Theorem recexgt0 7324

Description: Existence of reciprocal of positive real number. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
recexgt0	⊢ ((A ∈ ℝ ∧ 0 < A) → ∃x ∈ ℝ (0 < x ∧ (A · x) = 1))

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem recexgt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-precex 6753	. 2 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ A) → ∃x ∈ ℝ (0 <ℝ x ∧ (A · x) = 1))
2		0re 6785	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		ltxrlt 6842	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ A ∈ ℝ) → (0 < A ↔ 0 <ℝ A))
4	2, 3	mpan 400	. . 3 ⊢ (A ∈ ℝ → (0 < A ↔ 0 <ℝ A))
5	4	pm5.32i 427	. 2 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ 0 < A) ↔ (A ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ A))
6		ltxrlt 6842	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ x ∈ ℝ) → (0 < x ↔ 0 <ℝ x))
7	2, 6	mpan 400	. . . 4 ⊢ (x ∈ ℝ → (0 < x ↔ 0 <ℝ x))
8	7	anbi1d 438	. . 3 ⊢ (x ∈ ℝ → ((0 < x ∧ (A · x) = 1) ↔ (0 <ℝ x ∧ (A · x) = 1)))
9	8	rexbiia 2333	. 2 ⊢ (∃x ∈ ℝ (0 < x ∧ (A · x) = 1) ↔ ∃x ∈ ℝ (0 <ℝ x ∧ (A · x) = 1))
10	1, 5, 9	3imtr4i 190	1 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ 0 < A) → ∃x ∈ ℝ (0 < x ∧ (A · x) = 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  ∃wrex 2301   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  ℝcr 6670  0cc0 6671  1c1 6672   <_ℝ cltrr 6675   · cmul 6676   < clt 6817

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-cnex 6734  ax-resscn 6735  ax-1re 6737  ax-addrcl 6740  ax-rnegex 6752  ax-precex 6753

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-xp 4294  df-pnf 6819  df-mnf 6820  df-ltxr 6822

This theorem is referenced by:  ltmul1  7336