ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltmul1a Structured version   GIF version

Theorem ltmul1a 7335
Description: Multiplication of both sides of 'less than' by a positive number. Theorem I.19 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 15-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
ltmul1a (((A B (𝐶 0 < 𝐶)) A < B) → (A · 𝐶) < (B · 𝐶))

Proof of Theorem ltmul1a
StepHypRef Expression
1 simpl2 907 . . . . 5 (((A B (𝐶 0 < 𝐶)) A < B) → B ℝ)
2 simpl1 906 . . . . 5 (((A B (𝐶 0 < 𝐶)) A < B) → A ℝ)
31, 2resubcld 7135 . . . 4 (((A B (𝐶 0 < 𝐶)) A < B) → (BA) ℝ)
4 simpl3l 958 . . . 4 (((A B (𝐶 0 < 𝐶)) A < B) → 𝐶 ℝ)
5 simpr 103 . . . . 5 (((A B (𝐶 0 < 𝐶)) A < B) → A < B)
62, 1posdifd 7278 . . . . 5 (((A B (𝐶 0 < 𝐶)) A < B) → (A < B ↔ 0 < (BA)))
75, 6mpbid 135 . . . 4 (((A B (𝐶 0 < 𝐶)) A < B) → 0 < (BA))
8 simpl3r 959 . . . 4 (((A B (𝐶 0 < 𝐶)) A < B) → 0 < 𝐶)
93, 4, 7, 8mulgt0d 6894 . . 3 (((A B (𝐶 0 < 𝐶)) A < B) → 0 < ((BA) · 𝐶))
101recnd 6811 . . . 4 (((A B (𝐶 0 < 𝐶)) A < B) → B ℂ)
112recnd 6811 . . . 4 (((A B (𝐶 0 < 𝐶)) A < B) → A ℂ)
124recnd 6811 . . . 4 (((A B (𝐶 0 < 𝐶)) A < B) → 𝐶 ℂ)
1310, 11, 12subdird 7168 . . 3 (((A B (𝐶 0 < 𝐶)) A < B) → ((BA) · 𝐶) = ((B · 𝐶) − (A · 𝐶)))
149, 13breqtrd 3779 . 2 (((A B (𝐶 0 < 𝐶)) A < B) → 0 < ((B · 𝐶) − (A · 𝐶)))
152, 4remulcld 6813 . . 3 (((A B (𝐶 0 < 𝐶)) A < B) → (A · 𝐶) ℝ)
161, 4remulcld 6813 . . 3 (((A B (𝐶 0 < 𝐶)) A < B) → (B · 𝐶) ℝ)
1715, 16posdifd 7278 . 2 (((A B (𝐶 0 < 𝐶)) A < B) → ((A · 𝐶) < (B · 𝐶) ↔ 0 < ((B · 𝐶) − (A · 𝐶))))
1814, 17mpbird 156 1 (((A B (𝐶 0 < 𝐶)) A < B) → (A · 𝐶) < (B · 𝐶))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   w3a 884   wcel 1390   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  cr 6670  0cc0 6671   · cmul 6676   < clt 6817  cmin 6939
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-cnex 6734  ax-resscn 6735  ax-1cn 6736  ax-1re 6737  ax-icn 6738  ax-addcl 6739  ax-addrcl 6740  ax-mulcl 6741  ax-mulrcl 6742  ax-addcom 6743  ax-mulcom 6744  ax-addass 6745  ax-distr 6747  ax-i2m1 6748  ax-0id 6751  ax-rnegex 6752  ax-cnre 6754  ax-pre-ltadd 6759  ax-pre-mulgt0 6760
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-pnf 6819  df-mnf 6820  df-ltxr 6822  df-sub 6941  df-neg 6942
This theorem is referenced by:  ltmul1  7336
  Copyright terms: Public domain W3C validator