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Theorem f1oiso2 5391
Description: Any one-to-one onto function determines an isomorphism with an induced relation 𝑆. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
f1oiso2.1 𝑆 = {⟨x, y⟩ ∣ ((x B y B) (𝐻x)𝑅(𝐻y))}
Assertion
Ref Expression
f1oiso2 (𝐻:A1-1-ontoB𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (A, B))
Distinct variable groups:   x,A,y   x,B,y   x,𝐻,y   x,𝑅,y
Allowed substitution hints:   𝑆(x,y)

Proof of Theorem f1oiso2
Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1oiso2.1 . . 3 𝑆 = {⟨x, y⟩ ∣ ((x B y B) (𝐻x)𝑅(𝐻y))}
2 f1ocnvdm 5346 . . . . . . . . 9 ((𝐻:A1-1-ontoB x B) → (𝐻x) A)
32adantrr 451 . . . . . . . 8 ((𝐻:A1-1-ontoB (x B y B)) → (𝐻x) A)
433adant3 912 . . . . . . 7 ((𝐻:A1-1-ontoB (x B y B) (𝐻x)𝑅(𝐻y)) → (𝐻x) A)
5 f1ocnvdm 5346 . . . . . . . . . 10 ((𝐻:A1-1-ontoB y B) → (𝐻y) A)
65adantrl 450 . . . . . . . . 9 ((𝐻:A1-1-ontoB (x B y B)) → (𝐻y) A)
763adant3 912 . . . . . . . 8 ((𝐻:A1-1-ontoB (x B y B) (𝐻x)𝑅(𝐻y)) → (𝐻y) A)
8 f1ocnvfv2 5343 . . . . . . . . . . 11 ((𝐻:A1-1-ontoB x B) → (𝐻‘(𝐻x)) = x)
98eqcomd 2027 . . . . . . . . . 10 ((𝐻:A1-1-ontoB x B) → x = (𝐻‘(𝐻x)))
10 f1ocnvfv2 5343 . . . . . . . . . . 11 ((𝐻:A1-1-ontoB y B) → (𝐻‘(𝐻y)) = y)
1110eqcomd 2027 . . . . . . . . . 10 ((𝐻:A1-1-ontoB y B) → y = (𝐻‘(𝐻y)))
129, 11anim12dan 519 . . . . . . . . 9 ((𝐻:A1-1-ontoB (x B y B)) → (x = (𝐻‘(𝐻x)) y = (𝐻‘(𝐻y))))
13123adant3 912 . . . . . . . 8 ((𝐻:A1-1-ontoB (x B y B) (𝐻x)𝑅(𝐻y)) → (x = (𝐻‘(𝐻x)) y = (𝐻‘(𝐻y))))
14 simp3 894 . . . . . . . 8 ((𝐻:A1-1-ontoB (x B y B) (𝐻x)𝑅(𝐻y)) → (𝐻x)𝑅(𝐻y))
15 fveq2 5103 . . . . . . . . . . . 12 (w = (𝐻y) → (𝐻w) = (𝐻‘(𝐻y)))
1615eqeq2d 2033 . . . . . . . . . . 11 (w = (𝐻y) → (y = (𝐻w) ↔ y = (𝐻‘(𝐻y))))
1716anbi2d 440 . . . . . . . . . 10 (w = (𝐻y) → ((x = (𝐻‘(𝐻x)) y = (𝐻w)) ↔ (x = (𝐻‘(𝐻x)) y = (𝐻‘(𝐻y)))))
18 breq2 3742 . . . . . . . . . 10 (w = (𝐻y) → ((𝐻x)𝑅w ↔ (𝐻x)𝑅(𝐻y)))
1917, 18anbi12d 445 . . . . . . . . 9 (w = (𝐻y) → (((x = (𝐻‘(𝐻x)) y = (𝐻w)) (𝐻x)𝑅w) ↔ ((x = (𝐻‘(𝐻x)) y = (𝐻‘(𝐻y))) (𝐻x)𝑅(𝐻y))))
2019rspcev 2633 . . . . . . . 8 (((𝐻y) A ((x = (𝐻‘(𝐻x)) y = (𝐻‘(𝐻y))) (𝐻x)𝑅(𝐻y))) → w A ((x = (𝐻‘(𝐻x)) y = (𝐻w)) (𝐻x)𝑅w))
217, 13, 14, 20syl12anc 1119 . . . . . . 7 ((𝐻:A1-1-ontoB (x B y B) (𝐻x)𝑅(𝐻y)) → w A ((x = (𝐻‘(𝐻x)) y = (𝐻w)) (𝐻x)𝑅w))
22 fveq2 5103 . . . . . . . . . . . 12 (z = (𝐻x) → (𝐻z) = (𝐻‘(𝐻x)))
2322eqeq2d 2033 . . . . . . . . . . 11 (z = (𝐻x) → (x = (𝐻z) ↔ x = (𝐻‘(𝐻x))))
2423anbi1d 441 . . . . . . . . . 10 (z = (𝐻x) → ((x = (𝐻z) y = (𝐻w)) ↔ (x = (𝐻‘(𝐻x)) y = (𝐻w))))
25 breq1 3741 . . . . . . . . . 10 (z = (𝐻x) → (z𝑅w ↔ (𝐻x)𝑅w))
2624, 25anbi12d 445 . . . . . . . . 9 (z = (𝐻x) → (((x = (𝐻z) y = (𝐻w)) z𝑅w) ↔ ((x = (𝐻‘(𝐻x)) y = (𝐻w)) (𝐻x)𝑅w)))
2726rexbidv 2305 . . . . . . . 8 (z = (𝐻x) → (w A ((x = (𝐻z) y = (𝐻w)) z𝑅w) ↔ w A ((x = (𝐻‘(𝐻x)) y = (𝐻w)) (𝐻x)𝑅w)))
2827rspcev 2633 . . . . . . 7 (((𝐻x) A w A ((x = (𝐻‘(𝐻x)) y = (𝐻w)) (𝐻x)𝑅w)) → z A w A ((x = (𝐻z) y = (𝐻w)) z𝑅w))
294, 21, 28syl2anc 393 . . . . . 6 ((𝐻:A1-1-ontoB (x B y B) (𝐻x)𝑅(𝐻y)) → z A w A ((x = (𝐻z) y = (𝐻w)) z𝑅w))
30293expib 1093 . . . . 5 (𝐻:A1-1-ontoB → (((x B y B) (𝐻x)𝑅(𝐻y)) → z A w A ((x = (𝐻z) y = (𝐻w)) z𝑅w)))
31 simp3ll 963 . . . . . . . . 9 ((𝐻:A1-1-ontoB (z A w A) ((x = (𝐻z) y = (𝐻w)) z𝑅w)) → x = (𝐻z))
32 simp1 892 . . . . . . . . . 10 ((𝐻:A1-1-ontoB (z A w A) ((x = (𝐻z) y = (𝐻w)) z𝑅w)) → 𝐻:A1-1-ontoB)
33 simp2l 918 . . . . . . . . . 10 ((𝐻:A1-1-ontoB (z A w A) ((x = (𝐻z) y = (𝐻w)) z𝑅w)) → z A)
34 f1of 5051 . . . . . . . . . . 11 (𝐻:A1-1-ontoB𝐻:AB)
3534ffvelrnda 5227 . . . . . . . . . 10 ((𝐻:A1-1-ontoB z A) → (𝐻z) B)
3632, 33, 35syl2anc 393 . . . . . . . . 9 ((𝐻:A1-1-ontoB (z A w A) ((x = (𝐻z) y = (𝐻w)) z𝑅w)) → (𝐻z) B)
3731, 36eqeltrd 2096 . . . . . . . 8 ((𝐻:A1-1-ontoB (z A w A) ((x = (𝐻z) y = (𝐻w)) z𝑅w)) → x B)
38 simp3lr 964 . . . . . . . . 9 ((𝐻:A1-1-ontoB (z A w A) ((x = (𝐻z) y = (𝐻w)) z𝑅w)) → y = (𝐻w))
39 simp2r 919 . . . . . . . . . 10 ((𝐻:A1-1-ontoB (z A w A) ((x = (𝐻z) y = (𝐻w)) z𝑅w)) → w A)
4034ffvelrnda 5227 . . . . . . . . . 10 ((𝐻:A1-1-ontoB w A) → (𝐻w) B)
4132, 39, 40syl2anc 393 . . . . . . . . 9 ((𝐻:A1-1-ontoB (z A w A) ((x = (𝐻z) y = (𝐻w)) z𝑅w)) → (𝐻w) B)
4238, 41eqeltrd 2096 . . . . . . . 8 ((𝐻:A1-1-ontoB (z A w A) ((x = (𝐻z) y = (𝐻w)) z𝑅w)) → y B)
43 simp3r 921 . . . . . . . . 9 ((𝐻:A1-1-ontoB (z A w A) ((x = (𝐻z) y = (𝐻w)) z𝑅w)) → z𝑅w)
4431eqcomd 2027 . . . . . . . . . 10 ((𝐻:A1-1-ontoB (z A w A) ((x = (𝐻z) y = (𝐻w)) z𝑅w)) → (𝐻z) = x)
45 f1ocnvfv 5344 . . . . . . . . . . 11 ((𝐻:A1-1-ontoB z A) → ((𝐻z) = x → (𝐻x) = z))
4632, 33, 45syl2anc 393 . . . . . . . . . 10 ((𝐻:A1-1-ontoB (z A w A) ((x = (𝐻z) y = (𝐻w)) z𝑅w)) → ((𝐻z) = x → (𝐻x) = z))
4744, 46mpd 13 . . . . . . . . 9 ((𝐻:A1-1-ontoB (z A w A) ((x = (𝐻z) y = (𝐻w)) z𝑅w)) → (𝐻x) = z)
4838eqcomd 2027 . . . . . . . . . 10 ((𝐻:A1-1-ontoB (z A w A) ((x = (𝐻z) y = (𝐻w)) z𝑅w)) → (𝐻w) = y)
49 f1ocnvfv 5344 . . . . . . . . . . 11 ((𝐻:A1-1-ontoB w A) → ((𝐻w) = y → (𝐻y) = w))
5032, 39, 49syl2anc 393 . . . . . . . . . 10 ((𝐻:A1-1-ontoB (z A w A) ((x = (𝐻z) y = (𝐻w)) z𝑅w)) → ((𝐻w) = y → (𝐻y) = w))
5148, 50mpd 13 . . . . . . . . 9 ((𝐻:A1-1-ontoB (z A w A) ((x = (𝐻z) y = (𝐻w)) z𝑅w)) → (𝐻y) = w)
5243, 47, 513brtr4d 3768 . . . . . . . 8 ((𝐻:A1-1-ontoB (z A w A) ((x = (𝐻z) y = (𝐻w)) z𝑅w)) → (𝐻x)𝑅(𝐻y))
5337, 42, 52jca31 292 . . . . . . 7 ((𝐻:A1-1-ontoB (z A w A) ((x = (𝐻z) y = (𝐻w)) z𝑅w)) → ((x B y B) (𝐻x)𝑅(𝐻y)))
54533exp 1089 . . . . . 6 (𝐻:A1-1-ontoB → ((z A w A) → (((x = (𝐻z) y = (𝐻w)) z𝑅w) → ((x B y B) (𝐻x)𝑅(𝐻y)))))
5554rexlimdvv 2417 . . . . 5 (𝐻:A1-1-ontoB → (z A w A ((x = (𝐻z) y = (𝐻w)) z𝑅w) → ((x B y B) (𝐻x)𝑅(𝐻y))))
5630, 55impbid 120 . . . 4 (𝐻:A1-1-ontoB → (((x B y B) (𝐻x)𝑅(𝐻y)) ↔ z A w A ((x = (𝐻z) y = (𝐻w)) z𝑅w)))
5756opabbidv 3797 . . 3 (𝐻:A1-1-ontoB → {⟨x, y⟩ ∣ ((x B y B) (𝐻x)𝑅(𝐻y))} = {⟨x, y⟩ ∣ z A w A ((x = (𝐻z) y = (𝐻w)) z𝑅w)})
581, 57syl5eq 2066 . 2 (𝐻:A1-1-ontoB𝑆 = {⟨x, y⟩ ∣ z A w A ((x = (𝐻z) y = (𝐻w)) z𝑅w)})
59 f1oiso 5390 . 2 ((𝐻:A1-1-ontoB 𝑆 = {⟨x, y⟩ ∣ z A w A ((x = (𝐻z) y = (𝐻w)) z𝑅w)}) → 𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (A, B))
6058, 59mpdan 400 1 (𝐻:A1-1-ontoB𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (A, B))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   w3a 873   = wceq 1228   wcel 1374  wrex 2285   class class class wbr 3738  {copab 3791  ccnv 4271  1-1-ontowf1o 4828  cfv 4829   Isom wiso 4830
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1363  ax-ie2 1364  ax-8 1376  ax-10 1377  ax-11 1378  ax-i12 1379  ax-bnd 1380  ax-4 1381  ax-14 1386  ax-17 1400  ax-i9 1404  ax-ial 1409  ax-i5r 1410  ax-ext 2004  ax-sep 3849  ax-pow 3901  ax-pr 3918
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 875  df-tru 1231  df-nf 1330  df-sb 1628  df-eu 1885  df-mo 1886  df-clab 2009  df-cleq 2015  df-clel 2018  df-nfc 2149  df-ral 2289  df-rex 2290  df-v 2537  df-sbc 2742  df-un 2899  df-in 2901  df-ss 2908  df-pw 3336  df-sn 3356  df-pr 3357  df-op 3359  df-uni 3555  df-br 3739  df-opab 3793  df-id 4004  df-xp 4278  df-rel 4279  df-cnv 4280  df-co 4281  df-dm 4282  df-rn 4283  df-res 4284  df-ima 4285  df-iota 4794  df-fun 4831  df-fn 4832  df-f 4833  df-f1 4834  df-fo 4835  df-f1o 4836  df-fv 4837  df-isom 4838
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