x R y R)) (B = ⟨z, w (z R w R))) → ⟨((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))), ((y ·R z) +R (x ·R w))⟩ (R × R))
3736, 2syl6eleqr 2128 . . . . 5 (((A = ⟨x, y (x R y R)) (B = ⟨z, w (z R w R))) → ⟨((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))), ((y ·R z) +R (x ·R w))⟩ ℂ)
3814, 37eqeltrd 2111 . . . 4 (((A = ⟨x, y (x R y R)) (B = ⟨z, w (z R w R))) → (A · B) ℂ)
3938exlimivv 1773 . . 3 (zw((A = ⟨x, y (x R y R)) (B = ⟨z, w (z R w R))) → (A · B) ℂ)
4039exlimivv 1773 . 2 (xyzw((A = ⟨x, y (x R y R)) (B = ⟨z, w (z R w R))) → (A · B) ℂ)
418, 40syl 14 1 ((A B ℂ) → (A · B) ℂ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   = wceq 1242  wex 1378   wcel 1390  cop 3370   × cxp 4286  (class class class)co 5455  Rcnr 6281  -1Rcm1r 6284   +R cplr 6285   ·R cmr 6286  cc 6709   · cmul 6716
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-imp 6452  df-enr 6654  df-nr 6655  df-plr 6656  df-mr 6657  df-m1r 6661  df-c 6717  df-mul 6723
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