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Theorem f1oiso2 5409
Description: Any one-to-one onto function determines an isomorphism with an induced relation 𝑆. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
f1oiso2.1 𝑆 = {⟨x, y⟩ ∣ ((x B y B) (𝐻x)𝑅(𝐻y))}
Assertion
Ref Expression
f1oiso2 (𝐻:A1-1-ontoB𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (A, B))
Distinct variable groups:   x,A,y   x,B,y   x,𝐻,y   x,𝑅,y
Allowed substitution hints:   𝑆(x,y)

Proof of Theorem f1oiso2
Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1oiso2.1 . . 3 𝑆 = {⟨x, y⟩ ∣ ((x B y B) (𝐻x)𝑅(𝐻y))}
2 f1ocnvdm 5364 . . . . . . . . 9 ((𝐻:A1-1-ontoB x B) → (𝐻x) A)
32adantrr 448 . . . . . . . 8 ((𝐻:A1-1-ontoB (x B y B)) → (𝐻x) A)
433adant3 923 . . . . . . 7 ((𝐻:A1-1-ontoB (x B y B) (𝐻x)𝑅(𝐻y)) → (𝐻x) A)
5 f1ocnvdm 5364 . . . . . . . . . 10 ((𝐻:A1-1-ontoB y B) → (𝐻y) A)
65adantrl 447 . . . . . . . . 9 ((𝐻:A1-1-ontoB (x B y B)) → (𝐻y) A)
763adant3 923 . . . . . . . 8 ((𝐻:A1-1-ontoB (x B y B) (𝐻x)𝑅(𝐻y)) → (𝐻y) A)
8 f1ocnvfv2 5361 . . . . . . . . . . 11 ((𝐻:A1-1-ontoB x B) → (𝐻‘(𝐻x)) = x)
98eqcomd 2042 . . . . . . . . . 10 ((𝐻:A1-1-ontoB x B) → x = (𝐻‘(𝐻x)))
10 f1ocnvfv2 5361 . . . . . . . . . . 11 ((𝐻:A1-1-ontoB y B) → (𝐻‘(𝐻y)) = y)
1110eqcomd 2042 . . . . . . . . . 10 ((𝐻:A1-1-ontoB y B) → y = (𝐻‘(𝐻y)))
129, 11anim12dan 532 . . . . . . . . 9 ((𝐻:A1-1-ontoB (x B y B)) → (x = (𝐻‘(𝐻x)) y = (𝐻‘(𝐻y))))
13123adant3 923 . . . . . . . 8 ((𝐻:A1-1-ontoB (x B y B) (𝐻x)𝑅(𝐻y)) → (x = (𝐻‘(𝐻x)) y = (𝐻‘(𝐻y))))
14 simp3 905 . . . . . . . 8 ((𝐻:A1-1-ontoB (x B y B) (𝐻x)𝑅(𝐻y)) → (𝐻x)𝑅(𝐻y))
15 fveq2 5121 . . . . . . . . . . . 12 (w = (𝐻y) → (𝐻w) = (𝐻‘(𝐻y)))
1615eqeq2d 2048 . . . . . . . . . . 11 (w = (𝐻y) → (y = (𝐻w) ↔ y = (𝐻‘(𝐻y))))
1716anbi2d 437 . . . . . . . . . 10 (w = (𝐻y) → ((x = (𝐻‘(𝐻x)) y = (𝐻w)) ↔ (x = (𝐻‘(𝐻x)) y = (𝐻‘(𝐻y)))))
18 breq2 3759 . . . . . . . . . 10 (w = (𝐻y) → ((𝐻x)𝑅w ↔ (𝐻x)𝑅(𝐻y)))
1917, 18anbi12d 442 . . . . . . . . 9 (w = (𝐻y) → (((x = (𝐻‘(𝐻x)) y = (𝐻w)) (𝐻x)𝑅w) ↔ ((x = (𝐻‘(𝐻x)) y = (𝐻‘(𝐻y))) (𝐻x)𝑅(𝐻y))))
2019rspcev 2650 . . . . . . . 8 (((𝐻y) A ((x = (𝐻‘(𝐻x)) y = (𝐻‘(𝐻y))) (𝐻x)𝑅(𝐻y))) → w A ((x = (𝐻‘(𝐻x)) y = (𝐻w)) (𝐻x)𝑅w))
217, 13, 14, 20syl12anc 1132 . . . . . . 7 ((𝐻:A1-1-ontoB (x B y B) (𝐻x)𝑅(𝐻y)) → w A ((x = (𝐻‘(𝐻x)) y = (𝐻w)) (𝐻x)𝑅w))
22 fveq2 5121 . . . . . . . . . . . 12 (z = (𝐻x) → (𝐻z) = (𝐻‘(𝐻x)))
2322eqeq2d 2048 . . . . . . . . . . 11 (z = (𝐻x) → (x = (𝐻z) ↔ x = (𝐻‘(𝐻x))))
2423anbi1d 438 . . . . . . . . . 10 (z = (𝐻x) → ((x = (𝐻z) y = (𝐻w)) ↔ (x = (𝐻‘(𝐻x)) y = (𝐻w))))
25 breq1 3758 . . . . . . . . . 10 (z = (𝐻x) → (z𝑅w ↔ (𝐻x)𝑅w))
2624, 25anbi12d 442 . . . . . . . . 9 (z = (𝐻x) → (((x = (𝐻z) y = (𝐻w)) z𝑅w) ↔ ((x = (𝐻‘(𝐻x)) y = (𝐻w)) (𝐻x)𝑅w)))
2726rexbidv 2321 . . . . . . . 8 (z = (𝐻x) → (w A ((x = (𝐻z) y = (𝐻w)) z𝑅w) ↔ w A ((x = (𝐻‘(𝐻x)) y = (𝐻w)) (𝐻x)𝑅w)))
2827rspcev 2650 . . . . . . 7 (((𝐻x) A w A ((x = (𝐻‘(𝐻x)) y = (𝐻w)) (𝐻x)𝑅w)) → z A w A ((x = (𝐻z) y = (𝐻w)) z𝑅w))
294, 21, 28syl2anc 391 . . . . . 6 ((𝐻:A1-1-ontoB (x B y B) (𝐻x)𝑅(𝐻y)) → z A w A ((x = (𝐻z) y = (𝐻w)) z𝑅w))
30293expib 1106 . . . . 5 (𝐻:A1-1-ontoB → (((x B y B) (𝐻x)𝑅(𝐻y)) → z A w A ((x = (𝐻z) y = (𝐻w)) z𝑅w)))
31 simp3ll 974 . . . . . . . . 9 ((𝐻:A1-1-ontoB (z A w A) ((x = (𝐻z) y = (𝐻w)) z𝑅w)) → x = (𝐻z))
32 simp1 903 . . . . . . . . . 10 ((𝐻:A1-1-ontoB (z A w A) ((x = (𝐻z) y = (𝐻w)) z𝑅w)) → 𝐻:A1-1-ontoB)
33 simp2l 929 . . . . . . . . . 10 ((𝐻:A1-1-ontoB (z A w A) ((x = (𝐻z) y = (𝐻w)) z𝑅w)) → z A)
34 f1of 5069 . . . . . . . . . . 11 (𝐻:A1-1-ontoB𝐻:AB)
3534ffvelrnda 5245 . . . . . . . . . 10 ((𝐻:A1-1-ontoB z A) → (𝐻z) B)
3632, 33, 35syl2anc 391 . . . . . . . . 9 ((𝐻:A1-1-ontoB (z A w A) ((x = (𝐻z) y = (𝐻w)) z𝑅w)) → (𝐻z) B)
3731, 36eqeltrd 2111 . . . . . . . 8 ((𝐻:A1-1-ontoB (z A w A) ((x = (𝐻z) y = (𝐻w)) z𝑅w)) → x B)
38 simp3lr 975 . . . . . . . . 9 ((𝐻:A1-1-ontoB (z A w A) ((x = (𝐻z) y = (𝐻w)) z𝑅w)) → y = (𝐻w))
39 simp2r 930 . . . . . . . . . 10 ((𝐻:A1-1-ontoB (z A w A) ((x = (𝐻z) y = (𝐻w)) z𝑅w)) → w A)
4034ffvelrnda 5245 . . . . . . . . . 10 ((𝐻:A1-1-ontoB w A) → (𝐻w) B)
4132, 39, 40syl2anc 391 . . . . . . . . 9 ((𝐻:A1-1-ontoB (z A w A) ((x = (𝐻z) y = (𝐻w)) z𝑅w)) → (𝐻w) B)
4238, 41eqeltrd 2111 . . . . . . . 8 ((𝐻:A1-1-ontoB (z A w A) ((x = (𝐻z) y = (𝐻w)) z𝑅w)) → y B)
43 simp3r 932 . . . . . . . . 9 ((𝐻:A1-1-ontoB (z A w A) ((x = (𝐻z) y = (𝐻w)) z𝑅w)) → z𝑅w)
4431eqcomd 2042 . . . . . . . . . 10 ((𝐻:A1-1-ontoB (z A w A) ((x = (𝐻z) y = (𝐻w)) z𝑅w)) → (𝐻z) = x)
45 f1ocnvfv 5362 . . . . . . . . . . 11 ((𝐻:A1-1-ontoB z A) → ((𝐻z) = x → (𝐻x) = z))
4632, 33, 45syl2anc 391 . . . . . . . . . 10 ((𝐻:A1-1-ontoB (z A w A) ((x = (𝐻z) y = (𝐻w)) z𝑅w)) → ((𝐻z) = x → (𝐻x) = z))
4744, 46mpd 13 . . . . . . . . 9 ((𝐻:A1-1-ontoB (z A w A) ((x = (𝐻z) y = (𝐻w)) z𝑅w)) → (𝐻x) = z)
4838eqcomd 2042 . . . . . . . . . 10 ((𝐻:A1-1-ontoB (z A w A) ((x = (𝐻z) y = (𝐻w)) z𝑅w)) → (𝐻w) = y)
49 f1ocnvfv 5362 . . . . . . . . . . 11 ((𝐻:A1-1-ontoB w A) → ((𝐻w) = y → (𝐻y) = w))
5032, 39, 49syl2anc 391 . . . . . . . . . 10 ((𝐻:A1-1-ontoB (z A w A) ((x = (𝐻z) y = (𝐻w)) z𝑅w)) → ((𝐻w) = y → (𝐻y) = w))
5148, 50mpd 13 . . . . . . . . 9 ((𝐻:A1-1-ontoB (z A w A) ((x = (𝐻z) y = (𝐻w)) z𝑅w)) → (𝐻y) = w)
5243, 47, 513brtr4d 3785 . . . . . . . 8 ((𝐻:A1-1-ontoB (z A w A) ((x = (𝐻z) y = (𝐻w)) z𝑅w)) → (𝐻x)𝑅(𝐻y))
5337, 42, 52jca31 292 . . . . . . 7 ((𝐻:A1-1-ontoB (z A w A) ((x = (𝐻z) y = (𝐻w)) z𝑅w)) → ((x B y B) (𝐻x)𝑅(𝐻y)))
54533exp 1102 . . . . . 6 (𝐻:A1-1-ontoB → ((z A w A) → (((x = (𝐻z) y = (𝐻w)) z𝑅w) → ((x B y B) (𝐻x)𝑅(𝐻y)))))
5554rexlimdvv 2433 . . . . 5 (𝐻:A1-1-ontoB → (z A w A ((x = (𝐻z) y = (𝐻w)) z𝑅w) → ((x B y B) (𝐻x)𝑅(𝐻y))))
5630, 55impbid 120 . . . 4 (𝐻:A1-1-ontoB → (((x B y B) (𝐻x)𝑅(𝐻y)) ↔ z A w A ((x = (𝐻z) y = (𝐻w)) z𝑅w)))
5756opabbidv 3814 . . 3 (𝐻:A1-1-ontoB → {⟨x, y⟩ ∣ ((x B y B) (𝐻x)𝑅(𝐻y))} = {⟨x, y⟩ ∣ z A w A ((x = (𝐻z) y = (𝐻w)) z𝑅w)})
581, 57syl5eq 2081 . 2 (𝐻:A1-1-ontoB𝑆 = {⟨x, y⟩ ∣ z A w A ((x = (𝐻z) y = (𝐻w)) z𝑅w)})
59 f1oiso 5408 . 2 ((𝐻:A1-1-ontoB 𝑆 = {⟨x, y⟩ ∣ z A w A ((x = (𝐻z) y = (𝐻w)) z𝑅w)}) → 𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (A, B))
6058, 59mpdan 398 1 (𝐻:A1-1-ontoB𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (A, B))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   w3a 884   = wceq 1242   wcel 1390  wrex 2301   class class class wbr 3755  {copab 3808  ccnv 4287  1-1-ontowf1o 4844  cfv 4845   Isom wiso 4846
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-sbc 2759  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-isom 4854
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