Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltmul1 Structured version   GIF version

Theorem ltmul1 7356
 Description: Multiplication of both sides of 'less than' by a positive number. Theorem I.19 of [Apostol] p. 20. Part of Definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 13-Feb-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
ltmul1 ((A B (𝐶 0 < 𝐶)) → (A < B ↔ (A · 𝐶) < (B · 𝐶)))

Proof of Theorem ltmul1
Dummy variable x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltmul1a 7355 . . 3 (((A B (𝐶 0 < 𝐶)) A < B) → (A · 𝐶) < (B · 𝐶))
21ex 108 . 2 ((A B (𝐶 0 < 𝐶)) → (A < B → (A · 𝐶) < (B · 𝐶)))
3 recexgt0 7344 . . . 4 ((𝐶 0 < 𝐶) → x ℝ (0 < x (𝐶 · x) = 1))
433ad2ant3 926 . . 3 ((A B (𝐶 0 < 𝐶)) → x ℝ (0 < x (𝐶 · x) = 1))
5 simpl1 906 . . . . . . . . . 10 (((A B (𝐶 0 < 𝐶)) (x (0 < x (𝐶 · x) = 1))) → A ℝ)
6 simpl3l 958 . . . . . . . . . 10 (((A B (𝐶 0 < 𝐶)) (x (0 < x (𝐶 · x) = 1))) → 𝐶 ℝ)
75, 6remulcld 6833 . . . . . . . . 9 (((A B (𝐶 0 < 𝐶)) (x (0 < x (𝐶 · x) = 1))) → (A · 𝐶) ℝ)
8 simpl2 907 . . . . . . . . . 10 (((A B (𝐶 0 < 𝐶)) (x (0 < x (𝐶 · x) = 1))) → B ℝ)
98, 6remulcld 6833 . . . . . . . . 9 (((A B (𝐶 0 < 𝐶)) (x (0 < x (𝐶 · x) = 1))) → (B · 𝐶) ℝ)
10 simprl 483 . . . . . . . . . 10 (((A B (𝐶 0 < 𝐶)) (x (0 < x (𝐶 · x) = 1))) → x ℝ)
11 simprrl 491 . . . . . . . . . 10 (((A B (𝐶 0 < 𝐶)) (x (0 < x (𝐶 · x) = 1))) → 0 < x)
1210, 11jca 290 . . . . . . . . 9 (((A B (𝐶 0 < 𝐶)) (x (0 < x (𝐶 · x) = 1))) → (x 0 < x))
137, 9, 123jca 1083 . . . . . . . 8 (((A B (𝐶 0 < 𝐶)) (x (0 < x (𝐶 · x) = 1))) → ((A · 𝐶) (B · 𝐶) (x 0 < x)))
14 ltmul1a 7355 . . . . . . . 8 ((((A · 𝐶) (B · 𝐶) (x 0 < x)) (A · 𝐶) < (B · 𝐶)) → ((A · 𝐶) · x) < ((B · 𝐶) · x))
1513, 14sylan 267 . . . . . . 7 ((((A B (𝐶 0 < 𝐶)) (x (0 < x (𝐶 · x) = 1))) (A · 𝐶) < (B · 𝐶)) → ((A · 𝐶) · x) < ((B · 𝐶) · x))
165recnd 6831 . . . . . . . . 9 (((A B (𝐶 0 < 𝐶)) (x (0 < x (𝐶 · x) = 1))) → A ℂ)
1716adantr 261 . . . . . . . 8 ((((A B (𝐶 0 < 𝐶)) (x (0 < x (𝐶 · x) = 1))) (A · 𝐶) < (B · 𝐶)) → A ℂ)
186recnd 6831 . . . . . . . . 9 (((A B (𝐶 0 < 𝐶)) (x (0 < x (𝐶 · x) = 1))) → 𝐶 ℂ)
1918adantr 261 . . . . . . . 8 ((((A B (𝐶 0 < 𝐶)) (x (0 < x (𝐶 · x) = 1))) (A · 𝐶) < (B · 𝐶)) → 𝐶 ℂ)
2010recnd 6831 . . . . . . . . 9 (((A B (𝐶 0 < 𝐶)) (x (0 < x (𝐶 · x) = 1))) → x ℂ)
2120adantr 261 . . . . . . . 8 ((((A B (𝐶 0 < 𝐶)) (x (0 < x (𝐶 · x) = 1))) (A · 𝐶) < (B · 𝐶)) → x ℂ)
2217, 19, 21mulassd 6828 . . . . . . 7 ((((A B (𝐶 0 < 𝐶)) (x (0 < x (𝐶 · x) = 1))) (A · 𝐶) < (B · 𝐶)) → ((A · 𝐶) · x) = (A · (𝐶 · x)))
238recnd 6831 . . . . . . . . 9 (((A B (𝐶 0 < 𝐶)) (x (0 < x (𝐶 · x) = 1))) → B ℂ)
2423adantr 261 . . . . . . . 8 ((((A B (𝐶 0 < 𝐶)) (x (0 < x (𝐶 · x) = 1))) (A · 𝐶) < (B · 𝐶)) → B ℂ)
2524, 19, 21mulassd 6828 . . . . . . 7 ((((A B (𝐶 0 < 𝐶)) (x (0 < x (𝐶 · x) = 1))) (A · 𝐶) < (B · 𝐶)) → ((B · 𝐶) · x) = (B · (𝐶 · x)))
2615, 22, 253brtr3d 3784 . . . . . 6 ((((A B (𝐶 0 < 𝐶)) (x (0 < x (𝐶 · x) = 1))) (A · 𝐶) < (B · 𝐶)) → (A · (𝐶 · x)) < (B · (𝐶 · x)))
27 simprrr 492 . . . . . . . 8 (((A B (𝐶 0 < 𝐶)) (x (0 < x (𝐶 · x) = 1))) → (𝐶 · x) = 1)
2827adantr 261 . . . . . . 7 ((((A B (𝐶 0 < 𝐶)) (x (0 < x (𝐶 · x) = 1))) (A · 𝐶) < (B · 𝐶)) → (𝐶 · x) = 1)
2928oveq2d 5471 . . . . . 6 ((((A B (𝐶 0 < 𝐶)) (x (0 < x (𝐶 · x) = 1))) (A · 𝐶) < (B · 𝐶)) → (A · (𝐶 · x)) = (A · 1))
3028oveq2d 5471 . . . . . 6 ((((A B (𝐶 0 < 𝐶)) (x (0 < x (𝐶 · x) = 1))) (A · 𝐶) < (B · 𝐶)) → (B · (𝐶 · x)) = (B · 1))
3126, 29, 303brtr3d 3784 . . . . 5 ((((A B (𝐶 0 < 𝐶)) (x (0 < x (𝐶 · x) = 1))) (A · 𝐶) < (B · 𝐶)) → (A · 1) < (B · 1))
3217mulid1d 6822 . . . . 5 ((((A B (𝐶 0 < 𝐶)) (x (0 < x (𝐶 · x) = 1))) (A · 𝐶) < (B · 𝐶)) → (A · 1) = A)
3324mulid1d 6822 . . . . 5 ((((A B (𝐶 0 < 𝐶)) (x (0 < x (𝐶 · x) = 1))) (A · 𝐶) < (B · 𝐶)) → (B · 1) = B)
3431, 32, 333brtr3d 3784 . . . 4 ((((A B (𝐶 0 < 𝐶)) (x (0 < x (𝐶 · x) = 1))) (A · 𝐶) < (B · 𝐶)) → A < B)
3534ex 108 . . 3 (((A B (𝐶 0 < 𝐶)) (x (0 < x (𝐶 · x) = 1))) → ((A · 𝐶) < (B · 𝐶) → A < B))
364, 35rexlimddv 2431 . 2 ((A B (𝐶 0 < 𝐶)) → ((A · 𝐶) < (B · 𝐶) → A < B))
372, 36impbid 120 1 ((A B (𝐶 0 < 𝐶)) → (A < B ↔ (A · 𝐶) < (B · 𝐶)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∧ w3a 884   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  ∃wrex 2301   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  ℂcc 6689  ℝcr 6690  0cc0 6691  1c1 6692   · cmul 6696   < clt 6837 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-cnex 6754  ax-resscn 6755  ax-1cn 6756  ax-1re 6757  ax-icn 6758  ax-addcl 6759  ax-addrcl 6760  ax-mulcl 6761  ax-mulrcl 6762  ax-addcom 6763  ax-mulcom 6764  ax-addass 6765  ax-mulass 6766  ax-distr 6767  ax-i2m1 6768  ax-1rid 6770  ax-0id 6771  ax-rnegex 6772  ax-precex 6773  ax-cnre 6774  ax-pre-ltadd 6779  ax-pre-mulgt0 6780 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-pnf 6839  df-mnf 6840  df-ltxr 6842  df-sub 6961  df-neg 6962 This theorem is referenced by:  lemul1  7357  reapmul1lem  7358  ltmul2  7583  ltdiv1  7595  ltdiv23  7619  recp1lt1  7626  ltmul1i  7647  ltmul1d  8414
 Copyright terms: Public domain W3C validator