Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltmul1 Unicode version

Theorem ltmul1 7583
 Description: Multiplication of both sides of 'less than' by a positive number. Theorem I.19 of [Apostol] p. 20. Part of Definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 13-Feb-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
ltmul1

Proof of Theorem ltmul1
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltmul1a 7582 . . 3
21ex 108 . 2
3 recexgt0 7571 . . . 4
5 simpl1 907 . . . . . . . . . 10
6 simpl3l 959 . . . . . . . . . 10
75, 6remulcld 7056 . . . . . . . . 9
8 simpl2 908 . . . . . . . . . 10
98, 6remulcld 7056 . . . . . . . . 9
10 simprl 483 . . . . . . . . . 10
11 simprrl 491 . . . . . . . . . 10
1210, 11jca 290 . . . . . . . . 9
137, 9, 123jca 1084 . . . . . . . 8
14 ltmul1a 7582 . . . . . . . 8
1513, 14sylan 267 . . . . . . 7
165recnd 7054 . . . . . . . . 9
1716adantr 261 . . . . . . . 8
186recnd 7054 . . . . . . . . 9
1918adantr 261 . . . . . . . 8
2010recnd 7054 . . . . . . . . 9
2120adantr 261 . . . . . . . 8
2217, 19, 21mulassd 7050 . . . . . . 7
238recnd 7054 . . . . . . . . 9
2423adantr 261 . . . . . . . 8
2524, 19, 21mulassd 7050 . . . . . . 7
2615, 22, 253brtr3d 3793 . . . . . 6
27 simprrr 492 . . . . . . . 8
2827adantr 261 . . . . . . 7
2928oveq2d 5528 . . . . . 6
3028oveq2d 5528 . . . . . 6
3126, 29, 303brtr3d 3793 . . . . 5
3217mulid1d 7044 . . . . 5
3324mulid1d 7044 . . . . 5
3431, 32, 333brtr3d 3793 . . . 4
3534ex 108 . . 3
364, 35rexlimddv 2437 . 2
372, 36impbid 120 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98   w3a 885   wceq 1243   wcel 1393  wrex 2307   class class class wbr 3764  (class class class)co 5512  cc 6887  cr 6888  cc0 6889  c1 6890   cmul 6894   clt 7060 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-mulrcl 6983  ax-addcom 6984  ax-mulcom 6985  ax-addass 6986  ax-mulass 6987  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-1rid 6991  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-precex 6994  ax-cnre 6995  ax-pre-ltadd 7000  ax-pre-mulgt0 7001 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-ltxr 7065  df-sub 7184  df-neg 7185 This theorem is referenced by:  lemul1  7584  reapmul1lem  7585  ltmul2  7822  ltdiv1  7834  ltdiv23  7858  recp1lt1  7865  ltmul1i  7886  ltmul1d  8664
 Copyright terms: Public domain W3C validator