ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prnmaddl Structured version   GIF version

Theorem prnmaddl 6344
Description: A lower cut has no largest member. Addition version. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
prnmaddl ((⟨𝐿, 𝑈 P B 𝐿) → x Q (B +Q x) 𝐿)
Distinct variable groups:   x,B   x,𝐿   x,𝑈

Proof of Theorem prnmaddl
Dummy variable y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prnmaxl 6342 . 2 ((⟨𝐿, 𝑈 P B 𝐿) → y 𝐿 B <Q y)
2 ltrelnq 6224 . . . . . 6 <Q ⊆ (Q × Q)
32brel 4319 . . . . 5 (B <Q y → (B Q y Q))
4 ltexnqq 6266 . . . . . 6 ((B Q y Q) → (B <Q yx Q (B +Q x) = y))
54biimpcd 148 . . . . 5 (B <Q y → ((B Q y Q) → x Q (B +Q x) = y))
63, 5mpd 13 . . . 4 (B <Q yx Q (B +Q x) = y)
7 eleq1a 2091 . . . . 5 (y 𝐿 → ((B +Q x) = y → (B +Q x) 𝐿))
87reximdv 2398 . . . 4 (y 𝐿 → (x Q (B +Q x) = yx Q (B +Q x) 𝐿))
96, 8syl5 28 . . 3 (y 𝐿 → (B <Q yx Q (B +Q x) 𝐿))
109rexlimiv 2405 . 2 (y 𝐿 B <Q yx Q (B +Q x) 𝐿)
111, 10syl 14 1 ((⟨𝐿, 𝑈 P B 𝐿) → x Q (B +Q x) 𝐿)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   = wceq 1228   wcel 1374  wrex 2285  cop 3353   class class class wbr 3738  (class class class)co 5436  Qcnq 6138   +Q cplq 6140   <Q cltq 6143  Pcnp 6149
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1363  ax-ie2 1364  ax-8 1376  ax-10 1377  ax-11 1378  ax-i12 1379  ax-bnd 1380  ax-4 1381  ax-13 1385  ax-14 1386  ax-17 1400  ax-i9 1404  ax-ial 1409  ax-i5r 1410  ax-ext 2004  ax-coll 3846  ax-sep 3849  ax-nul 3857  ax-pow 3901  ax-pr 3918  ax-un 4120  ax-setind 4204  ax-iinf 4238
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 734  df-3or 874  df-3an 875  df-tru 1231  df-fal 1234  df-nf 1330  df-sb 1628  df-eu 1885  df-mo 1886  df-clab 2009  df-cleq 2015  df-clel 2018  df-nfc 2149  df-ne 2188  df-ral 2289  df-rex 2290  df-reu 2291  df-rab 2293  df-v 2537  df-sbc 2742  df-csb 2830  df-dif 2897  df-un 2899  df-in 2901  df-ss 2908  df-nul 3202  df-pw 3336  df-sn 3356  df-pr 3357  df-op 3359  df-uni 3555  df-int 3590  df-iun 3633  df-br 3739  df-opab 3793  df-mpt 3794  df-tr 3829  df-eprel 4000  df-id 4004  df-iord 4052  df-on 4054  df-suc 4057  df-iom 4241  df-xp 4278  df-rel 4279  df-cnv 4280  df-co 4281  df-dm 4282  df-rn 4283  df-res 4284  df-ima 4285  df-iota 4794  df-fun 4831  df-fn 4832  df-f 4833  df-f1 4834  df-fo 4835  df-f1o 4836  df-fv 4837  df-ov 5439  df-oprab 5440  df-mpt2 5441  df-1st 5690  df-2nd 5691  df-recs 5842  df-irdg 5878  df-1o 5916  df-oadd 5920  df-omul 5921  df-er 6017  df-ec 6019  df-qs 6023  df-ni 6164  df-pli 6165  df-mi 6166  df-lti 6167  df-plpq 6203  df-mpq 6204  df-enq 6206  df-nqqs 6207  df-plqqs 6208  df-mqqs 6209  df-1nqqs 6210  df-ltnqqs 6212  df-inp 6320
This theorem is referenced by:  ltexprlemrl  6447  addcanprleml  6451
  Copyright terms: Public domain W3C validator