ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lemul1 Structured version   GIF version

Theorem lemul1 7337
Description: Multiplication of both sides of 'less than or equal to' by a positive number. (Contributed by NM, 21-Feb-2005.)
Assertion
Ref Expression
lemul1 ((A B (𝐶 0 < 𝐶)) → (AB ↔ (A · 𝐶) ≤ (B · 𝐶)))

Proof of Theorem lemul1
StepHypRef Expression
1 ltmul1 7336 . . . 4 ((B A (𝐶 0 < 𝐶)) → (B < A ↔ (B · 𝐶) < (A · 𝐶)))
21notbid 591 . . 3 ((B A (𝐶 0 < 𝐶)) → (¬ B < A ↔ ¬ (B · 𝐶) < (A · 𝐶)))
323com12 1107 . 2 ((A B (𝐶 0 < 𝐶)) → (¬ B < A ↔ ¬ (B · 𝐶) < (A · 𝐶)))
4 lenlt 6851 . . 3 ((A B ℝ) → (AB ↔ ¬ B < A))
543adant3 923 . 2 ((A B (𝐶 0 < 𝐶)) → (AB ↔ ¬ B < A))
6 simp1 903 . . . 4 ((A B (𝐶 0 < 𝐶)) → A ℝ)
7 simp3l 931 . . . 4 ((A B (𝐶 0 < 𝐶)) → 𝐶 ℝ)
86, 7remulcld 6813 . . 3 ((A B (𝐶 0 < 𝐶)) → (A · 𝐶) ℝ)
9 simp2 904 . . . 4 ((A B (𝐶 0 < 𝐶)) → B ℝ)
109, 7remulcld 6813 . . 3 ((A B (𝐶 0 < 𝐶)) → (B · 𝐶) ℝ)
118, 10lenltd 6891 . 2 ((A B (𝐶 0 < 𝐶)) → ((A · 𝐶) ≤ (B · 𝐶) ↔ ¬ (B · 𝐶) < (A · 𝐶)))
123, 5, 113bitr4d 209 1 ((A B (𝐶 0 < 𝐶)) → (AB ↔ (A · 𝐶) ≤ (B · 𝐶)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   wa 97  wb 98   w3a 884   wcel 1390   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  cr 6670  0cc0 6671   · cmul 6676   < clt 6817  cle 6818
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-cnex 6734  ax-resscn 6735  ax-1cn 6736  ax-1re 6737  ax-icn 6738  ax-addcl 6739  ax-addrcl 6740  ax-mulcl 6741  ax-mulrcl 6742  ax-addcom 6743  ax-mulcom 6744  ax-addass 6745  ax-mulass 6746  ax-distr 6747  ax-i2m1 6748  ax-1rid 6750  ax-0id 6751  ax-rnegex 6752  ax-precex 6753  ax-cnre 6754  ax-pre-ltadd 6759  ax-pre-mulgt0 6760
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-pnf 6819  df-mnf 6820  df-xr 6821  df-ltxr 6822  df-le 6823  df-sub 6941  df-neg 6942
This theorem is referenced by:  lemul2  7564  lediv23  7600  lemul1i  7631  lemul1d  8396  iccdil  8596  expgt1  8907
  Copyright terms: Public domain W3C validator