ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  f1ocnvfv GIF version

Theorem f1ocnvfv 5419
Description: Relationship between the value of a one-to-one onto function and the value of its converse. (Contributed by Raph Levien, 10-Apr-2004.)
Assertion
Ref Expression
f1ocnvfv ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐴) → ((𝐹𝐶) = 𝐷 → (𝐹𝐷) = 𝐶))

Proof of Theorem f1ocnvfv
StepHypRef Expression
1 fveq2 5178 . . 3 (𝐷 = (𝐹𝐶) → (𝐹𝐷) = (𝐹‘(𝐹𝐶)))
21eqcoms 2043 . 2 ((𝐹𝐶) = 𝐷 → (𝐹𝐷) = (𝐹‘(𝐹𝐶)))
3 f1ocnvfv1 5417 . . 3 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐴) → (𝐹‘(𝐹𝐶)) = 𝐶)
43eqeq2d 2051 . 2 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐴) → ((𝐹𝐷) = (𝐹‘(𝐹𝐶)) ↔ (𝐹𝐷) = 𝐶))
52, 4syl5ib 143 1 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐴) → ((𝐹𝐶) = 𝐷 → (𝐹𝐷) = 𝐶))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 97   = wceq 1243  wcel 1393  ccnv 4344  1-1-ontowf1o 4901  cfv 4902
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-sbc 2765  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910
This theorem is referenced by:  f1ocnvfvb  5420  f1oiso2  5466  frecuzrdgfn  9198  frecuzrdgsuc  9201  frecfzennn  9203
  Copyright terms: Public domain W3C validator